2023-2024學(xué)年河南省信陽(yáng)市息縣思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)第一學(xué)期

開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(每題3分，共30分)

1.若方程(m+z)xmJZ+Zx+ko是關(guān)于x的一元二次方程，則〃?的值為()

A.-2B.0C.-2或2D.2

2.設(shè)A(1,%)，8(-2,”)，C(2,p)是拋物線y=-(x+1)2+3上的三點(diǎn)，則y\,

y2,的大小關(guān)系為()

A.j3>y2>yiB.>'3>yi>y2C.y2>yi>y3D.?>”>丫2

3.函數(shù)y=-2/先向右平移3個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位，所得函數(shù)解析式是()

A.y--2(x-3)2+7B.y--2(x-3)2-7

C.y=-2(x+3)2+7D.尸-2(x+3)2-7

4.一個(gè)Q。群里共有x個(gè)好友，每個(gè)好友都分別給群里的其他好友發(fā)一條信息，共發(fā)信息

420條，則可列方程()

A.￡X(X-1)=420B.x(x-1)=420

C.yx(x+l)=420D.x(x+l)=420

5.已知二次函數(shù)y=-N+2r+4,則下列關(guān)于這個(gè)函數(shù)圖象和性質(zhì)的說(shuō)法，正確的是()

A.圖象的開(kāi)口向上

B.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,3)

C.當(dāng)xVl時(shí)，y隨x的增大而增大

D.圖象與x軸有唯一交點(diǎn)

6.拋物線y=(x-/??)2+m-2的對(duì)稱軸是直線x=3,那么它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)

7.某廠四月份生產(chǎn)零件100萬(wàn)個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件331萬(wàn)個(gè).設(shè)該廠五、六月份平均

每月的增長(zhǎng)率為羽那么x滿足的方程是()

A.100(1+x)2=331

B.100+100(1+x)+100(1+x)2=331

C.100(1+2%)=331

D.100+100(1+x)+100(l+2x)=331

8.若關(guān)于x的一元二次方程匕2-Zr-1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

A.無(wú)2-1且kWOB.無(wú)》-1C.AW1D.kWT且AWO

9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)》=以2與一次函數(shù)y=fov+c的圖象如圖所示，則二

次函數(shù)y=ar2+bx+c的圖象可能是（）

10.如圖是二次函數(shù)y=ox2+/?+cQW0）圖象的一部分，對(duì)稱軸是直線x=-2.關(guān)于下列

結(jié)論：@ab<0；②拄-4ac>0；③9a-3匕+c>0；④b-4a=0；⑤方程以2+法=（）的兩個(gè)

根為箝=0,及=-4,其中正確的結(jié)論有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

二、填空題（每題3分，共15分）

11.若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍

是

12.已知拋物線y=x2-x-1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(m,0),則代數(shù)式，話-“+2022的值

為.

13.汽車剎車后行駛的距離s(單位：米)關(guān)于行駛的時(shí)間f(單位：秒)的函數(shù)解析式是s

=8-2凡汽車剎車后停下來(lái)前進(jìn)的距離是米.

14.已知方程(/+9-1)2=]6,則N+y2的值為.

15.如圖，已知拋物線)=以2+公+'(4#0)的對(duì)稱軸為x=l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是(3,0),

則方程+反+c=0(a#0)的兩根是.

三、解答題(共75分)

16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?/p>

(1)N-6X+3=0；

(2)2(x+1)2=x2-1.

17.已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中?>b、c分別為AABC

三邊的長(zhǎng).

(1)如果x=-1是方程的根，試判斷AABC的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.

18.某菜農(nóng)每年的種植成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為5萬(wàn)元，可變

成本逐年增長(zhǎng).已知該菜農(nóng)第1年的可變成本為2.7萬(wàn)元，如果該菜農(nóng)第3年的種植成本

為8.888萬(wàn)元，求可變成本每年平均增長(zhǎng)的百分率.

19.已知一個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=l,圖象最低點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)是-8,圖象過(guò)(-2,

10)且與x軸交于A、B,與y軸交于C.求：

(1)這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)△ABC的面積.

20.如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為15機(jī)的住房墻，另外三邊用27m

長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，當(dāng)所圍矩形

豬舍的長(zhǎng)，寬分別為多少米時(shí)，豬舍面積為96病?

,住房墻.

L

TfIm

____f

21.為了落實(shí)國(guó)務(wù)院的指示精神，某地方政府出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入

大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場(chǎng)

調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系:y=-2x+80.設(shè)

這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為w元.

（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

（3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150

元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？

22.周末，小明陪爸爸去打高爾夫求，小明看到爸爸打出的球的飛行路線的形狀如圖，如果

不考慮空氣阻力，小球的飛行路線是一條拋物線.小明測(cè)得小球的飛行高度力（單位：m）

與飛行時(shí)間f（單位：s）的幾組值后，發(fā)現(xiàn)人與f滿足的函數(shù)關(guān)系式是/7=20-5F.

（1）小球飛行時(shí)間是多少時(shí)達(dá)到最大高度，求最大高度是多少？

（2）小球飛行時(shí)間，在什么范圍時(shí)，飛行高度不低于15機(jī)？

23.如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（-1,0）,直線y=-x+機(jī)與該二次函數(shù)的

圖象交于A,B兩點(diǎn)，與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D,其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,4）,

B點(diǎn)在y軸上.

（1）求機(jī)的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）求△ABC的面積；

（3）在該二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以A,B,Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰

三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.若方程（1n+2h.-2+2*+1=0是關(guān)于X的一元二次方程，則加的值為（）

A.-2B.0C.-2或2D.2

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出/M+2W0且機(jī)2-2=2,再求出機(jī)即可.

解：：方程（m+2）*代-2+2*+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，

...nj+2W0且m2-2—2,

解得w=2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，能根據(jù)一元二次方程的定義得出〃?+2W0且

m2-2=2是解此題的關(guān)鍵.

2.設(shè)A（1,%）,8（-2,”），C（2,"）是拋物線y=-（x+1）2+3上的三點(diǎn)，則），”

y2,y3的大小關(guān)系為（）

A.y3>”>yiB.>'3>>'i>>,2C.D.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線），=-（X+1）2+3的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線X

=-1,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：；拋物線y=-（x+1）2+3的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=-l,

：.B（-2,"）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（0,”），

V-1<0<1<2,

：.y3<y\<y2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解

析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

3.函數(shù)y=-2x2先向右平移3個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位，所得函數(shù)解析式是（）

A.y=-2（x-3）2+7B.y=-2（x-3）2-7

C.y=-2（x+3）2+7D.y=-2（x+3）2-7

【分析】先確定函數(shù)）'=-2%2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,再把點(diǎn)（0,0）平移所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)

的坐標(biāo)為（3,-7）,然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式.

解：函數(shù)y=-2%2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,把（0,0）先向右平移3個(gè)單位，再向下平

移7個(gè)單位所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,-7）,所以平移后的拋物線解析式為y=-2（x

-3）2-7.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故。不

變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)

平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出

解析式.

4.一個(gè)。。群里共有x個(gè)好友，每個(gè)好友都分別給群里的其他好友發(fā)一條信息，共發(fā)信息

420條，則可列方程（）

A.（X-1）=420B.x（x-l）=420

C.-^-x（x+1）=420D.x（x+1）=420

【分析】利用發(fā)信息的總數(shù)=Q。群里好友的人數(shù)x（QQ群里好友的人數(shù)-1）,即可

列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

解：根據(jù)題意得：x（x-1）=420.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

5.已知二次函數(shù)y=72+〃+4,則下列關(guān)于這個(gè)函數(shù)圖象和性質(zhì)的說(shuō)法，正確的是（）

A.圖象的開(kāi)口向上

B.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,3）

C.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大

D.圖象與x軸有唯一交點(diǎn)

【分析】先利用配方法得到y(tǒng)=-（X-1）2+5,可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)A、B、C進(jìn)

行判斷；通過(guò)解方程-/+標(biāo)+4=0可對(duì)D進(jìn)行判斷.

解：Vy=-x2+2x+4=-（x-1）2+5,

二拋物線的開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,5）,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,當(dāng)x<l時(shí)，

y隨x的增大而增大，

令y=0,貝ij-N+2r+4=0,解方程解得羽=1+訴，及=1-遙，

.?.△=4-4X(-1)義4=20>0,

.?.拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y="2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，

aWO)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程根的判斷.也考查了二次

函數(shù)的性質(zhì).

6.拋物線y=(x-m)2+m-2的對(duì)稱軸是直線x=3,那么它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)

【分析】首先根據(jù)對(duì)稱軸是直線x=3,從而求得機(jī)的值，然后根據(jù)頂點(diǎn)式直接寫出頂點(diǎn)

坐標(biāo)；

解：；拋物線y=(x-m)2+膽-2的對(duì)稱軸是直線x=3,

.?.1"=3,

解析式y(tǒng)=(x-3)2+1,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(3,1),

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，難度適中.

7.某廠四月份生產(chǎn)零件100萬(wàn)個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件331萬(wàn)個(gè).設(shè)該廠五、六月份平均

每月的增長(zhǎng)率為x,那么x滿足的方程是()

A.100(1+x)2=331

B.100+100(1+x)+100(1+x)2=331

C.100(1+2%)=331

D.100+100(1+x)+100(l+2x)=331

【分析】根據(jù)該廠四月份的產(chǎn)量及五、六月份平均每月的增長(zhǎng)率，即可得出該廠五月份

生產(chǎn)零件100(1+x)萬(wàn)個(gè)，六月份生產(chǎn)零件100(1+x)2萬(wàn)個(gè)，再結(jié)合該廠第二季度共

生產(chǎn)零件331萬(wàn)個(gè)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

解：：該廠四月份生產(chǎn)零件100萬(wàn)個(gè)，且該廠五、六月份平均每月的增長(zhǎng)率為x,

該廠五月份生產(chǎn)零件100(1+x)萬(wàn)個(gè)，六月份生產(chǎn)零件100(1+x)2萬(wàn)個(gè)，

又?.?該廠第二季度共生產(chǎn)零件331萬(wàn)個(gè)，

A100+100(1+x)+100(1+x)2=331.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

8.若關(guān)于x的一元二次方程近2-2x-1=0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是()

A.左》-1且ZWOB.k》-IC.代1D.ZW1且ZW0

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到AW0且△=22-4火X(-1)20,

然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可.

解：根據(jù)題意得4#0且△=22-4&X(-1)》0,

解得心-1且20.

故選：4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ox2+bx+c=0(a#0)的根的判別式△=〃-4“c：當(dāng)

A>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<(),方

程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.

9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)>=以2與一次函數(shù)y=bx+C的圖象如圖所示，則二

次函數(shù)y=ox2+6x+c的圖象可能是()

【分析】根據(jù)二次函數(shù)尸”與一次函數(shù)產(chǎn)以+c的圖象，即可得出40、b>0、c<0,

由此即可得出：二次函數(shù)y=ov+法+c的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=-4<°，與y軸的

2a

交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)中的圖象即可得出結(jié)論.

解：觀察函數(shù)圖象可知：a>0,b>0,c<0,

.?.二次函數(shù)y=or2+bx+c的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸》=-已<0,與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)

2a

半軸.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象和一次函

數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，找出。>0、〃>0、cVO是解題的關(guān)鍵.

10.如圖是二次函數(shù)y=ox2+笈+c(aW0)圖象的一部分，對(duì)稱軸是直線x=-2.關(guān)于下列

結(jié)論：@ab<0；?b2-4ac>0；(3)9a-3b+c>0；@h-4?=0；⑤方程0%2+法=0的兩個(gè)

根為xi=O,及=-4,其中正確的結(jié)論有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】由拋物線的開(kāi)口方向判斷。與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與。的

關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

解：：拋物線開(kāi)口向下，

??b—4a,ab>0,

.".b-4a=0,

.,.①錯(cuò)誤，④正確，

；拋物線與x軸交于-4,0處兩點(diǎn)，

.".b2-4ac>0,方程ax2+6x=0的兩個(gè)根為》=0,X2=-4,

二②⑤正確，

當(dāng)x=-3時(shí)y>0,即9a-3b+c>0,

.??③正確，

故正確的有②③④⑤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與6

的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式以及特殊值的熟練運(yùn)用.

二、填空題（每題3分，共15分）

11.若關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-2x+A=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是」

<1.

【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到（-2）2-4k>0,然后解不等式即可.

解：根據(jù)題意得△=（-2）2-4XQ0,

解得ZVL

故答案為：k<l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的根與A=62-4ac

有如下關(guān)系，當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.

12.已知拋物線y=/-x-1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（〃?，0）,則代數(shù)式加-加+2022的值為

2023.

【分析】將（〃?，0）代入函數(shù)解析式可得切2一根的值，進(jìn)而求解.

解：將（加，0）代入y—x2-x-1得加2--1=0,即浮_機(jī)=1,

，相2一例+2022=1+2023,

故答案為：2023.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系.

13.汽車剎車后行駛的距離s（單位：米）關(guān)于行駛的時(shí)間單位：秒）的函數(shù)解析式是s

=8,-2產(chǎn)，汽車剎車后停下來(lái)前進(jìn)的距離是米.

【分析】直接利用配方法求出二次函數(shù)最值進(jìn)而得出答案.

解：s=8f-It2

=-2（於-4/）

--2（/-2）-+8,

故當(dāng)t=2時(shí)，s最大為8〃?.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確應(yīng)用配方法是解題關(guān)鍵.

14.已知方程（/+y2-1）2=16,則*2+y2的值為5.

【分析】根據(jù)換元法，可得一元二次方程，根據(jù)解一元二次方程，可得答案.

解：設(shè)N+y2=a,原方程等價(jià)于（a-1）2=16.

解得a-1=4,a-1=-4（不符合題意，舍），

x1+y2—5,

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法解一元一次方程，利用/+產(chǎn)=〃得出關(guān)于。的一元二次方程

是解題關(guān)鍵，注意平方都是非負(fù)數(shù).

15.如圖，已知拋物線y=or2+bx+c（“W0）的對(duì)稱軸為x=l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3,0）,

則方程如2+〃x+c=0（4#0）的兩根是x=3或x=-1.

【分析】利用“方程的解即為對(duì)應(yīng)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)”和二次函數(shù)的對(duì)稱性求解

兩根.

解：?.?拋物線>="2+法+。（a#0）的對(duì)稱軸為X=l,與X軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3,0）,

，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-1,0）,

/.當(dāng)y=0時(shí)，0=ax2+bx+c的兩個(gè)根為x—3或x--1.

故答案為：》=3或工=-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與方程的聯(lián)系，即“函數(shù)與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是y=0時(shí)的方

程的解”，同時(shí)也考查了二次函數(shù)的軸對(duì)稱性.

三、解答題（共75分）

16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?/p>

（1）JC2-6x+3=0；

（2）2（x+1）2=x2-1.

【分析】（1）利用配方法得到（x-3）2=6,然后利用直接開(kāi)平方法解方程;

(2)先移項(xiàng)，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為尤+1=0或2x+2-x+l=0,然后解兩個(gè)一

次方程即可.

解：(1)x2-6x+3=0,

x2-6x=-3,

N-6x+9=6,

(x-3)』6,

X-3=±心

所以a=3+遍，及=3-五；

(2)2(x+1)2=N-i.

2(x+1)2-(x+1)(x-1)=0,

(x+1)(2x+2-x+1)=0,

x+1=0或2x+2-x+1=0,

所以Xl=-1,X2=-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方

法.

17.已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中。、b、c分別為△ABC

三邊的長(zhǎng).

(1)如果x=-l是方程的根，試判斷aABC的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷AABC的形狀，并說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)方程解的定義把x=-1代入方程得到(a+c)X(-1)2-28+(a-

c)=0,整理得a-6=0,即a=b,于是根據(jù)等腰三角形的判定即可得到△A8C是等腰

三角形；

(2)根據(jù)判別式的意義得到4=(2b)2-4(a+c)-c)=0,整理得“2=墳+/,然

后根據(jù)勾股定理的逆定理得到aABC是直角三角形.

解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：

-1是方程的根，

(a+c)X(-1)2-2h+(a-c)=0,

a+c-2b+a-c=0,

：.a-b=0,

:.a=b,

...△48C是等腰三角形；

(2)ZVIBC是直角三角形.理由如下：

???方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0.

.,.4b2-4a2+4c2=0,

.'.^—b^+c2,

...△ABC是直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根與A-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相

等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)AV0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.也考查了勾股定理的逆定理.

18.某菜農(nóng)每年的種植成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為5萬(wàn)元，可變

成本逐年增長(zhǎng).已知該菜農(nóng)第1年的可變成本為2.7萬(wàn)元，如果該菜農(nóng)第3年的種植成本

為8.888萬(wàn)元，求可變成本每年平均增長(zhǎng)的百分率.

【分析】設(shè)可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為居根據(jù)該菜農(nóng)第3年的種植成本為8.888

萬(wàn)元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

解：設(shè)可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為X,

依題意得:5+2.7(1+x)2=8.888,

解得：Xi=0.2=20%,X2—-2.2(不合題意，舍去).

答：可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為20%.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

19.已知一個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=l,圖象最低點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是-8,圖象過(guò)(-2,

10)且與x軸交于A、B,與y軸交于C.求：

(1)這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)△ABC的面積.

【分析】(1)由于已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式尸a(x-1)2-8,然后把(-

2,10)代入求出a即可；

(2)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求

解.

解：(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2-8,

把(-2,10)代入得(<?(-2-1)2-8=10,

解得：a—2,

所以拋物線解析式為y=2U-1)2-8；

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=2(x-1)2-8=-6,則C(0,-6),

當(dāng)y=0時(shí)，2(x-1)2-8=0,

解得Xl=-1,X2=3,

則A(-1,0),B(3,0),

所以△ABC的面積=▲義(3+1)X6=12.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)

系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一

般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解;

當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸

有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解.

20.如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為15〃?的住房墻，另外三邊用27〃?

長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1〃?寬的門，當(dāng)所圍矩形

豬舍的長(zhǎng)，寬分別為多少米時(shí)，豬舍面積為96M?

【分析】設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為X，“，可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為(27-

2A+1)m.根據(jù)矩形的面積公式建立方程求出其解就可以了.

解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為xm，

可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為(27-Zr+l)m,

由題意得x(27-2x+l)=96,

解得：xi=6,垃=8.

當(dāng)x=6時(shí)，27-2x+l=16>15(舍去),

當(dāng)x=8時(shí)，27-2x+l=12.

答：當(dāng)所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為12〃?、寬為8，*時(shí)，豬舍面積為96〃汽

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用及一元

二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)尋找題目的等量關(guān)系是關(guān)鍵.

21.為了落實(shí)國(guó)務(wù)院的指示精神，某地方政府出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入

大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場(chǎng)

調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)尤（元/千克）有如下關(guān)系:y=-2X+80.設(shè)

這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為W元.

（1）求卬與X之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

（3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150

元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？

【分析】（1）根據(jù)銷售額=銷售量X銷售單價(jià)，列出函數(shù)關(guān)系式；

（2）用配方法將（1）的函數(shù)關(guān)系式變形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值；

（3）把），=150代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二次方程求x,根據(jù)x的取值范圍求

x的值.

解：（1）由題意得出：

w=（x-20）-y

=（x-20）（-2x+80）

=-2x2+120x7600,

故卬與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=-2x2+120x-1600；

（2）w=-2x2+\20x-1600=-2（x-30）2+200,

：-2<0,

.?.當(dāng)x=30時(shí)，卬有最大值.卬最大值為200.

答：該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克30元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大，最大銷售利潤(rùn)200元.

（3）當(dāng)卬=150時(shí)，可得方程-2（x-30）2+200=150.

解得xi=25,及=35.

V35>28,

；.X2=35不符合題意，應(yīng)舍去.

答：該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克25元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用二次函數(shù)

的性質(zhì)解決問(wèn)題.

22.周末，小明陪爸爸去打高爾夫求，小明看到爸爸打出的球的飛行路線的形狀如圖，如果

不考慮空氣阻力，小球的飛行路線是一條拋物線.小明測(cè)得小球的飛行高度力(單位：m)

與飛行時(shí)間f(單位：s)的幾組值后，發(fā)現(xiàn)人與f滿足的函數(shù)關(guān)系式是/?=20「5凡

(1)小球飛行時(shí)間是多少時(shí)達(dá)到最大高度，求最大高度是多少？

(