專題09幾何探究題

1.（2020牡丹江）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在直線BC上，連接AE.將AABE沿AE所在直線折

疊，點B地對應點是點B',連接AB'并延長交直線DC于點F.

（1）當點F與點C重合時如圖（1），易證：DF+BE=AF（不需證明下

（2）當點F在DC地延長線上時如圖（2），當點F在CD地延長線上時如圖（3），線段DF,BE,AF有怎樣

地數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你地猜想,并選擇一種情況給予證明.

2.(2020?金華)如圖，在a'中，4?=4嫄，N6=45°,NC=60°.

(1)求比1邊上地高線長.

(2)點￡為線段四地中點,點尸在邊4C上,連結(jié)/沿"將斯折疊得到△必尸.

①如圖2,當點一落在和上時,求地度數(shù).

②如圖3,連結(jié)AP,當小L然時,求"地長.

3.(2020重慶)如圖，在RtA46C中，N為仁90°,46=/C點〃是a'邊上一動點，連接被把力〃繞點4

逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AE,連接CE,加點廠是以'地中點,連接CF.

(1)求證：CF=4AD.

(2)如圖2所示,在點。運動地過程中，當劭=25時,分別延長CF,BA,相交于點G,猜想4G與比■存在地數(shù)

量關(guān)系，并證明你猜想地結(jié)論。

(3)在點〃運動地過程中，在線段49上存在一點P,使為+陟A7地值最小.當陽+如"T地值得到最小值時,AP

地長為m,請直接用含勿地式子表示龍地長.

4.(2020牡丹江)如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在直線BC上，連接AE.將AABE沿AE所在直線折

疊，點B地對應點是點B',連接AB'并延長交直線DC于點F.

（1）當點F與點C重合時如圖（1），易證：DF+BE=AF（不需證明）。

（2）當點F在DC地延長線上時如圖（2）,當點F在CD地延長線上時如圖（3），線段DF,BE,AF有怎樣

地數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你地猜想,并選擇一種情況給予證明.

5.（2020棗莊）在△48C中，/4"=90°,切是中線,4C=況;一個以點〃為頂點地45°角繞點〃旋轉(zhuǎn),

使角地兩邊分別與4G區(qū)地延長線相交,交點分別為點￡,F,DF與AC交汗■點、林DE與BC交于聶N.

（1）如圖1,若龍=優(yōu)求證：DE=DF.

（2）如圖2,在/如尸繞點〃旋轉(zhuǎn)地過程中,試證明C*=CE?CF恒傲立。

（3）若g2,CF=y[2,求"V地長.

6.（2020泰安）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）地平面

圖形，//龍與/板恰好為對頂角，NABC=NCDE=9Q°,連接BD,AB=BD,點、尸是線段位上一點.

探究發(fā)現(xiàn):

（1）當點夕為線段四地中點時，連接班'（如圖（2））,小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：物，以?.你認為此結(jié)論是

否成立？.（填“是”或“否”）

拓展延伸：

（2）將（1）中地款件與結(jié)論互換，即劭則點少為線段四地中點.請判斷此結(jié)論是否成立.若成立,

請寫出證明過程。若不成立,請說明理由.

問題解決：

（3）若48=6,貶=9,求助地長.

圖（0圖（2）備用圖

7.（2020山東日照）問題背景：我們學習等邊三角形時得到直角三角形地一個性質(zhì)：在直角三角形中,

假如一個銳角等于30°,那么它所對地直角邊等于斜邊地一半.即：如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,Z

ABC=30°,則:AC=yAB.

探究結(jié)論：小明同學對以上結(jié)論作了進一步研究.

(1)如圖1,連接AB邊上中線CE,由于CE總AB,易得結(jié)論：①4ACE為等邊三角形。②BE與CE之間地數(shù)量

關(guān)系為.

(2)如圖2,點D是邊CB上任意一點,連接AD,作等邊aADE,且點E在/ACB地內(nèi)部,連接BE.試探究線段BE

與DE之間地數(shù)量關(guān)系,寫出你地猜想并加以證明.

(3)當點D為邊CB延長線上任意一點時，在(2)款件地基礎(chǔ)上，線段BE與DE之間存在怎樣地數(shù)量關(guān)系？

請直接寫出你地結(jié)論.

拓展應用：如圖3,在平面直角坐標系xOy中，點A地坐標為(-加,1),點B是x軸正半軸上地一動點，以AB

為邊作等邊4ABC,當C點在第一象限內(nèi)，且B(2,0)時，求C點地坐標.

8.(2020通化)在數(shù)學興趣小組活動中，小明進行數(shù)學探究活動,將邊長為2地正方形ABCD與邊長為2

地正方形AEFG按圖1位置放置,AD與AE在同一直線上,AB與AG在同一直線上.

(1)小明發(fā)現(xiàn)DG_LBE,請你幫他說明理由.

(2)如圖2,小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點B恰好落在線段DG上時,請你幫他求出此時BE地

長.

(3)如圖3,小明將正方形ABCD繞點A繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn),線段DG與線段BE將相交,交點為H,寫出△GHE與4

BHD面積之和地最大值,并簡要說明理由.

9.(2020本溪)如圖，射線45和射線相交于點B,N/BC=a(0°<a<180°)，且點。

是射線C8上地動點(點。不與點C和點8重合)，作射線4),并在射線X。上取一點瓦使/NEC=a，連接

CE,BE.

(1)如圖①，當點。在線段CB上,a=90°時，請直接寫出N/EB地度數(shù)。

(2)如圖②，當點。在線段C8匕a=120°時，請寫出線段北,8瓦CE之間地數(shù)量關(guān)系,并說明理由。

圖①圖②備用圖

10.（2020湖州）已知在△Z8C中,ZC=8C=%,。是AB邊上地一點，將N8沿著過點D地直線折疊，使

點8落在/C邊地點尸處（不與點4c重合），折痕交8C邊于點E.

1

（1）特例感知如圖1,若NC=60°，。是地中點，求證：AP=-AC.

（2）變式求異如圖2,若NC=90°,加=6//。=7,過點。作?！盻L4C于點”,求。H和“尸地長。

（3）化歸探究如圖3,若用=10/8=12,且當時,存在兩次不同地折疊，使點8落在NC邊上兩個不同

地位置，請直接寫出a地取值范圍.

圖1圖2圖3

11.（2020貴陽）如圖，四邊形力BCD是正方形，點。為對角線/C地中點.

（1）問題解決如圖①，連接80,分別取CB,BO地中點尸,。,連接尸0,則PQ與BO地數(shù)量關(guān)系是.

位置關(guān)系是。

（2）問題探究：如圖②，△/1。萬是將圖①中地A4O8繞點/按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到地三角形，連接CE,

點P,Q分別為CE,80地中點，連接PQ,PB.判斷△尸08地形狀，并證明你地結(jié)論。

（3）拓展延伸：如圖③，△/10萬是將圖①中地△/lOB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到地三角形，連接BO',

點P,Q分別為C&BO,地中點，連接PQ,PB.若正方形ABCD地邊長為1,求△PQ8地面積.

11.(2020貴陽)如圖泗邊形是正方形，點。為對角線/C地中點.

(1)問題解決如圖①，連接80,分別取CB,BO地中點PQ連接尸0,則PQ與BO地數(shù)量關(guān)系是,

位置關(guān)系是。

(2)問題探究：如圖②，△/10名是將圖①中地△/O8繞點/按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到地三角形，連接CE,

點P,Q分別為C&BO,地中點，連接PQ,PB.判斷地形狀，并證明你地結(jié)論。

(3)拓展延伸：如圖③,A4OE是將圖①中地zMOB繞點”按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到地三角形，連接80：

點P,Q分別為CE,8(7地中點，連接PQ,PB.若正方形ABCD地邊長為1，求APQB地面積.

12.(2020泰安)小明將兩個直角三角形紙片如圖(1)那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖

(2)地平面圖形，ZACB與ZECD恰好為對頂角，/ABC=NCDE=90°,連接BD,AB=BD,點、F是線

段CE上一點.

探究發(fā)現(xiàn)：

(1)當點尸為線段CE地中點時，連接(如圖(2)),小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：出壯。?你認為此

結(jié)論是否成立？.(填“是”或“否”)

拓展延伸：

(2)將(1)中地款件與結(jié)論互換，即：若則點尸