專題13函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

一、核心體系

函數(shù)應(yīng)用問題的解題四步驟：

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型;

(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的函數(shù)模型;

(3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；

(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際意義的問題.

以上過程用框圖表示如下：

二、關(guān)鍵能力

I.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)的增長特征，掌握求解函數(shù)應(yīng)用題的步驟.

2.了解函數(shù)模型及擬合函數(shù)模型；在同一坐標(biāo)系中能對不同函數(shù)的圖象進行比較.

3.建立函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的)，

要正確地確定實際背景下的定義域，將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

三、教學(xué)建議

1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.在實際情境中,

會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律；

2.結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)

增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義：

3.收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會人們是如何借助

函數(shù)刻畫實際問題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義.

四、高頻考點

幾類函數(shù)模型及其增長差異

(1)幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析：式

一次函數(shù)型fix)=ax+b{a,b為常數(shù)，〃和)

反比例函數(shù)型J（x）=^+b（k,b為常數(shù)且厚0）

二次函數(shù)模型fix）=ax^+hx+c（a,b,c為常數(shù)，。邦）

指數(shù)函數(shù)型J(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù)，厚0,〃>0且存1)

對數(shù)函數(shù)型J(x)=b\ogax+c(a,b,c為常數(shù)，厚0,a>0且01)

鼎函數(shù)型危）=@^+如7,z?為常數(shù)，〃和）

（2）指數(shù)、對數(shù)、幕函數(shù)模型性質(zhì)比較

數(shù)

y=ax(a>\)y=log“x(a>l)y='(〃>0)

性質(zhì)

在（0,+oo）

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)為與2

隨X的增大逐漸表現(xiàn)為與其隨n值變化而

圖象的變化軸平行

地平行各有不同

值的比較存在一個沏，當(dāng)X>xo時，有\(zhòng)ogaX<x,1<aK

五、重點題型

考點一、函數(shù)的圖像法與列表法

例1-1.多選題（2023?新高考1卷）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的

強弱，定義聲壓級4=20'電二，其中常數(shù)為（%>0）是聽覺下限閾值，。是實際聲壓.下

表為不同聲源的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車106090

混合動力汽車105060

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為區(qū),區(qū),。3，則（）.

A.P,*P2B.P2>10P3

C.P3=100p0D.Pi<100p2

例1-2.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的

二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化

碳所處的狀態(tài)與T和IgP的關(guān)系，其中7表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar.下

列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)7=220,P=1026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,P=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360,P=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

對點訓(xùn)練

1.（2020北京15）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，

排放未達標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間f的關(guān)系為W=/（f）,用

的大小評價在［〃，句這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱.已知整改期內(nèi)，

甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.

給出下列四個結(jié)論:

①在L,芍］這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;

②在L時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

③在4時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都已達標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0/］,上“2］，在2,4］這三段時間中，在［0/］的污水治理能力最強.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

2.如圖，長方形.的邊A8=2,BC=1,。是A8的中點，點P沿著邊BC,CD與。4運動，記

4B0P=X，將動點P到A,8兩點距離之和表示為x的函數(shù)/（X），則的圖像大致為（）

A.B.C.D.

3.某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個時間段進行計價，該地區(qū)電網(wǎng)銷售電價表如下:

高峰時間段用電價格表低谷時間段用電價格表

高峰月用電量高峰電價低谷月用電量低谷電價

（單位：千瓦時）（單位：元/千瓦時）（單位：千瓦時）（單位：元/千瓦時）

50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288

超過50至200的部

0.598超過50至200的部分0.318

分

超過200的部分0.668超過200的部分0.388

若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時,

則按這種計費方式該家庭本月應(yīng)付的電費為元.（用數(shù)字作答）

4.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油

D.某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

5.已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬

元，他可以在人至白的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交（其他費用忽略不

計）.如果他在久時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是（）

A.40萬元B.60萬元

C.120萬元D.140萬元

6.某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長18%,經(jīng)過x年后，綠化面積與原綠化面積之

比為y,則y=/（x）的圖象大致為（）

7.2019年1月1日起我國實施了個人所得稅的新政策，其政策的主要內(nèi)容包括：（1）個稅

起征點為5000元；（2）每月應(yīng)納稅所得額（含稅）=收入-個稅起征點-專項附加扣除；（3）

專項附加扣除包括：①贍養(yǎng)老人費用，②子女教育費用，③繼續(xù)教育費用，④大病醫(yī)療費用

等，其中前兩項的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：①贍養(yǎng)老人費用：每月扣除2000元，②子女教育費用：每

個子女每月扣除1000元，新的個稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下：

級數(shù)一級二級三級

每月應(yīng)納稅所得額X元（含稅）x<3(XX)3000<x<1200012000<x<25000

稅率31020

現(xiàn)有李某月收入為18000元，膝下有一名子女在讀高三，需贍養(yǎng)老人，除此之外無其它專項

附加扣除，則他該月應(yīng)交納的個稅金額為（）

A.1800B.1000C.790D.560

考點二、對數(shù)型函數(shù)

例2.（2021全國甲理）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通

常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V

的滿足L=5+lgV.己知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的

數(shù)據(jù)為（）1.259）

A.1.5B.1.2C,0.8D.0.6

對點訓(xùn)練

1.（2023?山東聊城高三三模）聲強級乙（單位:dB）由公式。=101g給出，其

IO-

中/為聲強（單位：Wm2）一般正常人聽覺能忍受的最高聲強級為120dB,平時常人交談

時聲強級約為60dB,那么一般正常人能忍受的最高聲強是平時常人交談時聲強的（）

A.104倍B.105倍C.106倍D.IO7倍

考點三、指數(shù)型函數(shù)

例3.（2020山東6）基本再生數(shù)R。與世代間隔是新冠肺炎的.流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生

數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺

炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/?）=e”描述累計感染病例數(shù)/?）隨時間/（單位：天）

的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與%，T近似滿足&=1+4.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出

%=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間

約為（ln2a0.69）（）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

對點訓(xùn)練

1.某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度X（單位：C）滿足函數(shù)關(guān)系y=ek+&

（e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k、為常數(shù)）.若該食品在0C的保鮮時間設(shè)計192

小時，在22c的保鮮時間是48小時，則該食品在33c的保鮮時間是小時.

考點四、二次函數(shù)型

例4.加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為"可食用率在.特定條件下，可食用

率〃與加工時間f（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系P=ar+4+C（a、b、c是常數(shù)），下

圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（）

A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘

0.8---------------------------:

0.7--------------------1；

i;

0.5--------------------]------:-------;

Oi~~5~~7

對點訓(xùn)練

1.某商貿(mào)公司售賣某種水果.經(jīng)市場調(diào)研可知:在未來20天內(nèi)，這種水果每箱的銷售利潤「

（單位:元）與時間叱Y2。,，”單位:天）之間的函數(shù)關(guān)系式為r』+l。，且日銷售

量y（單位：箱）與時間?之間的函數(shù)關(guān)系式為y=120-2t

①第4天的銷售利潤為元；

②在未來的這20天中，公司決定每銷售1箱該水果就捐贈〃7（〃zeN*）元給“精準(zhǔn)扶貧”

對象.為保證銷售積極性,要求捐贈之后每天的利潤隨時間，的增大而增大,則的最小值是

考點五、分式型函數(shù)

例5.要制作一個容器為4〃『，高為1〃?的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方

米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（單位：元）

對點訓(xùn)練

1.（2018上海）某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地

的平均用時，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示:當(dāng)S中

x%（0<x<100）的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為

’30,0<xW30,

/(x)=,（單位:分鐘）,

2X+1^22-90,30<X<100

x

而公交群體的人均通勤時間不受X影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:

⑴當(dāng)X在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

⑵求該地上班族S的人均通勤時間g（x）的表達式；討論g（x）的單調(diào)性，并說明其實際意

義.

考點六、函數(shù)模型選擇

例6.某公司為了實現(xiàn)2020年銷售利潤1000萬元的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵

方案：從銷售利潤達到10萬元開始，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷

售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過銷售

利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.025x,y=1.003\y=3nx+l,問其中是否有模型能

完全符合公司的要求？請說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：1.00353%5,e=2.71828.........e8~2981）

對點訓(xùn)練

1.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)

中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y=2x_2B.y=￡(f—1)

C.y=log2XD.y=logix

2

鞏固訓(xùn)練

一、單項選擇題

I.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每15min分裂一次（由1個分裂成2個），這種細菌由I個分裂

成4096個需經(jīng)過的時間是（）

A.12hB.4h

C.3hD.2h

2.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：兔子和烏龜賽跑，領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，

驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏

龜還是先到達了終點.Si，S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，「為時間，則下列圖象中與

3.某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了〃次漲停（每次

上漲10%）,又經(jīng)歷了八次跌停（每次下跌10%）,則該股民這支股票的盈虧情況（不考慮其他

費用）為（）

A.略有盈利B.略有虧損

C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況

4.在固定電壓差（電壓為常數(shù)）的前提下，當(dāng)電流通過圓柱形的電線時，其電流強度/與電線

半徑，?的三次方成正比，若已知電流通過半徑4毫米的電線時，電流強度為320安，則電流

通過半徑為3毫米的電線時，電流強度為（）

A.60安B.240安

C.75安D.135安

5.已知聲音強弱的等級/（x）（單位：dB）由聲音強度x（單位：w/n?）決定.科學(xué)研究發(fā)現(xiàn),

/（X）與Igx成線性關(guān)系，如噴氣式飛機起飛時.，聲音強度為lOOW/n?聲音強弱的等級為

140dB；某動物發(fā)出的鳴叫，聲音強度為IW/n?，聲音強弱的等級為12（）dB.若某聲音

強弱等級為90dB,則聲音強度為（）W/m2

A.0.001B.0.01C.0.1D.1

6.某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要

花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一

年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

7.（2022?江蘇南京市?高三三模）聲音的強弱可以用聲波的能流密度來計算，叫做聲強.通常

人耳能聽到聲音的最小聲強為（瓦/平方米）.對于一個聲音的聲強/,用聲強/與

/（）比值的常用對數(shù)的10倍表示聲強/的聲強級，單位是“分貝”，即聲強/的聲強級是

lOJgy（分貝）.聲音傳播時，在某處聽到的聲強/與該處到聲源的距離$的平方成反比，

GPZ=4（%為常數(shù)）.若在距離聲源15米的地方，聽到聲音的聲強級是20分貝，則能聽

s

到該聲音（即聲強不小于的位置到聲源的最大距離為（）

A.100米B.150米C.200米D.155/訪米

8.在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子物質(zhì)的量的濃度（單位：mol/L,記作［H*］）和

氫氧根離子物質(zhì)的量的濃度（單位：mol/L,記作［OH-］）的乘積等于常數(shù)10一叱已知pH值的

定義為pH=-lg|Hi，健康人體血液的pH值保持在7.35?7.45之間，那么健康人體血液中

的蒜5可以為（參考數(shù)據(jù)：但2比030,33七0.48）（）

A-2B3C6D10

二、多選題

9.某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量

為2%,現(xiàn)進行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少,，則使產(chǎn)品達到市場要求的過濾次數(shù)

3

可以為（參考數(shù)據(jù)：1g2*0.301,lg3Mo.477）（）

A.6B.9C.8D.7

10.如圖，某池塘里的浮萍面積了（單位：加2）與時間.（單位：月）的關(guān)系式為y=履，/eA,

且女。0；a,且awl）.則下列說法正確的是（）

A.浮萍每月增加的面積都相等

B.第6個月時，浮萍的面積會超過30〃

C.浮萍面積從2病蔓延到64m2只需經(jīng)過5個月

D.若浮萍面積蔓延到4〃?2,6m2,9加2所經(jīng)過的時間分別為4，G，4,則4+%=2。2

月1記憶保持量

8

.8

0..6

0..4

0..2天

2468O2%

小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了

隨后一個月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量/（X）與時間x（天