自動控制理論**第一章自動控制的一般概念**

自動控制的基本原理自動控制系統(tǒng)的組成和分類自動控制系統(tǒng)的研究內(nèi)容和對系統(tǒng)的基本要求本章主要內(nèi)容**概述

自動控制原理是研究自動控制技術(shù)的基礎(chǔ)理論和自動控制共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)。自動控制原理按發(fā)展過程分為經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論。[經(jīng)典控制]：五十年代末形成了完整的體系。它以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，研究單輸入單輸出反饋控制系統(tǒng)(SISO)。主要采用的方法：時域分析法、根軌跡法和頻率法。[現(xiàn)代控制]：以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)研究多輸入多輸出(MIMO)、變參數(shù)、非線性等復(fù)雜控制系統(tǒng)。主要采用的方法：狀態(tài)空間分析法以及其它方法。當(dāng)前正在發(fā)展過程中。本課程研究經(jīng)典控制的主要內(nèi)容和現(xiàn)代控制的基礎(chǔ)內(nèi)容。**

人工控制系統(tǒng)控制水位的過程：1、觀察實際水位；2、與要求水位比較，得出偏差；3、根據(jù)偏差的大小和方向人工調(diào)節(jié)進水閥的開度，以保證要求的水位。

此系統(tǒng)中，水池是被控對象，實際水位是被控量。

由于人的反應(yīng)速度和力量的局限性，控制效果往往是不理想的。

自動控制的基本原理[自動控制]：在無人參與的情況下，利用外加的設(shè)備或裝置使整個生產(chǎn)過程或工作機械自動地按預(yù)定規(guī)律運行，或使其某個參數(shù)按預(yù)定的要求變化。第一節(jié)自動控制的基本原理

以水位控制系統(tǒng)為例說明自動控制的基本原理：見教材中圖1-1（人工控制）和圖1-2（自動控制）。**自動水位控制系統(tǒng)（見圖1-2）：眼睛＋大腦判斷用浮子、電位計和放大器代替；手用電動機和減速器代替。

使用自動水位控制系統(tǒng)能夠自動而迅速精確的保持需要的水位。

自動控制的基本原理[自動控制系統(tǒng)]：自動控制系統(tǒng)是由被控對象和自動控制裝置按一定的方式連接起來，完成一定的自動控制任務(wù)的總和。**

自動控制的基本原理自動水位控制系統(tǒng)的自動控制裝置：測量元件：浮子比較元件：連桿調(diào)節(jié)元件：放大器(偏差由電位器的輸出電壓反映)執(zhí)行元件：電動機、減速器和閥門[自動控制裝置的組成]：測量元件：獲得被控量的實際值并進行變換。比較元件：獲得偏差=測量結(jié)果-要求值。

調(diào)節(jié)元件：通常包括放大器和校正裝置。使u=f(e)

執(zhí)行元件：驅(qū)動被控對象動作，使被控量達到要求值。**

自動控制的基本原理[控制系統(tǒng)的方塊圖表示]在方塊圖中，裝置或環(huán)節(jié)用方塊來表示，信號用箭頭表示，分支點用點(.)表示，相加點（比較點）用表示。自動水位控制系統(tǒng)方塊圖調(diào)節(jié)元件執(zhí)行元件測量元件控制對象比較元件擾動量(用水量)被控量(輸出量)給定水位-實際水位給定量(輸入量)連桿電機、減速器、閥門浮子放大器自動控制裝置水池**

被控量稱為系統(tǒng)的輸出量，被控量是被控對象的一個參數(shù)，在水位自動控制系統(tǒng)中，被控量為給定的水位。影響系統(tǒng)輸出量的量稱為系統(tǒng)輸入量。輸入量有兩類：給定輸入：決定輸出的變化規(guī)律或要求值。擾動輸入：不希望的外作用，它將影響對被控量的控制。在水位控制系統(tǒng)中，水位要求值是給定輸入量，用水量為擾動的輸入量。

自動控制的基本原理

自動控制系統(tǒng)的輸入量和輸出量自動水位控制系統(tǒng)方塊圖調(diào)節(jié)元件執(zhí)行元件測量元件控制對象比較元件擾動量(用水量)被控量(輸出量)給定水位-實際水位給定量(輸入量)連桿電機、減速器、閥門浮子放大器自動控制裝置水池**

自動控制的基本原理[自動控制的特點]：

從信號傳送方向來看：通過負反饋，構(gòu)成閉環(huán)回路。由負反饋構(gòu)成閉環(huán)——結(jié)構(gòu)特點。

從控制作用的產(chǎn)生看：由偏差引起的控制作用使系統(tǒng)沿減小或消除偏差的方向運動?！猩鲜鰞蓚€特點的控制系統(tǒng)稱為：反饋控制系統(tǒng)或閉環(huán)控制或偏差控制。其工作原理稱為反饋控制原理。自動水位控制系統(tǒng)方塊圖調(diào)節(jié)元件執(zhí)行元件測量元件控制對象比較元件擾動量(用水量)被控量(輸出量)給定水位-實際水位給定量(輸入量)連桿電機、減速器、閥門浮子放大器自動控制裝置水池**一、按信號傳送的特點或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點分為：開環(huán)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。

開環(huán)控制系統(tǒng)：輸出量對系統(tǒng)的控制作用無任何影響。擾動控制系統(tǒng)是開環(huán)控制系統(tǒng)。

閉環(huán)控制系統(tǒng)：負反饋偏差控制系統(tǒng)。偏差控制系統(tǒng)是閉環(huán)控制系統(tǒng)。二、按控制作用產(chǎn)生的原因分為：擾動控制系統(tǒng)和復(fù)合控制系統(tǒng)。

擾動控制系統(tǒng)：控制作用由擾動產(chǎn)生，不構(gòu)成閉環(huán)。

復(fù)合控制系統(tǒng)：同時具有開環(huán)結(jié)構(gòu)和閉環(huán)結(jié)構(gòu)或同時具有偏差和擾動產(chǎn)生作用的控制系統(tǒng)。

自動控制系統(tǒng)的種類第二節(jié)自動控制系統(tǒng)的種類**圖1.5(原理圖)（方塊圖）M功放+-+-n1.“轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)”之“開環(huán)控制系統(tǒng)”

自動控制系統(tǒng)的種類功放

電動機n擾動負載[工作原理]將電壓ug經(jīng)功率放大后獲得ua，由ua驅(qū)動電動機旋轉(zhuǎn)。ua和n具有一一對應(yīng)的關(guān)系，如當(dāng)ug=ug1，n=n1。但是，當(dāng)電動機的負載改變時，ug=ug1時，可能n=n1+△n，也就是說，ug和n的關(guān)系是不準(zhǔn)確的?！_環(huán)系統(tǒng)的輸出易受到擾動的影響而無能為力。**[工作原理]當(dāng)負載擾動變化時（如變大），則n,,,n?？梢?，該系統(tǒng)可以自動地進行轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)，以減小或消除偏差。2.“轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)”之“閉環(huán)控制系統(tǒng)”

自動控制系統(tǒng)的種類[注意]：在上圖中，在比較點上進行運算的各個量應(yīng)具有相同的量綱。比如都是電壓量。（電壓）稱為偏差，而輸出量和要求值之差（物理量）稱為系統(tǒng)誤差。顯然偏差和誤差是不同的。我們可以發(fā)現(xiàn)，這兩者是有一定的對應(yīng)的關(guān)系的?？梢杂闷罘从诚到y(tǒng)的誤差。M+n-測速裝置功放

電動機n測速裝置比較點功放-負載擾動**[注意]一個補償裝置只能補償一個與之相應(yīng)的擾動，對于其他的擾動則不起作用。本圖可以補償由負載擾動引起的電動機轉(zhuǎn)速n的變化。擾動控制屬開環(huán)控制。3.“轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)”之“擾動控制系統(tǒng)”

若轉(zhuǎn)速的變化主要由負載干擾引起的，并且負載干擾可測，則可以形成如下圖所示的擾動控制系統(tǒng)。

自動控制系統(tǒng)的種類M+n-比較器功放i負載干擾n-功放電動機補償裝置**

右上圖中，1是放大器，2是功放，3是電動機，4是測速裝置，5，6是擾動通道傳遞函數(shù)。4.“轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)”之“復(fù)合控制系統(tǒng)”

自動控制系統(tǒng)的種類

該圖由擾動控制（開環(huán)控制）和偏差控制（閉環(huán)控制）組成。擾動控制補償負載干擾的影響，偏差控制補償其他因素產(chǎn)生的偏差。M+n-功放i測速裝置-放大器放大器321564n--負載干擾**三、按照輸入作用的變化將反饋控制系統(tǒng)分成兩類：

恒值控制系統(tǒng)：給定值不變。由于擾動的存在，將使被控量偏離給定值。控制系統(tǒng)能自動地根據(jù)偏差產(chǎn)生控制作用，使被控量恢復(fù)到給定值。如上述的水位和轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)。

隨動系統(tǒng)（自動跟蹤系統(tǒng)或伺服系統(tǒng)）：給定值是預(yù)先未知的隨時間任意變化的函數(shù)。控制系統(tǒng)能夠使被控量以盡可能小的誤差跟隨給定值。隨動系統(tǒng)也能克服各種擾動的影響，但一般來說，擾動的影響是次要的。

自動控制系統(tǒng)的種類**[隨動系統(tǒng)的例子]

船舶駕駛舵角位置跟蹤系統(tǒng)。目的是希望船舵轉(zhuǎn)角跟隨駕駛舵轉(zhuǎn)動。在方塊圖中，我們看到：輸出量直接反饋到輸入端，這種系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)或直接反饋控制系統(tǒng)。一般隨動系統(tǒng)常具有這種形式。

自動控制系統(tǒng)的種類隨動系統(tǒng)的例子**四、按數(shù)學(xué)模型分為兩類：線性和非線性控制系統(tǒng)。

自動控制系統(tǒng)的種類五、按控制作用和控制時間分：分為連續(xù)控制系統(tǒng)和離散控制系統(tǒng)**研究內(nèi)容有二：一為系統(tǒng)分析，二為系統(tǒng)的設(shè)計（包括系統(tǒng)綜合）

系統(tǒng)設(shè)計：尋求一個能完成一定控制任務(wù)，滿足一定控制要求的控制系統(tǒng)。

系統(tǒng)綜合：控制系統(tǒng)設(shè)計好后，即控制系統(tǒng)的主要元件和結(jié)構(gòu)確定后，為了滿足系統(tǒng)的性能指標(biāo)，需要改變控制系統(tǒng)的某些參數(shù)或結(jié)構(gòu)或附加某種裝置。這個過程稱為系統(tǒng)的校正或系統(tǒng)的綜合。

系統(tǒng)分析：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，研究它在某種典型輸入信號作用下，被控量變化的全過程。從這個變化過程得出其性能指標(biāo)，并討論性能指標(biāo)和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)的關(guān)系。自動控制系統(tǒng)的研究內(nèi)容和對系統(tǒng)的基本要求第三節(jié)自動控制系統(tǒng)的研究內(nèi)容和對系統(tǒng)的基本要求**[對控制系統(tǒng)的基本要求]

可以歸結(jié)為系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性，即穩(wěn)、準(zhǔn)、快的要求。

穩(wěn)：要求系統(tǒng)是穩(wěn)定的，不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能正常使用；

準(zhǔn)：穩(wěn)態(tài)誤差要?。?/p>

快：瞬態(tài)響應(yīng)快，超調(diào)量小，調(diào)節(jié)時間短。自動控制系統(tǒng)的研究內(nèi)容和對系統(tǒng)的基本要求**本章小結(jié)

自動控制和自動控制系統(tǒng)的含義；反饋和反饋控制的概念，自動控制的原理；控制系統(tǒng)的組成和分類；能夠確定實際控制系統(tǒng)的被控對象，被控量和給定量(輸入量和輸出量)；能夠繪制控制系統(tǒng)的方塊圖；能分析實際控制系統(tǒng)的控制原理。**Sunday,April14,202422

第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Sunday,April14,202423本章的主要內(nèi)容

控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號流圖-梅遜公式脈沖響應(yīng)函數(shù)各種數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換Sunday,April14,202424概述[數(shù)學(xué)模型]描述控制系統(tǒng)變量（物理量）之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、信號流圖、頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。

例如對一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以得出輸出量的時域表達式。據(jù)此可對系統(tǒng)進行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進行分析的第一步也是最重要的一步。

控制系統(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)。概述Sunday,April14,202425[線性系統(tǒng)]

如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明，兩個不同的作用函數(shù)同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應(yīng)之和。

線性系統(tǒng)對幾個輸入量同時作用的響應(yīng)可以一個一個地處理，然后對每一個輸入量響應(yīng)的結(jié)果進行疊加。[線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)]

可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。

宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時變控制的一個例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。概述Sunday,April14,202426

經(jīng)典控制理論中（我們正在學(xué)習(xí)的），采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對線性定常系統(tǒng)，對此有一套完整的理論和方法。但對于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，解決問題的能力是極其有限的，可以在一定的近似條件下簡化為線性系統(tǒng)。[非線性系統(tǒng)]如果系統(tǒng)不能滿足疊加原理，則系統(tǒng)是非線性的。概述

下面是非線性系統(tǒng)的一些例子：典型非線性環(huán)節(jié)：飽和、滯環(huán)、間隙、干摩擦等Sunday,April14,202427

微分方程的編寫應(yīng)根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等，這種方法稱為用分析法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。另外一種方法是實驗法。即人為地給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)財?shù)學(xué)模型逼近，這種方法又成為系統(tǒng)辨識，現(xiàn)在成為一門獨立學(xué)科分支?？刂葡到y(tǒng)的微分方程第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程本節(jié)討論用分析法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。Sunday,April14,202428輸入輸出LRCi例2-1寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。①②[解]：根據(jù)電路定理：由②：，代入①得：這是一個線性定常二階微分方程。Sunday,April14,202429例2-2

求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。mfmFF圖2圖1控制系統(tǒng)的微分方程根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個二階定常微分方程。x為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：Sunday,April14,202430[需要討論的幾個問題]1、相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一樣的。這是因為：若令（電荷），則例2-1①式的結(jié)果變?yōu)椋嚎梢姡晃锢硐到y(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。相似系統(tǒng)和相似量[定義]具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中，分別與為相似量。[作用]

利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復(fù)雜的系統(tǒng)，實現(xiàn)仿真研究。Sunday,April14,2024312、非線性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線性化在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應(yīng)用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化

若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程，可在工作點附近用泰勒級數(shù)展開，取前面的線性項?？梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。Sunday,April14,202432

設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x)，若取某一平衡狀態(tài)為工作點，如右圖中的。A點附近有點為，當(dāng)很小時，AB段可近似看做線性的。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化AByx0Sunday,April14,202433AByx0設(shè)f(x)在點連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點展開為泰勒級數(shù)，得：若很小，則，即式中，K為與工作點有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性近似。為了保證近似的精度，只能在工作點附近展開。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化Sunday,April14,202434對于具有兩個自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作點附近展開。設(shè)雙變量非線性方程為：，工作點為。則可近似為：式中：，。 為與工作點有關(guān)的常數(shù)。閱讀教材例2-5求液壓伺服油缸的線性化數(shù)學(xué)模型。[注意]：⑴上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性（如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等），它是可以用泰勒級數(shù)展開的。⑵實際的工作情況在工作點附近。⑶變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量變化范圍有關(guān)。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化Sunday,April14,2024353.線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟：⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對系統(tǒng)中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。⑶對上述方程進行適當(dāng)?shù)暮喕热缏匀ヒ恍ο到y(tǒng)影響小的次要因素，對非線性元部件進行線性化等。⑷從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟Sunday,April14,202436例2-6

編寫下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。負載-+-+

功率放大器測速發(fā)電機[解]：⑴該系統(tǒng)的組成和原理；⑵該系統(tǒng)的輸出量是，輸入量是，擾動量是線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-6]Sunday,April14,202437線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-6]⑸消去中間變量：推出之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關(guān)，也與干擾有關(guān)。⑷各環(huán)節(jié)微分方程：運放Ⅰ：，運放Ⅱ：功率放大：，反饋環(huán)節(jié)：電動機環(huán)節(jié)：見例2-4測速-運放Ⅰ運放Ⅱ功放電動機⑶速度控制系統(tǒng)方塊圖：Sunday,April14,202438線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-6]⑴對于恒值調(diào)速系統(tǒng)，=常量，則。轉(zhuǎn)速的變化僅由負載干擾引起。增量表達式如下：⑵對于隨動系統(tǒng)，則=常數(shù)，，故：根據(jù)上式可以討論輸出轉(zhuǎn)速跟隨給定輸入電壓的變化情況。⑶若和都是變化的，則對于線性系統(tǒng)應(yīng)用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉(zhuǎn)速變化，然后相加。[增量式分析](上式等號兩端取增量)：Sunday,April14,202439①定義：如果有一個以時間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：

,式中s為復(fù)數(shù)。記作一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充分條件是：⑴t<0時，f(t)=0；⑵t≥0時，f(t)分段連續(xù)；⑶。F(s)—象函數(shù)，f(t)—原函數(shù)。記為反拉氏變換。復(fù)習(xí)拉氏變換4、復(fù)習(xí)拉氏變換Sunday,April14,202440⑴線性性質(zhì)：⑵微分定理：⑶積分定理：（設(shè)初值為零）⑷時滯定理：⑸初值定理：復(fù)習(xí)拉氏變換②性質(zhì)：Sunday,April14,202441⑹終值定理：⑺卷積定理：③常用函數(shù)的拉氏變換：單位階躍函數(shù)：單位脈沖函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：單位拋物線函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。復(fù)習(xí)拉氏變換Sunday,April14,2024425、線性方程的求解：研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。方法有經(jīng)典法，拉氏變換法和數(shù)字求解。在自動系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法。[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對微分方程兩端進行拉氏變換，將時域方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程。②求拉氏反變換，求得輸出函數(shù)的時域解。線性方程的求解Sunday,April14,202443例子求[例2-6]速度控制系統(tǒng)微分方程的解。假設(shè)沒有負載干擾，并且各項初值均為零。解速度控制系統(tǒng)微分方程為：對上式各項進行拉氏變換，得：即：當(dāng)輸入已知時，求上式的拉氏反變換，即可求得輸出的時域解。線性方程的求解（例子）Sunday,April14,202444小結(jié)系統(tǒng)微分方程的列寫；相似量、相似系統(tǒng)；非線性環(huán)節(jié)的線性化；線性方程的求解（用拉氏變換法）；拉氏變換及性質(zhì)。Sunday,April14,202445第二節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Sunday,April14,202446傳遞函數(shù)的基本概念

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，在系統(tǒng)的分析和綜合中可解決如下問題：

不必求解微分方程就可以研究初始條件為零的系統(tǒng)在輸入信號作用下的動態(tài)過程。

可以研究系統(tǒng)參數(shù)變化或結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響，因而使分析系統(tǒng)的問題大為簡化。

可以把對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)傳遞函數(shù)的要求，使綜合問題易于實現(xiàn)。Sunday,April14,202447系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的微分方程為：式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數(shù)一、傳遞函數(shù)的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）

稱為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，即：環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是它的微分方程在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換之比。也可寫成：Y(s)=G(s)X(s)。通過拉氏反變換可求出時域表達式y(tǒng)(t)。傳遞函數(shù)的基本概念Sunday,April14,202448傳遞函數(shù)的基本概念[總結(jié)]:

傳遞函數(shù)是由線性微分方程（線性系統(tǒng)）當(dāng)初始值為零時進行拉氏變化得到的。

已知傳遞函數(shù)G(s)和輸入函數(shù)X(s)，可得出輸出Y(s)。通過反變換可求出時域表達式y(tǒng)(t)?？梢杂森h(huán)節(jié)的微分方程直接得出傳遞函數(shù)，只要將各階導(dǎo)數(shù)用各階s代替即可。即：Sunday,April14,202449傳遞函數(shù)的基本概念||例2-8運放Ⅰ：運放Ⅱ：功放：[例2-8]求速度控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。[解]各環(huán)節(jié)的微分方程和傳遞函數(shù)分別為：直流電動機：Sunday,April14,202450傳遞函數(shù)的基本概念||例2-8

上式有兩個輸入量，而傳遞函數(shù)只能處理單輸入-單輸出系統(tǒng)。對于線性系統(tǒng)，可以將多個輸入分別獨立處理，然后疊加起來。下面分別討論兩個輸入單獨作用時的傳遞函數(shù)。令，得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù)：令，得轉(zhuǎn)速對負載力矩的傳遞函數(shù)：最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：

反饋環(huán)節(jié)：Sunday,April14,202451求下圖系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。RLCi方法1：見例2-1求上式的拉氏變換，得：傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)的基本概念||例2-8a

方法2：復(fù)阻抗（電阻、電容和電感）分別為。則：Sunday,April14,202452傳遞函數(shù)的基本概念||例2-9[例2-9]求下圖的傳遞函數(shù)：B為虛地點，所以所以：Sunday,April14,202453傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對于大多數(shù)實際系統(tǒng)，分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的基本概念[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明]Sunday,April14,202454傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式[傳遞函數(shù)的幾種表現(xiàn)形式]：

表示為有理分式形式：式中：—為實常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。

表示成零點、極點形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點，稱為傳遞函數(shù)的極點。—傳遞系數(shù)（零極點形式傳遞函數(shù)增益）Sunday,April14,202455傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式

寫成時間常數(shù)形式：分別稱為時間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然：Sunday,April14,202456傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式若零點或極點為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項來表示。若為共軛復(fù)極點，則：或：其中系數(shù)由或求得。同樣，共軛復(fù)零點可表示如下：或：Sunday,April14,202457傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式若再考慮有n個零值極點，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：

從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)二階微分振蕩環(huán)節(jié)一階微分Sunday,April14,202458比例環(huán)節(jié)二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復(fù)域（s域）特征。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零、極點分布。

比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。（一）比例環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：Sunday,April14,202459積分環(huán)節(jié)

有一個零值極點。在圖中極點用表示，零點用“”表示。k表示比例系數(shù)，T稱為時間常數(shù)。（二）積分環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：0S平面j0Sunday,April14,202460積分環(huán)節(jié)實例積分環(huán)節(jié)實例：①RC圖中，為轉(zhuǎn)角，為角速度?？梢姡瑸楸壤h(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。②電動機（忽略慣性和摩擦）齒輪組Sunday,April14,202461（三）慣性環(huán)節(jié)時域方程：傳遞函數(shù)：

當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時,有，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)

當(dāng)k=1時，輸入為單位階躍函數(shù)時,時域響應(yīng)曲線和零極點分布圖如下：通過原點的斜率為1/T。只有一個極點（-1/T）。jRe0S平面Sunday,April14,202462

求單位階躍輸入的輸出響應(yīng)的方法：

可見：y(t)是非周期單調(diào)升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)Sunday,April14,202463①R2C-+R1而R②C兩個實例：慣性環(huán)節(jié)實例Sunday,April14,202464振蕩環(huán)節(jié)（四）振蕩環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：上述傳遞函數(shù)有兩種情況：當(dāng)時，可分解為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘。即：傳遞函數(shù)有兩個實數(shù)極點：Sunday,April14,202465振蕩環(huán)節(jié)分析[分析]：y(t)的響應(yīng)過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運動。與有關(guān)。反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率。當(dāng)時，曲線單調(diào)上升,無振蕩。當(dāng)時，曲線衰減振蕩。越小，振蕩越厲害。若，傳遞函數(shù)有一對共軛復(fù)數(shù)極點。傳函可寫成：對階躍輸入：單位階躍響應(yīng)曲線0極點分布圖Sunday,April14,202466解：當(dāng)時，有一對共軛復(fù)數(shù)極點。所以：解得：[例]：求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的和。（見例2-2，p11）振蕩環(huán)節(jié)例子Sunday,April14,202467微分環(huán)節(jié)（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：①②③相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數(shù)和一對共軛零點（若）。在實際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。Sunday,April14,202468式中：y(t)x(t)R1R2C[實例]微分環(huán)節(jié)實例Sunday,April14,202469延遲環(huán)節(jié)（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數(shù)，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡單起見，化簡如下：或x(t)ty(t)tSunday,April14,202470（七）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如等，它們的極點在s平面的右半平面，我們以后會看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。其他環(huán)節(jié)Sunday,April14,202471小結(jié)傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的列寫（由微分方程和系統(tǒng)原理圖出發(fā)）傳遞函數(shù)的適用范圍和局限性典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)（單位階躍響應(yīng)及其零極點分布）Sunday,April14,202472第三節(jié)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換Sunday,April14,202473結(jié)構(gòu)圖的基本概念一、結(jié)構(gòu)圖的基本概念：

我們可以用結(jié)構(gòu)圖表示系統(tǒng)的組成和信號流向。在引入傳遞函數(shù)后，可以把環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標(biāo)在結(jié)構(gòu)圖的方塊里，并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示。這時Y(s)=G(s)X(s)的關(guān)系可以在結(jié)構(gòu)圖中體現(xiàn)出來。[定義]表示變量之間數(shù)學(xué)關(guān)系的方塊圖稱為函數(shù)結(jié)構(gòu)圖或方塊圖。X(t)Y(t)電位器[例]：結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)圖：微分方程：y(t)=kx(t)

若已知系統(tǒng)的組成和各部分的傳遞函數(shù)，則可以畫出各個部分的結(jié)構(gòu)圖并連成整個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。X(s)G(s)=KY(s)Sunday,April14,202474結(jié)構(gòu)圖的基本概念[例2-10].求例2-6所示的速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。各部分傳遞函數(shù)見例2-8，羅列如下：比較環(huán)節(jié)：運放Ⅰ：運放Ⅱ：功放環(huán)節(jié)：Sunday,April14,202475

將上面幾部分按照信號傳遞方向連接起來，形成下頁所示的完整結(jié)構(gòu)圖。通常將輸入信號畫在最左邊,輸出信號畫在最右邊.反饋環(huán)節(jié)：電動機環(huán)節(jié)：-Sunday,April14,202476

在結(jié)構(gòu)圖中，不僅能反映系統(tǒng)的組成和信號流向，還能表示信號傳遞過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是復(fù)域的數(shù)學(xué)模型。結(jié)構(gòu)圖的基本概念-Sunday,April14,202477結(jié)構(gòu)圖的等效變換二、結(jié)構(gòu)圖的等效變換：[定義]：在結(jié)構(gòu)圖上進行數(shù)學(xué)方程的運算。[類型]：①環(huán)節(jié)的合并；

--串聯(lián)

--并聯(lián)

--反饋連接

②信號分支點或相加點的移動。[原則]：變換前后環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變。Sunday,April14,202478（一）環(huán)節(jié)的合并：有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式。

環(huán)節(jié)的并聯(lián)：

反饋聯(lián)接：環(huán)節(jié)的合并

環(huán)節(jié)的串聯(lián)：…Sunday,April14,202479（二）信號相加點和分支點的移動和互換：

如果上述三種連接交叉在一起而無法化簡，則要考慮移動某些信號的相加點和分支點。①信號相加點的移動：把相加點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端信號相加點的移動Sunday,April14,202480信號相加點的移動和互換

把相加點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：Sunday,April14,202481②信號分支點的移動：分支點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端信號分支點的移動和互換Sunday,April14,202482信號相加點和分支點的移動和互換

分支點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：[注意]：

相臨的信號相加點位置可以互換而不改變其等效性；見下例Sunday,April14,202483信號相加點和分支點的移動和互換

同一信號的分支點位置可以互換而不改變其等效性；見下例

相加點和分支點在一般情況下，不能互換。常用的結(jié)構(gòu)圖等效變換見表2-1在一般情況下，相加點向相加點移動，分支點向分支點移動。Sunday,April14,202484例子：方法一：方法二：Sunday,April14,202485結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11[例2-11]利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。[解]：不能把左圖簡單地看成兩個RC電路的串聯(lián),因有負載效應(yīng)。根據(jù)電路定理，有以下等式和結(jié)構(gòu)圖：---Sunday,April14,202486結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11總的結(jié)構(gòu)圖如下：------Sunday,April14,202487

為了求出總的傳遞函數(shù)，需要進行適當(dāng)?shù)牡刃ё儞Q。一個可能的變換過程如下：--------Sunday,April14,202488------Sunday,April14,202489-Sunday,April14,202490---------解法二：Sunday,April14,202491-Sunday,April14,202492解法三：---------+Sunday,April14,202493---+-+-+Sunday,April14,202494-+-Sunday,April14,202495結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-12[解]：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：[例2-12]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞函數(shù)。-+相加點移動-+①Sunday,April14,202496-+②結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-12Sunday,April14,202497[補例]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞函數(shù)。Sunday,April14,202498Sunday,April14,202499Sunday,April14,2024100Sunday,April14,2024101Sunday,April14,2024102結(jié)構(gòu)圖等效變換例2Sunday,April14,2024103Sunday,April14,2024104閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：-+

圖中，，為輸入、輸出信號，為系統(tǒng)的偏差，為系統(tǒng)的擾動量，這是不希望的輸入量。由于傳遞函數(shù)只能處理單輸入、單輸出系統(tǒng)，因此，我們分別求 對和對的傳遞函數(shù)，然后疊加得出總的輸出量。Sunday,April14,2024105給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（一）給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：令，則有：-輸出量為：上式中，稱為前向通道傳遞函數(shù)，前向通道指從輸入端到輸出端沿信號傳送方向的通道。前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)的乘積稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。含義是主反饋通道斷開時從輸入信號到反饋信號之間的傳遞函數(shù)。Sunday,April14,2024106又若單位反饋系統(tǒng)H(s)=1，則有：開環(huán)傳遞函數(shù)=前向通道傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)偏差傳遞函數(shù)：-給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（也可直接寫出該偏差傳遞函數(shù)）Sunday,April14,2024107擾動輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（二）擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：此時R(s)=0,結(jié)構(gòu)圖如下：輸出對擾動的傳遞函數(shù)為：輸出為：一般要求由擾動量產(chǎn)生的輸出量應(yīng)為零。系統(tǒng)的誤差為-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，擾動作用下偏差傳遞函數(shù)為：-+Sunday,April14,2024108給定輸入和擾動輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(三）給定輸入和擾動輸入同時作用下的閉環(huán)系統(tǒng)根據(jù)線性迭加原理：輸出：偏差：[說明]：各個傳遞函數(shù)都具有相同的分母，分母稱為控制系統(tǒng)的特征表達式。作業(yè)：2-8，2-9，2-11Sunday,April14,2024109小結(jié)結(jié)構(gòu)圖的概念和繪制方法；結(jié)構(gòu)圖的等效變換（環(huán)節(jié)的合并和分支點、相加點的移動）；給定作用和擾動作用共同時的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；特征表達式（特征方程）。Sunday,April14,2024110-+-++++[補充題一]某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。Sunday,April14,2024111[補充題二]某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。Sunday,April14,2024112第四節(jié)控制系統(tǒng)的信號流圖Sunday,April14,2024113

信號流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。一、信號流圖及其等效變換組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成。見下圖：信號流圖的概念-+Sunday,April14,2024114上圖中，兩者都具有關(guān)系:。支路對節(jié)點來說是輸出支路，對節(jié)點y來說是輸入支路。

節(jié)點：節(jié)點表示信號，輸入節(jié)點表示輸入信號，輸出節(jié)點表示輸出信號。支路：連接節(jié)點之間的線段為支路。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。信號流圖的概念Sunday,April14,2024115信號流圖的術(shù)語[幾個術(shù)語]：

輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如：X8。

混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7?；旌瞎?jié)點相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進信號的疊加。

通路：沿支路箭頭方向穿過各個相連支路的路線，起始點和終點都在節(jié)點上。若通路與任一節(jié)點相交不多于一次，且起點和終點不是同一節(jié)點稱為開通路。起點在源點，終點在阱點的開通路叫前向通路。

輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支路的節(jié)點。如：X1，X9。Sunday,April14,2024116

回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點相交不多于一次，但起點和終點為同一節(jié)點的通路稱為回路。

互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。信號流圖的術(shù)語

通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。

回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。Sunday,April14,2024117信號流圖的等效變換

串聯(lián)支路合并：

并聯(lián)支路的合并：

回路的消除：Sunday,April14,2024118

混合支路的清除：

自回路的消除：信號流圖的等效變換Sunday,April14,2024119信號流圖的性質(zhì)節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，因此信號流圖不是唯一的。信號流圖的性質(zhì)Sunday,April14,2024120信號流圖的繪制[信號流圖的繪制]：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖列出系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的拉氏方程，按變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系繪制

先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。例1：速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：Sunday,April14,2024121例2:

已知結(jié)構(gòu)圖如下，可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。Sunday,April14,2024122信號流圖的繪制例2:

按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制。如前例所對應(yīng)的代數(shù)方程為:按方程可繪制信號流圖。Sunday,April14,2024123梅遜公式

用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道總數(shù)；第k個前向通道的總傳輸；流圖特征式；其計算公式為：二、梅遜增益公式Sunday,April14,2024124（正負號間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；

所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；

第k個前向通道的特征余子式；其值為中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分。梅遜公式Sunday,April14,2024125梅遜公式||例2-13a[解]：前向通道有一條；有一個回路；例2-13a：求速度控制系統(tǒng)的總傳輸。（不計擾動）Sunday,April14,2024126梅遜公式||例2-13[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號流圖如下：[例2-13]：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù)。---Sunday,April14,2024127圖中，有一個前向通道；有三個回路；有兩個互不接觸回路；（因為三個回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：梅遜公式||例2-13（正負號間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；

所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；Sunday,April14,2024128梅遜公式||例2-13討論：信號流圖中，a點和b點之間的傳輸為1，是否可以將該兩點合并。使得將兩個不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不能合并。因為a、b兩點的信號值不一樣。上圖中，ui和ue，I1和I，a和b可以合并。Sunday,April14,2024129梅遜公式||例2-14例2-14：使用Mason公式計算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)解：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖。然后畫出信號流圖，如下：++--Sunday,April14,2024130回路有三，分別為：有兩個不接觸回路，所以：梅遜公式||例2-14求：前向通道有二，分別為:Sunday,April14,2024131梅遜公式||例2-14求：（蘭線表示）

不變。（紅線表示）注意：上面講不變，為什么？是流圖特征式，也就是傳遞函數(shù)的特征表達式。對于一個給定的系統(tǒng)，特征表達式總是不變的，可以試著求一下。Sunday,April14,2024132梅遜公式注意事項注意：梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對輸入的增益。而輸出對混合節(jié)點（中間變量）的增益不能直接應(yīng)用梅森公式。也就是說對混合節(jié)點，不能簡單地通過引出一條增益為一的支路，而把非輸入節(jié)點變成輸入節(jié)點。對此問題有兩種方法求其傳遞函數(shù)：一、把該混合節(jié)點的所有輸入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分別用梅森公式求取輸出節(jié)點及該節(jié)點對輸入節(jié)點的傳遞函數(shù)，然后把它們的結(jié)果相比，即可得到輸出對該混合節(jié)點的傳遞函數(shù)。Sunday,April14,2024133梅遜公式||例2-15例2-15：數(shù)數(shù)有幾個回路和前向通道。

有四個回路，分別是：它們都是互相接觸的。

有九條前向通道，分別是：Sunday,April14,2024134梅遜公式||例2-15

對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖為：--+++++為節(jié)點注意：①信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系；②仔細確定前向通道和回路的個數(shù)。作業(yè)：2-12，2-13Sunday,April14,2024135小結(jié)

信號流圖的組成；術(shù)語；信號流圖的繪制和等效變換；梅遜公式極其應(yīng)用；信號流圖和結(jié)構(gòu)圖之間的關(guān)系。小結(jié)Sunday,April14,2024136梅遜公式的推導(dǎo)附錄：梅遜公式的推導(dǎo)如前例已知信號流圖如圖所示，所對應(yīng)的代數(shù)方程為以R為輸入，V2為輸出則可整理成下列方程Sunday,April14,2024137于是可求得該方程組的系數(shù)行列式和

梅遜公式的推導(dǎo)Sunday,April14,2024138根據(jù)克萊姆法則得

于是傳遞函數(shù)為

分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號流圖的拓撲結(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系。從拓撲結(jié)構(gòu)的觀點，信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數(shù)量。而信號流圖所含回路的主要類型有兩種：單獨的回路和互不接觸回路。梅遜公式的推導(dǎo)Sunday,April14,2024139圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有單獨回路增益之和為兩兩互不接觸回路增益乘積之和為

而△值恰好為

可見，傳遞函數(shù)的分母△取決于信號流圖的拓撲結(jié)構(gòu)特征。

梅遜公式的推導(dǎo)Sunday,April14,2024140

如果把△中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后，剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式，并記為△k。由圖可得，從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應(yīng)的余子式如下表所示前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅遜公式的推導(dǎo)Sunday,April14,2024141故用信號流圖拓撲結(jié)構(gòu)的術(shù)語，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為

梅遜公式的推導(dǎo)傳遞函數(shù)的分子等于系數(shù)行列式△２除以R(s)。而恰好為

前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1Sunday,April14,2024142第五節(jié)脈沖響應(yīng)函數(shù)Sunday,April14,2024143

①

理想單位脈沖函數(shù)：[定義]：，且，其積分面積為1。

出現(xiàn)在時刻，積分面積為A的理想脈沖函數(shù)定義如下：且

脈沖響應(yīng)函數(shù)表示零初始條件時，線性系統(tǒng)對理想單位脈沖輸入信號的響應(yīng)。它也是線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

實際單位脈沖函數(shù)：和當(dāng)時，脈沖函數(shù)Sunday,April14,2024144

以下討論線性控制系統(tǒng)在單位脈沖作用下的輸出響應(yīng)g(t)，稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。

從上式可以看出，g(t)是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，它等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換。g(t)與G(s)有一一對應(yīng)的關(guān)系。g(t)也是線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。故：[例2-16]：設(shè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)是，求G(s)。[解]：脈沖響應(yīng)函數(shù)Sunday,April14,2024145

我們還可以不證明地表示出：利用脈沖響應(yīng)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)在任何輸入x(t)下的輸出響應(yīng)y(t)?；蚴街?，g(t)是脈沖響應(yīng)函數(shù)，上述兩式稱為卷積。表示為：用脈沖響應(yīng)函數(shù)表示輸出

回憶拉氏變換的卷積定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以：Y(s)=X(s)G(s)Sunday,April14,2024146則輸出：單位階躍響應(yīng)函數(shù)：②

單位階躍響應(yīng)函數(shù)：單位階躍響應(yīng)函數(shù)也是線性控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。它是在單位階躍函數(shù)1(t)的作用下的輸出響應(yīng)h(t).單位階躍響應(yīng)函數(shù)Sunday,April14,2024147③脈沖響應(yīng)函數(shù)和單位階躍響應(yīng)函數(shù)之間的關(guān)系：根據(jù)積分定理：當(dāng)零初值時，有Sunday,April14,2024148小結(jié)

脈沖響應(yīng)函數(shù)；脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系；單位階躍響應(yīng)函數(shù)；脈沖響應(yīng)函數(shù)和單位階躍響應(yīng)函數(shù)之間的關(guān)系。Sunday,April14,2024149本章總結(jié)

本章討論了控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型問題，數(shù)學(xué)模型是實際系統(tǒng)與控制理論聯(lián)系的橋梁，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進行分析的第一步。本章介紹了時域和頻域的數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)的微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號流圖，脈沖響應(yīng)函數(shù)等。請注意各種數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系。本章研究的數(shù)學(xué)模型是基于線性定?？刂葡到y(tǒng)的，是研究輸入輸出之間的關(guān)系，不涉及系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化，故稱為輸入輸出模型。Sunday,April14,2024150基本要求：

會列寫控制系統(tǒng)中常用元件的數(shù)學(xué)模型以及根據(jù)系統(tǒng)的組成列寫系統(tǒng)的微分方程；根據(jù)微分方程求傳遞函數(shù)的方法；熟悉繪制結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的方法；熟悉由結(jié)構(gòu)圖和信號流圖求取傳遞函數(shù)的方法－結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的等效變換－在結(jié)構(gòu)圖和信號流圖上，用列方程的方法求傳遞函數(shù)－梅遜公式Sunday,April14,2024151第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析Sunday,April14,2024152典型輸入作用和時域性能指標(biāo)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)高階系統(tǒng)分析穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差分析本章主要內(nèi)容Sunday,April14,2024153第一節(jié)典型輸入作用和時域性能指標(biāo)Sunday,April14,2024154什么是時域分析?

指控制系統(tǒng)在一定的輸入信號作用下，根據(jù)輸出量的時域表達式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。

時域分析是一種在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點。由于系統(tǒng)的輸出量的時域表達式是時間的函數(shù)，所以系統(tǒng)的輸出量的時域表達式又稱為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。系統(tǒng)輸出量的時域表示可由微分方程得到，也可由傳遞函數(shù)得到。在初值為零時，可利用傳遞函數(shù)進行研究，用傳遞函數(shù)間接的評價系統(tǒng)的性能指標(biāo)。

控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，可以通過在輸入信號作用下系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程來評價。系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關(guān)。時域分析Sunday,April14,2024155典型初始狀態(tài)這表明，在外作用加入系統(tǒng)之前系統(tǒng)是相對靜止的，被控制量及其各階導(dǎo)數(shù)相對于平衡工作點的增量為零。典型初始狀態(tài):規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，即在時Sunday,April14,2024156典型輸入作用脈沖函數(shù)：階躍函數(shù)：A階躍幅度，A=1稱為單位階躍函數(shù)，記為1（t）。

其拉氏變換后的像函數(shù)為：

斜坡函數(shù)（速度階躍函數(shù)）：B=1時稱為單位斜坡函數(shù)。

其拉氏變換后的像函數(shù)為：典型輸入作用Sunday,April14,2024157典型輸入作用[提示]：上述幾種典型輸入信號的關(guān)系如下：拋物線函數(shù)（加速度階躍函數(shù)）：C=1時稱為單位拋物線函數(shù)。

其拉氏變換后的像函數(shù)為：正弦函數(shù)：，式中，A為振幅，為頻率。

其拉氏變換后的像函數(shù)為：Sunday,April14,2024158

分析系統(tǒng)特性究竟采用何種典型輸入信號，取決于實際系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。當(dāng)系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)時，可選擇階躍函數(shù)為典型輸入信號；當(dāng)系統(tǒng)的輸入是隨時間增長變化時，可選擇斜坡函數(shù)為典型輸入信號。討論系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)時，通常選擇單位階躍信號作為典型輸入信號。Sunday,April14,2024159典型響應(yīng)典型響應(yīng)：⒈單位脈沖函數(shù)響應(yīng)：⒉單位階躍函數(shù)響應(yīng)：

⒊單位斜坡函數(shù)響應(yīng)：⒋單位拋物線函數(shù)響應(yīng)：[提示]：上述幾種典型響應(yīng)有如下關(guān)系：單位脈沖函數(shù)響應(yīng)單位階躍函數(shù)響應(yīng)單位斜坡函數(shù)響應(yīng)單位拋物線函數(shù)響應(yīng)積分積分積分微分微分微分Sunday,April14,2024160線性微分方程的解時域分析以線性定常微分方程的解來討論系統(tǒng)的特性和性能指標(biāo)。設(shè)微分方程如下：式中，x(t)為輸入信號，y(t)為輸出信號。

我們知道，微分方程的解可表示為：，其中，為對應(yīng)的齊次方程的通解，只與微分方程（系統(tǒng)本身的特性或系統(tǒng)的特征方程的根）有關(guān)。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)時間趨于無窮大時，通解趨于零。所以根據(jù)通解或特征方程的根可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為特解，與微分方程和輸入有關(guān)。一般來說，當(dāng)時間趨于無窮大是特解趨于一個穩(wěn)態(tài)的函數(shù)。線性微分方程的解Sunday,April14,2024161

系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)過程之前的過程稱為瞬態(tài)過程。瞬態(tài)分析是分析瞬態(tài)過程中輸出響應(yīng)的各種運動特性。理論上說，只有當(dāng)時間趨于無窮大時，才進入穩(wěn)態(tài)過程，但這在工程上顯然是無法進行的。在工程上只討論輸入作用加入一段時間里的瞬態(tài)過程，在這段時間里，反映了主要的瞬態(tài)性能指標(biāo)。

綜上所述，對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，對于一個有界的輸入，當(dāng)時間趨于無窮大時，微分方程的全解將趨于一個穩(wěn)態(tài)的函數(shù)，使系統(tǒng)達到一個新的平衡狀態(tài)。工程上稱為進入穩(wěn)態(tài)過程。線性微分方程的解某系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如下：瞬態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程瞬態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程Sunday,April14,2024162瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（衰減振蕩）瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（一）衰減振蕩：具有衰減振蕩的瞬態(tài)過程如圖所示：瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（衰減振蕩）⒈延遲時間：輸出響應(yīng)第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。⒉上升時間：輸出響應(yīng)第一次達到穩(wěn)態(tài)值y(∞)所需的時間?；蛑赣煞€(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。

通常以階躍響應(yīng)來衡量系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣和定義瞬態(tài)過程的時域性能指標(biāo)。穩(wěn)定的隨動系統(tǒng)（不計擾動）的單位階躍響應(yīng)函數(shù)有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種。Sunday,April14,2024163⒋最大超調(diào)量(簡稱超調(diào)量)：式中：—輸出響應(yīng)的最大值；—穩(wěn)態(tài)值；瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（衰減振蕩）輸出響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值ymax所需要的時間。⒊峰值時間：瞬態(tài)過程中輸出響應(yīng)的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。⒌調(diào)節(jié)時間或過渡過程時間：當(dāng)和之間的誤差達到規(guī)定的范圍之內(nèi)［一般取的±5%或±2%，稱允許誤差范圍，用D表示］且以后不再超出此范圍的最小時間。即當(dāng)，有：Sunday,April14,2024164瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)⒍振蕩次數(shù)N：在上述幾種性能指標(biāo)中，表示瞬態(tài)過程進行的快慢，是快速性指標(biāo)；而反映瞬態(tài)過程的振蕩程度，是振蕩性指標(biāo)。其中和是兩種最常用的性能指標(biāo)。在調(diào)節(jié)時間內(nèi)，y(t)偏離的振蕩次數(shù)。Sunday,April14,2024165瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（二）單調(diào)變化單調(diào)變化響應(yīng)曲線如圖所示：

這種系統(tǒng)就無需采用峰值時間和最大超調(diào)量這兩個指標(biāo)。此時最常用的是調(diào)節(jié)時間這一指標(biāo)來表示瞬態(tài)過程的快速性。有時也采用上升時間這一指標(biāo)。Sunday,April14,2024166主要是穩(wěn)態(tài)誤差。式中：e(t)=給定輸入值-實際輸出值（單位反饋）；E(s)是系統(tǒng)的偏差。穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo)對一個控制系統(tǒng)的要求系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定的；系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求；系統(tǒng)在瞬態(tài)過程中應(yīng)有好的快速性。簡稱為：穩(wěn)、準(zhǔn)、快對一個控制系統(tǒng)的要求Sunday,April14,2024167小結(jié)典型輸入作用極其之間的關(guān)系典型響應(yīng)及其之間的關(guān)系線性微分方程的解瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)(有衰減振蕩和單調(diào)變化之分)穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo)(穩(wěn)態(tài)誤差)對一個控制系統(tǒng)的要求(穩(wěn)、準(zhǔn)、快)Sunday,April14,2024168第三節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)Sunday,April14,2024169一、典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它在控制工程中的應(yīng)用極為廣泛。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，也可簡化為二階系統(tǒng)來研究。開環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)傳遞函數(shù)為:-

稱為典型二階系統(tǒng)