2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)正、余弦定理與平面向量基本問題

考點梳理考情回顧高考預(yù)測平面向量的數(shù)

量積運算、線

性運算、位置

關(guān)系等2023新高考Ⅰ卷第3題2022新高考Ⅰ卷第3題2021新高考Ⅰ卷第10題1.小題考查平面向量，

正、余弦定理的應(yīng)用.2.解答題考查利用正、余

弦定理求解三角形邊、

角、面積問題，常涉及三

角恒等變換，最值、范圍

問題.3.注意在平面四邊形中考

查三角形的應(yīng)用.正弦定理與余

弦定理2023全國乙卷第4題2023新高考Ⅰ卷第17題2022新高考Ⅰ卷第18題2021新高考Ⅰ卷第19題

2.（2023·新高考Ⅰ卷）已知向量

a

＝（1，1），

b

＝（1，－1）.若（

a

＋

λ

b

）⊥（

a

＋μ

b

），則下列結(jié)論正確的是（

D

）A.λ＋μ＝1B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1D.λμ＝－1CD3.（多選）（2021·新高考Ⅰ卷）已知

O

為坐標(biāo)原點，點

P

1（cosα，sin

α），

P

2（cosβ，－sinβ），

P

3（cos（α＋β），sin（α＋β）），

A

（1，0），則下列結(jié)論一定正確的是（

AC

）AC

2

（3）

已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解，有時已知

兩邊和其中一邊對角可用余弦定理求第三邊，這種方法可避免對解

個數(shù)的討論；（4）

靈活利用式子的特點轉(zhuǎn)化：如出現(xiàn)

a

2＋

b

2－

c

2＝λ

ab

的形式用余

弦定理，等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理.

總結(jié)提煉

用正、余弦定理求解三角形中基本量的方法

B.若b＝4，則△ABC有兩解C.若△ABC為銳角三角形，則b的取值范圍是（2，4）D.若D為邊BC的中點，則AD長的最大值為3CD123456789101112131415161718192021222324

BCD

熱點2

平面向量[典例設(shè)計]例3（1）

（2022·新高考Ⅱ卷）已知向量

a

＝（3，4），

b

＝（1，

0），

c

＝

a

＋

tb

.若＜

a

，

c

＞＝＜

b

，

c

＞，則

t

的值為（

C

）A.－6B.－5C.5D.6

A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2nD.2m＋3nCB

D.bA

A.1C

A.－11B.－13C.－15D.15

A

A.1C.2D.3A

總結(jié)提煉

（1）

數(shù)量積的表示一般有三種方法：①

當(dāng)已知向量的模和夾角時，

可利用定義法求解；②

當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解；③

運用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后，再運算.（2）

計算模的范圍或最值常見方法：①

通過｜

a

｜2＝

a

2轉(zhuǎn)化為實數(shù)

問題；②

數(shù)形結(jié)合；③

坐標(biāo)法.

C.2D.1A

熱點3

三角測量與數(shù)學(xué)文化問題[典例設(shè)計]例5

（2023·南通二模）古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的

一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》

測量一個球體建筑物的高度（如圖），

A

是球體建筑物與水平地面的接

觸點（切點），地面上

B

，

C

兩點與點

A

在同一條直線上，且在點

A

的

同側(cè).若在點

B

，

C

處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且

BC

＝100m，則該球體建筑物的高度約為（參考數(shù)據(jù)：cos10°≈0.985）

（

B

）A.49.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60mB

A.346B.373C.446D.473B

總結(jié)提煉

解三角形在實際生活中的應(yīng)用非常廣泛，如測量中的距離、高

度、角度及加工零件中的面積、體積等問題，均需根據(jù)實際問題抽象

出解決該問題的幾何