2（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）全國陸續(xù)有多個省份官宣布在2024年的高考數(shù)學中將采用新題型模式。新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單＋3（多選題3（填空題5（解答題其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來的0分、2分、5分三種得分變?yōu)椤安糠诌x對得部分分，滿分為6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變?yōu)?題，分值依次為13分、15分、15分、17分、17分。函數(shù)和導數(shù)不再是壓軸類型，甚至有可能是第一道大題，增加的新定義的壓軸題，以新舊知識材料為主來考察考生的數(shù)學思維能力，難度較大。從2024屆九省聯(lián)考新模式出題方向可以看出，除了8+3+3+5的模式外，核心的變化在于改變以往的死記硬背的備考策略，改變了以前套公式的學習套路，現(xiàn)在主要是考查學生的數(shù)學思維的靈活，對三角函數(shù)喝數(shù)列的考察更加注重技巧的應用，統(tǒng)計概率結合生活情景來考查考生數(shù)學在生活中的實際應用，特別是最后一道大題，題目給出定義，讓考生推導性質，考查考生的數(shù)學學習能力和數(shù)學探索能力，這就要求考生在平時的學習中要注重定理、公式的推導證明，才能培養(yǎng)數(shù)學解決這類問題的思維素養(yǎng)。一：選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．現(xiàn)有隨機選出的20個數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下，則()7243954616673828282A．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為102B．該組數(shù)據(jù)的極差為112C．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87D．該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為1022．的值為(2．的值為() 6222y=1(a>0,b>0)y=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別為F1、F2，點M為F1關于漸近線的對稱點．若xC:b22aMFMFMFMFx2x2y25．已知(mx+y)(x+y)5的展開式中各項系數(shù)之和為一32，則該展開式中含x3y3的項的系數(shù)為()6436．已知正四棱錐P一ABCD各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為43為(C．4π4π3C．4π4π3*)D．650AD．650的余弦值的最小值為()23 2335435二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)f(x)=Atan(負x+Q)(負 π A．負.Q.A=B．f(x)的圖象過點,C．函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=對稱D．若函數(shù)y=f(x)+λf(x)在區(qū)間(|（-,上不單調，則實數(shù)λ的取值范圍是[-1,1]10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是AD1的中點，點Q是直線CD1上的動點，則下列說法正確的是()A.△PBD是直角三角形B．異面直線PD與CD1所成的角為C．當AB的長度為定值時，三棱錐D-PBQ的體積為定值ACDD．平面PBD」平面1ACD11．已知函數(shù)f(x)=a(ex+1)ln-ex+1恰有三個零點，設其由小到大分別為x1,x2,x3，則()23C．函數(shù)g(x)=f(x)+kf(-x)可能有四個零點x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知正數(shù)x，y滿足x+y=6，若不等式a<+恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.13．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，以A1為球心、為半徑的球面與底面ABC的交線長為,則三棱柱ABC-A1B1C1的表面在球內部分的總面積為.再接下來的三項是20,21,22，依此類推，若該數(shù)列的前n項和為Sn，若log2(Sn)eZ,neN*，則稱當n之66時，第一次出現(xiàn)的“好數(shù)對”是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.這三個條件中任選一個，補充在下列問題的橫線上，再作答如果選擇多個條件分別作答，那么按第一個解答計分）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若{an.bn}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.1615分）在某數(shù)字通信中，信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié)．每次信號只發(fā)送0和1中的某個數(shù)字，由于隨機因素干擾，接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤，已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概次信號的傳輸相互獨立.(1)當連續(xù)三次發(fā)送信號均為0時，設其相應三次接收到的信號數(shù)字均相同的概率為f(C)，求f(C)的最小值；(2)當連續(xù)四次發(fā)送信號均為1時，設其相應四次接收到的信號數(shù)字依次為x1,x2,x3,x4，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機變量X（x1,x2,x3,x4中任意相鄰的數(shù)字均不相同時，令X=1若β=，求X的分布列和數(shù)學期望.1715分）已知點P、A、B是拋物線C:x2=4y上的點，且PA」PB.(1)若點P的坐標為(2,1)，則動直線AB是否過定點？如果過定點，請求出定點坐標，反之，請說明理由.(2)若PA=PB，求‘PAB面積的最小值.1817分）已知函數(shù)f(x)=a(x-1)ex+1-2xlnx-x2(aeR).(1)當a=0時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間e-2,1上的最小值；(2)討論函數(shù)f(x)的極值點個數(shù)；(3)當函數(shù)f(x)無極值點時，求證：asin>.1917分）已知集合A={a1,a2,a3……an}堅x,yeA(x產y)，都有x-y>，則稱集合A具有性質Mk.(1)集合A={1,2,a}具有性質M3，求a的最小值；(2)已知A具有性質M15，求證：->；(3)已知A具有性質M15，求集合A中元素個數(shù)的最大值，并說明理由.（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一：選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.12345678DDDCDBCA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9BCDABCBCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1513分）【解析】（1）選條件①時，由于an是2與Sn的等差中項；①-②得：2an-2an-1=an，整理得an=2an-1，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；所以an=2根2n-1=2n（首項符合），所以an=2n；①-②得：an+1=2an，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；n-1=2n（首項符合通項），所以an=2n；選條件③時，因為Sn=2n+1-2，n所以an=2n（2）若{anbn}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以bn=，Tn)-4；n2n-1整理得T=6-2nn2n-11615分）因為0<C<1，所以當C=時，f(C)的最小值（2）由題設知，X的可能取值為1，2，3，4.①當X=1時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為0101或1010.②當X=2時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011.2222③當X=3時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為1110，或0111，或0001，或1000.33④當X=4時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為0000，或1111.所以X的分布列為X1234P 49201715分）【解析】（1）解：設直線AB」x軸，則直線AB與拋物線C有且只有一個交點，不合乎題意.2y122,x4，------------因此，直線AB過定點(-2,5).（2）解：由（1）可知，直線AB的斜率存在，且直線AB的方程為y=kx+b，記線段AB的中點為點M.①當k=0時，則A、B關于y軸對稱，此時線段AB的垂線為y軸，因為PA=PB，則點P為坐標原點，又因為PA」PB，則ΔPAB為等腰直角三角形，lx=4ylx=4yly=0ly=42+b，即點M(2k,2k2+b)，PA=PB直線PM的斜率為kPM==-，可得b=y0-2-2k2+，2-1xx0不成立，2222)-2k2(k2+322222-122-12，一一因此，‘PAB面積的最小值為16.1817分）因為xee一2,1，所以g,(x)<0．則g(x)在e一2,1上單調遞減，)使得f,(x0)=0,f(x)在(e2,x0)上單調遞增，在(x0,1)上單調遞減.因此，f(x)在e一2,1上的最小值是f(e一2)與f(1)兩者中的最小者.2e424e2所以函數(shù)f(x)在e一2,1上的最小值為一1.e,易知函數(shù)y=lnx+x+1在(0,+偽)上單調遞增，且值域為R，令lnx+x+1=t，由f,(x)=0，解得a=2tte得h(t)的大致圖像如圖所示.因此有：方程h(t)=a無解，即f,(x)無零點，f(x)沒有極值點；(ⅲ)當0<a<時，方程h(t)=a有兩個解，即f,(x)有兩個零點，f(x)有兩個極值點；(ⅳ)當a<0時，方程h(t)=a有一個解，即f,(x)有一個零點，f(x)有一個極值點.綜上，當a<0時，f(x)有一個極值點；當0<a<時，f(x)有兩個極值點；當a>時，f(x)沒有極值點.由（2）知，當函數(shù)f(x)無極值點時，a>，則0<<即不等式asin>成立.1917分）所以a的最小值為6.4*，n，+-=->同（2）證明得n-in-i綜上，集合A中元素個數(shù)的最大值為7.（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）全國陸續(xù)有多個省份官宣布在2024年的高考數(shù)學中將采用新題型模式。新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單＋3（多選題3（填空題5（解答題其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來的0分、2分、5分三種得分變?yōu)椤安糠诌x對得部分分，滿分為6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變?yōu)?題，分值依次為13分、15分、15分、17分、17分。函數(shù)和導數(shù)不再是壓軸類型，甚至有可能是第一道大題，增加的新定義的壓軸題，以新舊知識材料為主來考察考生的數(shù)學思維能力，難度較大。從2024屆九省聯(lián)考新模式出題方向可以看出，除了8+3+3+5的模式外，核心的變化在于改變以往的死記硬背的備考策略，改變了以前套公式的學習套路，現(xiàn)在主要是考查學生的數(shù)學思維的靈活，對三角函數(shù)喝數(shù)列的考察更加注重技巧的應用，統(tǒng)計概率結合生活情景來考查考生數(shù)學在生活中的實際應用，特別是最后一道大題，題目給出定義，讓考生推導性質，考查考生的數(shù)學學習能力和數(shù)學探索能力，這就要求考生在平時的學習中要注重定理、公式的推導證明，才能培養(yǎng)數(shù)學解決這類問題的思維素養(yǎng)。一：選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．現(xiàn)有隨機選出的20個數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下，則()7243954616673828282A．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為102B．該組數(shù)據(jù)的極差為112C．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87D．該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為102【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，對于A，出現(xiàn)次數(shù)最多的是82，所以眾數(shù)是82，故A錯誤；對于C，：20x50%=10，：第10個數(shù)和第11個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，對于D，：20x80%=16，：第16個數(shù)和第17個數(shù)的平均數(shù)為80%分位數(shù)，故選：D.2．【答案】D 故選：D.【答案】D故選：D.=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別為F1、F2，點M為F1關于漸近線的對稱點．若MFMF12MFMF=2，且△MF1F2的面積為8，則C的方程為()MFMF12MFMFA．x22【答案】C【解析】記F1M與漸近線bx+ay=0相交于點N，由題可知，ON為△MF1F2的中位線，且ON」F1M，所以F2M」F1M，則S‘FFM=MF1MF2=2ab=8，1212xy xy =1.故選：C5．已知(mx+y)(x+y)5的展開式中各項系數(shù)之和為一32，則該展開式中含x3y3的項的系數(shù)為()【答案】D【解析】令x=y=1得，(m+1).25=32，解得m=2，所以(2x+y)(x+y)5的展開式中含x3y3的項的系2數(shù)為-2C+C=-10.故選：D.6．已知正四棱錐P-ABCD各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為()【答案】B【解析】如圖，設P在底面ABCD的射影為H，則PH」平面ABCD，且H為AC,BD的交點.因為正四棱錐底面邊長為由正四棱錐的對稱性可知O在直線PH上，設外接球的半徑為R，則OH=4-R，故R2=8+(4-R)2，故R=3，故正四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為4題π題9=36π,故選：B.A．624B．625C．626D．650【答案】C當n=2k-1,keN*時，an+2-an=2，即數(shù)列{an}的奇數(shù)項構成等差數(shù)列，其首項為1，公差為2，549a n2an當n2k,kNa n2an1，即數(shù)列an的偶數(shù)項構成等比數(shù)列，其首項為1，公比為1，則a2a4a6…a501，所以S50(a1a3a5…a49)(a2a4a6…a50)626.故選：C8．在三棱錐PABC中，AB2，PC1，PAPB4，CACB2，且PCAB，則二面角P-AB-C的余弦值的最小值為() 【答案】A【解析】因為PAPB42a，所以a2，點P的軌跡方程為1（橢球），又因為CACB2，所以點A的軌跡方程為x2y21雙曲線的一支）過點P作PHAB,ABPC，而PHPCP,PF,PC面PHC，所以AB面PHC，設O為AB中點，則二面角P-AB-C為PHC，所以不妨設OH2cos,0,π,PHsin,CH2sin2θ+4cos2θ112cos2θ1sin2θ2sin2θ+4cos2θ112cos2θ1sin2θ所以212.sin2122t22 所以當且僅當sinθ=,cosθ=時，(cos經PHC)min=.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)f(x)=Atan(Φx+Q)(Φ>0,0<Q<π)的部分圖象如圖所示，則()B．f(x)的圖象過點,C．函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=對稱D．若函數(shù)y=f(x)+λf(x)在區(qū)間(|（一,上不單調，則實數(shù)λ的取值范圍是[一1,1]【答案】BCDππ(5π)ππ(5π)所以Φ.Q.A=，因此本選項不正確；所以本選項正確；f+x=2tan+x+=2tanx，所以f一x=f+x，所以函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=對稱，因此本選項正確；(5ππ](5ππ]λ<1，故選：BCD10．如圖，在正方體ABCD一A1B1C1D1中，點P是AD1的中點，點Q是直線CD1上的動點，則下列說法正確的是()3A.△PBD是直角三角形B．異面直線PD與CD1所成的角為C．當AB的長度為定值時，三棱錐D一PBQ的體積為定值ACDD．平面PBD」平面1ACD【答案】ABC【解析】對于A，設正方體的棱長為2，點P是AD1的中點，故PD」AD1;則BD2=PD2+PB2，即PD」PB，即△PBD是直角三角形，A正確；對于B，在正方體ABCD一A1B1C1D1中，點P則直線DP即為直線A1D，異面直線PD與CD1所成的角即異面直線A1D與CD1所成的角，由于A1B1//AB//CD，A1B=AB=所以A1D//B1C，則經B1CD1即為異面直線A1D與CD1所成的角或其補角，故異面直線PD與CD1所成的角為π,B正確； π ,3對于C，設AB,CD交于點O，則O為AC的中點，連接PO，則PO為△ACD1的中位線，故PO//CD1，PO一平面PBD，CD1丈平面PBD，故CD1//平面PBD，當AB的長度為定值時，CD1到平面PBD的距離為定值，則Q到平面PBD的距離為定值，而△PBD的面積為定值，故VQ一PBD為定值，又三棱錐D一PBQ的體積VD一PBQ=VQ一PBD，故三棱錐D一PBQ的體積為定值，C正確；對于D，以D為坐標原點，以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，---------------------------故平面PBD和平面ACD1不垂直，D錯誤，故選：ABC.11．已知函數(shù)f(x)=a(ex+1)ln一ex+1恰有三個零點，設其由小到大分別為x1,x2,x3，則()(1)(1)23C．函數(shù)g(x)=f(x)+kf(一x)可能有四個零點f,(x3)x【答案】BCDxxxxxx,x2,x3，當k>0時，令1=0，則x=lnk，只需保證lnk子x1,x2,x3可使得方程有4個實根，故C正確；由B可知，x1=x3，而=ex常f,(x3)=exf,(x3)，xxxxexxlnalnex+1xf,(x3)+a(ex+1)lnex+1=exf,(x3)，故D正確； 1,2故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知正數(shù)x，y滿足x+y=6，若不等式a<+【解析】因為x+y=6，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.2213．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，以A1為球心、為半徑的球面與底面ABC的交線長為,則三棱柱ABC-A1B1C1的表面在球內部分的總面積為.【解析】記以A1為球心，為半徑的球面與底面ABC的交線半徑為r，正三棱柱的高為h，22π2π22側面AA1B1B在球A1內部分如圖（陰影部分）所示，2顯然側面BB1C1C與球A1不相交，再接下來的三項是20,21,22，依此類推，若該數(shù)列的前n項和為Sn，若log2(Sn)=Z,n=N*，則稱(n,log2(Sn))一次出現(xiàn)的“好數(shù)對”是.【答案】(95,14)【解析】若log2(Sn)eZ,neN*，則Sn為2的整數(shù)冪，將數(shù)列排成如下形式：……kkk2k+1k2可用以2為底的整數(shù)冪表示，所以當n之66時，第一次出現(xiàn)的“好數(shù)對”是(95,14)，故答案為：(95,14).四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.這三個條件中任選一個，補充在下列問題的橫線上，再作答如果選擇多個條件分別作答，那么按第一個解答計分）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若{an.bn}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【解析】（1）選條件①時，由于an是2與Sn的等差中項；n1②,所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；n1n（首項符合通項），所以an=2n；所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；n1n（首項符合通項），所以an=2n；nn因為n=1時也滿足an=2n，所以an=2n（2）若{anbn}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，2n222324...2n+12n222324...2n+1n2n-1整理得T=6-2nn2n-11615分）在某數(shù)字通信中，信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié)．每次信號只發(fā)送0和1中的某個數(shù)字，由于隨機因素干擾，接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤，已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為a(0<a<1)，1-a；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為β(0<β<1),1-β.假設每次信號的傳輸相互獨立.(1)當連續(xù)三次發(fā)送信號均為0時，設其相應三次接收到的信號數(shù)字均相同的概率為f(a)，求f(a)的最小值；(2)當連續(xù)四次發(fā)送信號均為1時，設其相應四次接收到的信號數(shù)字依次為x1,x2,x3,x4，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機變量X（x1,x2,x3,x4中任意相鄰的數(shù)字均不相同時，令X=1若β=，求X的分布列和數(shù)學期望.因為0<a<1，所以當a=時，f(a)的最小值為.（2）由題設知，X的可能取值為1，2，3，4.①當X=1時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為0101或1010.②當X=2時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011.2222③當X=3時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為1110，或0111，或0001，或1000.33④當X=4時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為0000，或1111.所以X的分布列為X1234P 49201715分）已知點P、A、B是拋物線C:x2=4y上的點，且PA」PB.(1)若點P的坐標為(2,1)，則動直線AB是否過定點？如果過定點，請求出定點坐標，反之，請說明理由.(2)若PA=PB，求ΔPAB面積的最小值.【解析】（1）解：設直線AB」x軸，則直線AB與拋物線C有且只有一個交點，不合乎題意.設直線AB的方程為y=kx+b，設點A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x1子222,x4，(x12)(x22)所以，x1x2+2(x1+2)(x22因此，直線AB過定點