練案[17]第4講功能關系能量守恒定律一、選擇題(本題共8小題，1～5題為單選，6～8題為多選)1．(2022·山西高三模擬)自動扶梯是商場里的高耗能設備之一，為了節(jié)省電能、削減機械磨損、延長使用壽命，某商場的自動扶梯設有“無人停梯”模式，即沒有乘客時扶梯停止運行，進入待機狀態(tài)。當有乘客登上扶梯時，扶梯由靜止開頭加速啟動，達到設定速度后勻速運行。如圖所示，一位顧客在一樓登上處于“無人停梯”模式的扶梯后就在扶梯上站立不動，隨著扶梯到達二樓。關于此運動過程，下列說法正確的是(D)A．顧客始終受到重力、支持力和摩擦力B．扶梯只在加速啟動過程中對顧客做功C．扶梯對顧客做的功等于顧客動能的增加量D．扶梯對顧客做的功等于顧客機械能的增加量[解析]在扶梯加速運行過程中，顧客受到重力、豎直向上的支持力和水平向前的摩擦力，在扶梯勻速運行的過程中，顧客受力平衡，受到重力和豎直向上的支持力，選項A錯誤；在扶梯加速運行的過程中，扶梯對顧客的支持力和摩擦力與速度方向的夾角均為銳角，因此它們都做正功。在扶梯勻速運行的過程中，扶梯對顧客的支持力也做正功，選項B錯誤；由功能原理可知，扶梯對顧客做的功等于顧客機械能的增加量，即動能和重力勢能增加量之和，選項C錯誤，選項D正確。2．(2021·河南濮陽一高高三開學考試)如下圖所示，長為L＝5m的水平傳送帶以v0＝6m/s的速度逆時針勻速轉動，質量m＝1kg的物塊以水平初速度v＝4m/s滑上傳送帶，物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ＝0.2，重力加速度g取10m/s2，則物塊從滑上到離開傳送帶的過程中，因物塊與傳遞帶之間摩擦而產生的熱量為(D)A．16J B．24JC．32J D．48J[解析]設從物塊滑上傳送帶到速度變?yōu)榱?，物塊位移大小、運動時間為s1＝eq\f(v2,2μg)＝eq\f(42,2×0.2×10)m＝4m，t＝eq\f(v,μg)＝eq\f(4,0.2×10)s＝2s，傳送帶的位移大小為s2＝v0t＝6×2m＝12m，物塊隨傳送帶反向加速到v的過程中，物塊位移大小、運動時間、傳送帶位移大小仍為s1、t、s2，所以摩擦生熱為Q＝μmg(s1＋s2＋s2－s1)＝48J，故D正確，A、B、C錯誤。3．(2022·河北石家莊高三月考)如圖，abc是豎直面內的光滑固定軌道，ab水平，長度為2R；bc是半徑為R的四分之一圓弧，與ab相切于b點。一質量為m的小球，始終受到與重力大小相等的水平外力的作用，自a點處從靜止開頭向右運動。重力加速度大小為g。小球從a點開頭運動到其軌跡最高點，機械能的增量為(C)A．2mgR B．4mgRC．5mgR D．6mgR[解析]小球從a運動到c，依據動能定理，得F·3R－mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，又F＝mg，故v1＝2eq\r(gR)，小球離開c點在豎直方向做豎直上拋運動，水平方向做初速度為零的勻加速直線運動。且水平方向與豎直方向的加速度大小相等，都為g，故小球從c點到最高點所用的時間t＝eq\f(v1,g)＝2eq\r(\f(R,g))，水平位移x＝eq\f(1,2)gt2＝2R，依據功能關系，小球從a點到軌跡最高點機械能的增量為力F做的功，即ΔE＝F·(2R＋R＋x)＝5mgR。4．(2022·普寧市高三月考)如圖所示，足夠長粗糙斜面傾角為θ，固定在水平面上，物塊a通過平行于斜面的輕繩跨過光滑輕滑輪與物塊b相連，b的質量為m。開頭時，a、b均靜止且a剛好不受斜面摩擦力作用?，F對b施加豎直向下的恒力F，使a、b做加速運動。則在b下降h高度過程中(D)A．a的加速度等于eq\f(F,m)B．a的重力勢能增加mghsinθC．繩的拉力對a做的功等于a機械能的增加D．F對b做的功與摩擦力對a做的功之和等于a、b動能的增加[解析]a、b兩物塊均靜止，依據平衡條件有mg＝magsinθ，解得ma＝eq\f(m,sinθ)，施加恒力F后，分別對物塊a、b應用牛頓其次定律，對物塊a有FT－magsinθ－Ff＝maa，對物塊b有F＋mg－FT＝ma，聯立解得a＝eq\f(F－Ff,m＋ma)<eq\f(F,m)，故A錯誤；物塊a重力勢能的增量為Ep＝maghsinθ＝mgh，故B錯誤；依據能量守恒定律，輕繩的拉力對物塊a做的功等于物塊a機械能的增加量和克服摩擦力做功產生的內能之和，所以輕繩的拉力對物塊a做的功大于物塊a增加的機械能，故C錯誤；對物塊a、b及輕繩組成的系統(tǒng)應用動能定理有Fh＋mgh－maghsinθ－Ffh＝ΔEk，即Fh－Ffh＝ΔEk，故D正確。5．如圖所示，一根長為l的輕質軟繩一端固定在O點，另一端與質量為m的小球連接，初始時將小球放在與O點等高的A點，OA＝eq\f(3,5)l，現將小球由靜止狀態(tài)釋放，則當小球運動到O點正下方時，繩對小球拉力為(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(C)A．2mg B．3mgC．eq\f(247,125)mg D．eq\f(303,125)mg[解析]設小球到達A點的正下方B點時細繩剛好繃緊，則OB與水平方向的夾角的余弦值為cosα＝eq\f(OA,OB)＝eq\f(\f(3,5)l,l)＝0.6，可得小球自由下落的高度為h＝lsinα＝0.8l，到達B點的速度v1＝eq\r(2gh)，細繩繃緊后瞬間小球只有垂直于細繩的分速度，大小為v2＝v1cosα，從B點到最低點，由動能定理得mgl(1－sinα)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,3)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，在最低點有T－mg＝meq\f(v\o\al(2,3),l)。聯立以上各式解得T＝eq\f(247,125)mg，C正確。6．質量為m的子彈，以水平速度v射入靜止在光滑水平面上質量為M的木塊，并留在其中，下列說法中正確的有(BD)A．子彈克服阻力做的功與木塊獲得的動能相等B．子彈克服阻力做的功與子彈削減的動能相等C．子彈克服阻力做的功與子彈對木塊做的功相等D．系統(tǒng)增加的內能等于系統(tǒng)削減的機械能[解析]子彈克服阻力做功等于系統(tǒng)產生的內能和木塊獲得的動能，故A錯誤；對子彈，其合外力為阻力，所以依據動能定理可知，子彈克服阻力做的功與子彈削減的動能相等，故B正確；子彈克服阻力做功等于系統(tǒng)產生的內能和木塊獲得的動能，而子彈對木塊做的功等于木塊獲得的動能，所以子彈克服阻力做的功大于子彈對木塊做的功，故C錯誤；由于子彈和木塊的滑動摩擦力對系統(tǒng)做負功，依據能量守恒，可知子彈和木塊組成的系統(tǒng)削減的機械能等于系統(tǒng)增加的內能，故D正確。7．(2019·全國卷Ⅱ)從地面豎直向上拋出一物體，其機械能E總等于動能Ek與重力勢能Ep之和。取地面為重力勢能零點，該物體的E總和Ep隨它離開地面的高度h的變化如圖所示。重力加速度取10m/s2。由圖中數據可得(AD)A．物體的質量為2kgB．h＝0時，物體的速率為20m/sC．h＝2m時，物體的動能Ek＝40JD．從地面至h＝4m，物體的動能削減100J[解析]A對：由于Ep＝mgh，所以Ep與h成正比，斜率k＝mg，由圖像得k＝20N，因此m＝2kg；B錯：當h＝0時，Ep＝0，E總＝Ek＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，因此v0＝10m/s；C錯：由圖像知h＝2m時，E總＝90J，Ep＝40J，由E總＝Ek＋Ep得Ek＝50J；D對：h＝4m時，E總＝Ep＝80J，即此時Ek＝0，即上升4m距離，動能削減100J。8．(2022·廣西南寧高三模擬)如圖所示，輕質彈簧一端固定，另一端與一質量為m、套在粗糙豎直固定桿A處的圓環(huán)相連，彈簧水平且處于原長。圓環(huán)從A處由靜止開頭下滑，經過B處的速度最大，到達C處的速度為零，AC＝h。圓環(huán)在C處獲得一豎直向上的速度v，恰好能回到A。彈簧始終在彈性限度內，重力加速度為g。則圓環(huán)(BD)A．下滑過程中，加速度始終減小B．下滑過程中，克服摩擦力做的功為eq\f(1,4)mv2C．在C處，彈簧的彈性勢能為eq\f(1,4)mv2－mghD．上滑經過B的速度大于下滑經過B的速度[解析]圓環(huán)下落時，先加速，在B位置時速度最大，加速度減小至0，從B到C圓環(huán)減速，加速度增大，方向向上，故A錯誤；圓環(huán)下滑時，設克服摩擦力做功為Wf，彈簧的最大彈性勢能為ΔEp，由A到C的過程中，依據功能關系有mgh＝ΔEp＋Wf，由C到A的過程中，有eq\f(1,2)mv2＋ΔEp＝Wf＋mgh，聯立解得Wf＝eq\f(1,4)mv2，Ep＝mgh－eq\f(1,4)mv2，選項B正確，選項C錯誤；設圓環(huán)在B位置時，彈簧彈性勢能為ΔEp′，依據能量守恒，A到B的過程有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＋ΔEp′＋Wf′＝mgh′，B到A的過程有eq\f(1,2)mv′eq\o\al(2,B)＋ΔEp′＝mgh′＋Wf′，比較兩式可得vB′>vB，故D正確。二、非選擇題9．(2021·江西臨川高三模擬)2022年冬奧會將在我國舉辦，吸引了大量愛好者投入到冰雪運動中。如圖所示，一滑雪運動員在忽視空氣阻力的狀況下，自A處由靜止下滑，經B點越過寬為d的橫溝到達平臺C時，其速度vC剛好沿水平方向，已知A、B兩點的垂直高度為20m。坡道在B點的切線方向與水平面成37°角，vC＝12m/s，運動員的質量m＝60kg，重力加速度的大小取10m/s2。求：(1)B、C點的垂直高度差h及溝寬d；(2)整個過程中運動員機械能的削減量。[答案](1)10.8m4.05m(2)5250J[解析](1)從B點到C點的過程做斜拋運動，將B點的速度沿水平方向和豎直方向分解vB＝eq\f(vC,cos37°)，得vB＝15m/s，則有vBy＝vBsin37°＝9m/s，由運動學規(guī)律可知：B到C的時間為t＝eq\f(vBy,g)＝0.9s，則d＝vCt＝12×0.9m＝10.8m，h＝eq\f(v\o\al(2,By),2g)＝4.05m。(2)運動員從A點運動到B點的過程中由能量守恒定律可知；損失的機械能為ΔE＝mghAB－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，代入數據得ΔE＝5250J。10．(2021·全國高三專題練習)輕質彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l。現將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示。物塊P與AB間的動摩擦因數μ＝0.5。用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后釋放，P開頭沿軌道運動，重力加速度大小為g。(1)若P的質量為m，求P到達B點時速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點間的距離；(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍。[答案](1)eq\r(6gl)，2eq\r(2)l(2)eq\f(5,3)m≤mP<eq\f(5,2)m[解析](1)豎直的彈簧上物體壓縮，由機械能守恒5mgl＝EP物體P從壓縮彈簧到B點，由能量守恒EP＝