高三數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

v

〃DA=b||x-2|41]B=(x|2-4>0)AR]-

i.設(shè)全集u=R,集合l"1'I>,則集合從(名⑴-()

A.(1,2)B.(1,2]C.[1,2)D.[1,2]

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A,B,再利用補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算作答.

【詳解】解不等式|x-2|wl得：1WXW3,則4=[1,3],

解不等式2,-420得：x>2,則5=[2,+8),Q/=(—oo,2),

所以A(0間=[1,2).

故選：C

2.若復(fù)數(shù)z滿足(2—?jiǎng)t』=()

12.■12.「12.12.

AA.-------1B.---------1C.------1—iD.—I—1

55555555

【答案】D

【解析】

【分析】首先計(jì)算[2儂=—,再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求Z,再根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義求解.

【詳解】i2023=fO5x4+3=i3=T，

-i-i(2+i)l-2i12i

所以Z=-—：=7Z—.\/-.X--~~--一■―?

2—z(2—i)(2+i)555

則彳=2+2i

55

故選：D

sinx,x>sinx,（nA

3.已知函數(shù)y(x)=<則/—)

x,x<sinx,\6）

71c6c兀

A.—B.1D.一

623

【答案】B

【解析】

7T7T\71\

【分析】根據(jù)一2sin;再利用分段函數(shù)定義即可求得了二的值.

66)

TT7TI

【詳解】由題意可知，->sin-=-,滿足xNsinx,

662

…/兀).無1

所以/N卜sin/'G，

\bJo2

故選：B

4.若一組樣本數(shù)據(jù)/、巧、L、％的平均數(shù)為10,另一組樣本數(shù)據(jù)2%+4、2々+4、L、2當(dāng)+4

的方差為8,則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為()

A.17,54B.17,48C.15,54D.15,48

【答案】A

【解析】

【分析】計(jì)算出￡芍、￡片的值，再利用平均數(shù)和方差公式可求得合并后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.

/=1/=1

1nn

【詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)4、4、L、X.的平均數(shù)為10,則一2七=10,則工七=10"

幾/=1i=\

所以，數(shù)據(jù)2玉+4、2乙+4、L、2%+4的平均數(shù)為

-1?2n

X'=^Z（2X,+4）=-ZX，+4=2X10+4=24,

〃/=1ni=\

方差為s"=!￡「（2蒼+4）-（2x+4）]=3Z（七一I。）？=—--xnxlO2=—-400=8,

〃i=iL」〃i=i〃i=]〃〃i=i

所以，Zx；=l02〃,

i=\

將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)七、々、L、%、2X）+4,2々+4、L、2瑞+4的平均數(shù)為

?=&汽為+t（2x,+4）=；x（f（3%+4）=；［/'七+4=1（3xl0+4）=17,

_i=】七1_i=】X.i=l/

2

方差為s"2=_L「夕（x17）2+：（2七+4—17）2=±|5yV_86Vx+458n

2?Lzrzr）」2n［白，tr）

=（（5xl02〃-860〃+458〃）=54.

故選：A.

5.宋代制酒業(yè)很發(fā)達(dá)，為了存儲(chǔ)方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡(jiǎn)便的方法算出堆垛

中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個(gè)三角

垛，底層是每邊為〃個(gè)圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個(gè)圓球，頂層為一個(gè)圓球，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)

n=l,2,3,4時(shí)，圓球總個(gè)數(shù)分別為1,4,10,20,則〃=5時(shí)，圓球總個(gè)數(shù)為（）

A.30B.35C.40D.45

【答案】B

【解析】

【分析】求出底層個(gè)數(shù)，加上前4層總數(shù)20即可.

【詳解】當(dāng)〃=1,2,3,4時(shí)，圓球總個(gè)數(shù)分別為1,4,10,20,

所以當(dāng)〃=4時(shí),每層圓球的個(gè)數(shù)分別為1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,

可得，〃=5時(shí)，底層有1+2+3+4+5=°"）><5=15,

2

故一共有20+15=35個(gè)球.

故選：B

6.已知正三棱錐P—ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為6,點(diǎn)￡,尸分別在線段PC,BC（不包括端點(diǎn)）上，且

EF//PB，ZAEF=90°,若點(diǎn)M為三棱錐P—ABC的外接球的球面上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面

ABC距離的最大值為（）

572

【答案】C

【解析】

【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形輔助線，利用已知條件說明線面垂直，找出球心，建立直角三角形中相應(yīng)

的關(guān)系，建立等量關(guān)系，解出三棱錐外接球的半徑，根據(jù)圖形分析最大值即可.

【詳解】取AC的中點(diǎn)。，連接如圖所示：

在正三棱錐P-A3C中，PA=PB=PC=6

所以尸

下底面為等邊,

所以8DLAC,

由PDcBD=D>

所以AC_L平面P8D,

又PBu平面PBD,

所以PBLAC,

因?yàn)樗ㄒ溃琙AEF=90°,

所以AE_L￡F,

所以AELP3，

由AEAC^A,

所以平面PAC,

又APu平面PAC，

所以所以NAPB=90，

所以A3=8C=AC=J%2+PB2=百丫=瓜

設(shè)三棱錐的外接球球心為。，ABC外接圓的圓心為。?,

連接PQ,Aa，A。，則在正三棱錐中，底面為正三角形，

所以。?一定在BO上，且0一定在尸。|上，

同時(shí)POiJ■平面ABC,

在.48。中由正弦定理得：

2A@=A3=母=2應(yīng)=人0\=血

'sin60昱'，

在RtPAO,中，p0]=《PA2-PO；=J(V3)2-(V2)2=1，

在RtOAQ中，AO?=AO；+OO：=(0『+(PO|—PO)2,

設(shè)球體的半徑為R,

3

所以R2=2+(1—町9nA?=2+1—2火+/?2=/?=j

所以0。1=忙0「「。|=

所以三棱錐P-ABC的外接球的球面上任意一點(diǎn)M到平面ABC距離的最大值為：

31

00+/?=—+—=2,

122

故選：C.

7.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A3是拋物線丁二人工上的動(dòng)點(diǎn)，且Q4_LO8,過點(diǎn)。作垂足為

〃，下列各點(diǎn)中到點(diǎn)，的距離為定值的是()

A.(1,0)B.(2,0)C.(1,2)D.(2,1)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線AB的方程X=叼+〃，聯(lián)立拋物線方程再利用。4,。3,可得〃=4,法一：

(4—4m、

可知H在圓上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行判斷，法二再由0H，A8得出0H的方程為y=THX,解得H\,

代入選項(xiàng)逐一驗(yàn)證是否為定值即可得出答案.

【詳解】法一：設(shè)直線A8方程為》=沖+〃，A(2—，x),Bp2—,以)

聯(lián)立直線和拋物線方程整理得y2一4沖-4〃=0,

所以M+%=4",=-4〃

22

又OALOB,即。4.QB=0，所以＞-x叢-+%必=0可得yy,=-16,即〃=4；

44

則直線ABx=/〃y+4過定點(diǎn)。（4,0）因?yàn)閯t點(diǎn)〃在為直徑的圓上（其中圓心坐標(biāo)為0。中

點(diǎn)（2,0））,故（2,0）到，的距離為定值

故選：B

22

法二：設(shè)直線AB方程x=my+n,4（2-,y）,8（2-,%）

聯(lián)立直線和拋物線方程整理得V—4加），-4〃=0,

所以弘+%=4/〃,X%=-4〃

22

又OALOB,即。4.08=0,所以^-、弋-+%%=0可得X%=-16,即〃=4；

又因?yàn)樗?所以?！钡姆匠虨槭粌z，解得J，"

（W到點(diǎn)”的距離為//+J+〔之J二=土1°”+9不是定值；

對(duì)于A,

m~+1

（2'°）到點(diǎn)”的距離為卜〃L）+QR=也+鯉±±=2為定值；

對(duì)于B,

77r+1

（1,2）到點(diǎn)”的距離為J-/+J+（2+：々V45/+16租'+18〃+16機(jī)+13天曰

對(duì)于C,=--------------；----------------不是

)m~+1

定值；

對(duì)于D,（2,1）到點(diǎn)”的距離為J（2——夫）+11+孚力=/"+8,：10,+—+5不是定

值.

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定值問題通常思路為設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之

積，應(yīng)用設(shè)而不求的思想，進(jìn)行求解；注意考慮直線方程的斜率存在和不存在的情況.

8.已知定義在R上的函數(shù)/（X）滿足"0）=1,對(duì)Vx,yeR,有

2023?

/(孫+l)=/(x)/(y)—/(y)r+2,則|/⑺〃"])=()

2023202420232023

A.----B.----C.D.

4050202540482024

【答案】A

【解析】

【分析】由已知可推得了(1)=2,令丁==1,得出,f(x+l)=2/(x)—x.設(shè)則

111

%-(〃+2)=2[4-(〃+1)],由％=二2,可得勺一〃+1?又+i,+2,代入求和

即可得出結(jié)果.

【詳解】令x=y=0,由已知可得f(l)=/2(o)一y(o)+2=2.

令y=l,由已知可得/(x+l)=/(x)/(l)_/(l)_x+2=2/(x)_x,

設(shè)4=/(n),neN*,則1=2a“-〃,整理可得%-(〃+2)=2[a“-("+l)].

又q=2,所以a,-1-(”+2)=2[a“_(/+l)]=0,所以a“=〃+l.

11111

Ipll-------------------=---------=-------------------=-----------------

/(O/G+l)a,"(i+l)(i+2)z+1i+2'

注1111111112023

所以,_______________—________I_______I_______|_._|______________—_____

/(/)/(/+1)23344520242025050'

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)的問題，常用賦值法：賦確定值求解函數(shù)值，賦確定值及可變值可得

函數(shù)關(guān)系式.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.關(guān)于下列命題中，說法正確的是()

2

A.已知X~B(〃,〃)，若E(X)=30,D(X)=20,則p=±

B.數(shù)據(jù)91,72,75,85,64,92,76,78,86,79的45%分位數(shù)為78

C.已知』N(0,l),若尸(4>l)=p,則P(—l<&W0)=g—〃

D.某校三個(gè)年級(jí)，高一有400人，高二有360人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取57人，己知從高一抽

取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得〃=知A錯(cuò)誤；將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序

后，根據(jù)百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解知B正確；由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可求得C正確；根據(jù)分層抽樣

原則可計(jì)算得到高二應(yīng)抽取學(xué)生數(shù)，由此可得高三數(shù)據(jù)，知D正確.

/、Z（X）=〃p=3021

【詳解】對(duì)于A,XB（〃,p）,.?.〈「J人、“，.?」—〃=不，解得：p=~,A錯(cuò)

'7￡>（X）=〃p（l-p）=2033

誤；

對(duì)于B,將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?4,72,75,76,78,79,85,86,91,92,

10x45%=4.5,,45%分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)，即78,B正確；

對(duì)于C,JN（0,l）,

.?.P（-l<^<0）=1[l-P^>l）-P^<-l）]=1[l-2P（^>l）]=l-p,C正確；

對(duì)于D,抽樣比為義?.?高二應(yīng)抽取360x」-=18人，則高三應(yīng)抽取57—20—18=19人，D

4002020

正確.

故選：BCD.

10.在棱長(zhǎng)為I的正方體ABCD—AgGA中，點(diǎn)P為線段A2（包括端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.異面直線AQ與AG所成的角為60

B.三棱錐4-PBC,的體積為定值

C.不存在點(diǎn)P,使得AD]±平面PCD

D./>3+2。的最小值為3+逐

【答案】AB

【解析】

【分析】證明得到AC//AC,求出N，AC=60,即可得出A項(xiàng)；證明〃平面BCCg,然后求

出V>BGB,=ABxSVBC,B,=ABxB]BxBCi=*,根據(jù)等積法即可求出B項(xiàng)；取AQ中點(diǎn)為尸，

可證明A。，平面PCD,即可說明C項(xiàng)錯(cuò)誤；將&84。和..C4。展開到同一平面，當(dāng)點(diǎn)p為

4D「BC交點(diǎn)時(shí)，PB+PC有最小值.在.ABC中，由余弦定理求出BC?=3+g，即可得到最小值,

說明D項(xiàng)錯(cuò)誤.

圖1

對(duì)于A項(xiàng)，如圖1,連接CA，AC.因?yàn)锳Q,AC,C2都正方體面對(duì)角線，所以AA=AC=CR,

所以△AC"是等腰三角形，所以/￡>△。=60.又AA〃CC|且AA=CG，所以四邊形AGC4是平行

四邊形，

所以4CJ/AC.所以異面直線與AG所成的角即等于與AC所成的角NAAC=6(),故A項(xiàng)

正確；

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)锳W/CQ且AB=CQ,所以四邊形A5CQ是平行四邊形，所以叫〃g.

因?yàn)锽Gu平面BCCg,40<2平面5。。百，所以A?！ㄆ矫鍮CCg.

所以點(diǎn)P到平面BC4距離d即等于點(diǎn)A到平面BCCM的距離AB=1.

Svgg=5x旦Bx用G=2,

所以Vp-BGB,=；xABxSVBC'B,=工義ABxB]BxBCi=7，又V^.pBC]=Vp-BGB1=7是個(gè)定值'故B項(xiàng)

3666

正確；

對(duì)于C項(xiàng)，如圖2,取AA中點(diǎn)為p.因?yàn)镈4=DD1,p是中點(diǎn)，所以。PLAj.

又由已知可得，8，平面4。。4，平面ADDA，所以CD，又CDDP=D,

且CDu平面尸CD,DPu平面PC。，所以A。■1平面PCD,即存在點(diǎn)P,使得A"_L平面

PCD,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

圖3

對(duì)于D項(xiàng)，如圖3,將，氏4口和aC4。展開到同一平面，當(dāng)點(diǎn)p為AQ,BC交點(diǎn)時(shí)，PB+PC有最小

值.

因?yàn)?AC=C〃=0,所以N?AC=60,又NBA"=90",所以NBAC=150".在」ABC

中，

由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos150°=1+2—2x1x0x=3+V6,

所以P8+PC的最小值為后，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.已知函數(shù)f（x）=2讓例二其中。為實(shí)數(shù)，則（）

Jx+2+>/6-x

A.“X）的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱

B.若/（X）在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增，則”0

C.若a=l,則/（X）的極大值為1

D.若a<0,則〃x）的最小值為〃

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)定義域?yàn)椋?2,6］,由〃4-x）=/（x）可得A正確；將函數(shù)整理變形，構(gòu)造函

yjX+2,+(6—X4

數(shù)g(x)=求導(dǎo)可得其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷B錯(cuò)誤；當(dāng)

2Jx+2+5/6—X

a=l,由/(x)的單調(diào)性可知在x=2處取得極大值為1,即C正確；若a<0,同理可得的

最小值為。，所以D正確；即可得出正確選項(xiàng).

【詳解】由題意可知，函數(shù)“力的定義域?yàn)椋?2,6］,

則4—xe［—2,6］,所以/?(4r)="J￡x)(二二=可上2)獸。

N6-X+Jx+25/尤+2+y6-X

可得對(duì)于Vx?-2,6］J(4—x)=/(x),所以的圖象關(guān)于元=2對(duì)稱，即A正確;

?7-(X+2)(X-6)__Jx+2+16-x4

由“AG+標(biāo)可得(}〃)后一

2Jx+2+y/()—x

\/x+2+A/6-x4

令g(x)=xe[-2,6],

2Jx+2+\jc)—x

i(\

_______2

(5/x+2+,6-x)

令g'(x)=O,得x=2,當(dāng)x?-2,2]時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)為單調(diào)遞增;

當(dāng)xe［2,6］時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)為單調(diào)遞減;

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，若/(x)在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增，則。>0,故B錯(cuò)誤;

JX+2+yjf)—X4

當(dāng)a=l,則/(x)=g(x)

2Jx+2+5/6—x

所以/(X)在X=2處取得極大值/(2)=2-1=1,

即/(x)的極大值為1,故C正確；

若a<0,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知/(x)在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞減，［2,6］上單調(diào)遞增;

所以/(x)在x=2處取得極小值，也是最小值，

由/(x)=a立+2受一-J得，/(2)=a(2—l)=a,

、2，x+2+>/6—x)

所以。<0,則/(力的最小值為。，即D正確;

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于通過觀察函數(shù)特征，將函數(shù)/(力改寫成

/(x)=a"+*--==^—==,再通過構(gòu)造函數(shù)

g(x)=?^t2住三—4,結(jié)合參數(shù)”的正負(fù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(x)的單調(diào)性和極

值即可.

12.若數(shù)列｛4｝滿足/一；4<4—g4<<an-an-\<?，則稱數(shù)列｛4｝為''差半遞增"數(shù)列，則

()

A.正項(xiàng)遞增數(shù)列均為“差半遞增''數(shù)列

B.若數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式為a,,=q"(q>l),則數(shù)列｛4｝為“差半遞增”數(shù)列

C.若數(shù)列｛4｝為公差大于0的等差數(shù)列，則數(shù)列｛凡｝為“差半遞增”數(shù)列

D.若數(shù)列｛《｝為“差半遞增”數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且滿足5“=2%-2田一，則實(shí)數(shù)f的取值范圍

為卜A)

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用數(shù)列145作為反例可判斷A選項(xiàng)，利用作差法結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式比較得

4一；4-1<。川一；凡可說明B選項(xiàng)，利用作差法結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式比較得

(a”+l-gaJ>14一；a“-J可說明C選項(xiàng),根據(jù)為,S”的關(guān)系求出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式,再根據(jù)“差半遞

增”數(shù)列的定義列出不等式可求「的取值范圍，從而判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,假設(shè)一個(gè)正項(xiàng)遞增數(shù)列為：1,4,5,

177

則4一一=-,5-2=3,則一>3,不滿足“差半遞增”數(shù)列，A錯(cuò)誤；

222

對(duì)于B,因?yàn)?"'(4>1),

所以為一<4-1=0'一<4"“，%+|一(""

（M+I-3%）一（凡一3q-1）=0向-go"一（夕"-gq'-）=gq"T（242-3q+l）,

因?yàn)橄?gt;1,所以函數(shù)y=2q2—3q+l單調(diào)遞增，所以當(dāng)y>2—3+1=0,

即（4用恒成立，所以數(shù)列｛%｝為“差半遞增”數(shù)列，B正確;

對(duì)于C,設(shè)公差d>0,%=4+（〃-l）d,a._]=q+（〃-2）d,??+l=ax+nd,

ll…1Qi1,1a,\\.

所以"〃一=5+5〃"‘"’用一3"〃=5+5加+萬1'

所以數(shù)列｛%｝為''差半遞增"數(shù)列,C正確；

對(duì)于D,因?yàn)镾〃=2。〃-2'用一，，所以4=S=2。]一4一￡,所以q=4+Z,

當(dāng)〃22時(shí)，，

所以見-2-2%,所以發(fā)一患=1,

所以數(shù)列[今)為等差數(shù)列，公差為1,所以2=8+(〃-1)=〃+4/+1,

[2nJ2"22

所以凡=2"5+$+1),

所以對(duì)任意”eN*,〃22,(a“+i即

2n+\n+-t+2)---2"(n+-t+l)>2'\n+-t+l)---T-\n+-t),

222222

所以8(〃H—f+2)—2(7?H-/+1)>4(/iH-?+1)—("H—/),

2222

-6/1-20

所以，>--------,因?yàn)椤╡N.,〃22,

3

所以當(dāng)〃=2時(shí)有最大值為一三，

33

32

所以，〉----，D正確；

3

故選:BCD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.如圖所示，A,B,C,。是正弦函數(shù)y=sinx圖象上四個(gè)點(diǎn)，且在A，C兩點(diǎn)函數(shù)值最大，在

B,。兩點(diǎn)函數(shù)值最小，則（OA+OB）?（OC+OO）=.

【解析】

【分析】由圖象得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出向量，根據(jù)向量以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.

uir\uunUUUin

所以0A-iLoc,0D=T

UllUUUUUU1uuu

所以04+08=(2兀,0),OC+00=(671,0),

所以(04+08)?(℃+ODj=2TIX6TI=12n2.

故答案為：127.

14.已知函數(shù)〃x）=3sinx+4cosx,且對(duì)任意xeR恒成立，若角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)

P(4,m),則m.

【答案】3

【解析】

【分析】由輔助角公式得。表達(dá)式，后可得答案.

【詳解】/(x)=3sinx+4cosx=5sin(x+0),其中tan°=—,

jrjr

則/(^)=5=>0-{-(p=-^2kTi9keZn3=3-(/)+2尿,keZ,

ji?13fti3

則tan0=tan----cp-------=—,則一=—=>m=3.

（2）tan（p444

故答案為：3

15.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)/（X）=.

①是奇函數(shù)；②“X）在（2,口）單調(diào)遞增：③“X）有且僅有3個(gè)零點(diǎn).

【答案】x(x+l)(x-l)(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)則原點(diǎn)兩側(cè)各有一個(gè)，再保證(2,+8)單

調(diào)遞增即可寫出解析式.

【詳解】由/(X)是奇函數(shù)，不妨取/(0)=0,且函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

又/(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，所以原點(diǎn)兩側(cè)各有一個(gè)零點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

若保證“X)在(2,y)單調(diào)遞增，顯然/(x)=x(x+l)(x—1)滿足.

故答案為：X(X+1)(X—1)(答案不唯一)

X2y2

16.設(shè)雙曲線C:二1(。＞人＞0)的右頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A且斜率為2的直線與C的兩條漸近線分

a

別交于點(diǎn)P,。.若線段PQ的中點(diǎn)為卜ga，則。的離心率e

【答案】叵

3

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得出直線方程，與漸近線方程聯(lián)立解得交點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出

(4/2aba),由直線斜率為2以及利用余弦定理解得。加2=手，再利用兩

M、4Q2_62，4/，

(2)=1即可求得離心率.

點(diǎn)間距離公式可得關(guān)于ag的方程，解得

【詳解】由題意可知A(“,0),雙曲線的兩條漸近線方程為y=

a

過點(diǎn)A且斜率為2的直線方程為y=2(x-a),

hh

不妨設(shè)直線y=2(x-。)與漸近線丁=-x交于點(diǎn)P,與漸近線、=一一x交于點(diǎn)。，如下圖所示:

a

y=2(x-a)

2a22ab

聯(lián)立《b可得？

y=-x2a-h2a-h)'

a

2a22ah4a32ab2、

同理得Q,所以P。的中點(diǎn)〃為

2a+b'2a+b4a22'4a2一心

設(shè)過點(diǎn)A且斜率為2的直線的傾斜角為。，即tane=2,可得cosa=@

5

所以cosNOAM=-cosa=,

5

由余弦定理可得OM2=OA2+AM2-2xOAxAMxcosZOAM=―

5

-4a3丫(lab1Y_8a2

、4/—//+、4a5，

整理可得3±+16-—12=0,

\a)\a)

即（3化〕_21[⑶+6]=0,解得⑷2=2或團(tuán)=-6（舍）

故答案為：巫

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題離心率問題時(shí)，關(guān)鍵是聯(lián)立直線與漸近線方程解得交點(diǎn)P,。的坐標(biāo)得出

中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用斜率以及|AM|由余弦定理找出等量關(guān)系，建立關(guān)于的方程，即可求得離心率.

四、解答題：本大題共6道小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知正項(xiàng)數(shù)列｛a“｝滿足q=1,a?+1[an+2）=2a>5a?+2（neN*）.

（1）證明：數(shù)列｛4+l｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)a=（—l）"log4（a,,+l），數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為《，求卻

【答案】（1）證明見解析，??=2n-l,neN*

當(dāng)，〃為奇數(shù)

⑵Tn=<

“為偶數(shù)

I4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)遞推公式將其分解整理可得4用=2。,,+1，兩邊同時(shí)加1即可證明數(shù)列｛4+1｝是等比

數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可寫出4分別對(duì)

〃是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論即可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

將等式右邊分解得%(q+2)=(4+1)(4+2),

因?yàn)橐阎猘“>0,所以a,*]=2?！?1,

所以4用+1=2(4,+1)，

所以數(shù)列｛%+1｝是首項(xiàng)為4+1=2,公比為2的等比數(shù)列，

所以氏+1=(%+1)2-=2",

即a?=2"-1.

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為=2"-1,〃wN*

【小問2詳解】

結(jié)合(1)知a=(—l)”log42"=(—l)"￡,

1234111

所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，T?—+--+-—n=-n.

222222

n-\n/7+1

當(dāng)"奇數(shù)時(shí)，T“=++

22

咚，〃為奇數(shù)

所以數(shù)列也｝的前項(xiàng)和(,=<4

〃為偶數(shù)

4

18.在銳角三角形A3C中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

cosCsin(A-B)=cosjBsin(C-24).

(1)求tanA的最小值；

(2)若tanA=2,a=4也,求c.

【答案】(1)G

⑵。二5五或3加

【解析】

【分析】(1)利用兩角差的正弦公式展開整理可得2cosceos8=cosA,再利用三角形內(nèi)角關(guān)系化簡(jiǎn)得

tan^tanC=3,由銳角三角形ABC可知，利用兩角和的正切公式和基本不等式即可求得tanA的最小值；

(2)根據(jù)tanA=2可求得tanC=l或tanC=3,即可求出角C的正弦值，再由。=46利用正弦定理

即可求得c.

【小問1詳解】

由已知得cosC(sinAcosB-cosAsin5)=cosB(sinCcosA-cosCsinA),

整理得2cosCsinAcosB=cosAsinA,

因?yàn)閟inA>0,所以2cosceosB=cosA,

又因?yàn)閏osA=-cos(5+C)=-cosBcosC+sinBsinC,

所以sin3sinC=3cosCcos3,

可得tan^tanC=3，

tanB+tanC_tanB+tanC

tanA=-tan(B+C)>VtanBtanC=6,

tanBtanC-12

當(dāng)且僅當(dāng)tanB=tanC=省時(shí)等號(hào)成立,

故tanA的最小值為6?

【小問2詳解】

由(1)知tanA=2,所以tan3+tanC=4,

又因?yàn)閠an8tanC=3,所以tanC=l或tanC=3,8分

當(dāng)tanC=l時(shí)，sinC=—.由正弦定理得c=，-sinC=5>/5,

2sinA

當(dāng)tanC=3時(shí)，sinC=之叵，由正弦定理得c=」一sinC=3&U.

10sinA

綜上，c=50或3廂.

2

19.一個(gè)不透明箱子中有除顏色外其它都相同的四個(gè)小球，其中兩個(gè)紅球兩個(gè)白球的概率為:，三個(gè)紅球

一個(gè)白球的概率為

3

（1）從箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，求抽到紅球的概率；

3

（2）現(xiàn)從箱子中隨機(jī)一次性抽取兩個(gè)或三個(gè)小球，已知抽到兩個(gè)小球的概率為一，抽到三個(gè)小球的概率

4

為,，所抽到的小球中，每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記-1分，用X表示抽到的小球分?jǐn)?shù)之和，求X的

4

分布列及數(shù)學(xué)期望.

7

【答案】（1）—

12

27

（2）分布列見解析，￡（%）=—

,）16

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)結(jié)合條件概率求解即可；（2）由題意先找出隨機(jī)變量X的值，

分別求出各自的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.

【小問1詳解】

記事件A表示“抽取一個(gè)小球且為紅球”，表示“箱子中小球?yàn)閮杉t兩白”，B2表示“箱子中小球?yàn)槿t

一白”，

21137

則P（A）=P但）/（川旦）+2（4）?P。|52）=§><耳+3>^=丘.

【小問2詳解】

由題意得X的取值可以為—2,0,1,3,4,6,

2）二32+—111

1734334224

p（x=3）=2xm//」

1734234448

P(x=4)=2x3xl+1X3X1=A

,734634224

P(X=6)=—x—x—=—

,734448

隨機(jī)變量X的分布列為:

X-201346

1111751

p

121224482448

所以X的分布列及數(shù)學(xué)期望為:

L/、八/1c1,11C7,5,127

E(X)=(—2)x--FOx--F1x---F3x---F4x---F6x—=—

v7v712122448244816

20.已知三棱臺(tái)4與G—ABC中，A41_L底面ABC,AB=AC=2,你=44=1,AB,1^C,,

。是棱4G上的點(diǎn).

(1)求證：AByIDE.,

（2）若。是線段的中點(diǎn)，平面。所與44的交點(diǎn)記為M,求二面角AC—6的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵嚕

【解析】

【分析】（1）利用A4,，底面ABC,A4以及棱臺(tái)的幾何特征即可證明AC_L平面再

利用線面垂直的判定定理證明1.平面ADEG即可得出結(jié)論：（2）首先由幾何關(guān)系確定M的位置，即

2

4用=§，再建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量即可求得面角加一AC—8的余弦值.

【小問1詳解】

如圖所示：

取線段A8的中點(diǎn)G,連接4G,EG,易得。4〃EG,所以E，G,4，。四點(diǎn)共面.

因?yàn)锳G〃AC,所以又因?yàn)锳&J?底面ABC,ACu平面ABC,

所以AA_LAC,因?yàn)锳BcA41=A,A6u平面4448,A41U平面

所以AC_L平面A44B,

因?yàn)镋，G分別是BC,B4的中點(diǎn)，所以EG//AC,所以EGJ?平面,

因?yàn)锳B】u平面所以AB|_LEG

因?yàn)锳A]=AM=AG~I,A{B[//AG,

又因?yàn)槔齃AG,所以四邊形AABQ是正方形，所以AB|_LAQ,

又因?yàn)镋G4G=G,EGu平面A1￡>EG,4Gu平面4DEG；

所以AB】_L平面AQEG,因?yàn)镺Eu平面AQEG,所以ADE.

【小問2詳解】

延長(zhǎng)所與G4相交于點(diǎn)Q,連接。Q,則。。與的交點(diǎn)即為M.

2

由E，￡；分別為84和8。的中點(diǎn)知加為線段44的三等分點(diǎn)，且4加=3，

由(1)知AC_LAB,所以AC、A3、AA1兩兩垂直，

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸，A3所在的直線為軸，A4所在的直線為z軸建立空間直角坐

標(biāo)系A(chǔ)一型.

C（2,0,0）,AC=（2,0,0）,AM=（0,|,l

2a=0

設(shè)平面MAC的法向量勺=（a,"c）,則<2〃+c_o?。?_3,則“=（0,-3,2）

.3+C~

易得平面ABC的一個(gè)法向量〃2=(0,0,1)，

設(shè)二面角"一AC—6為6,由圖易知。為銳角,

吐，c22而

所以cos0=?I?—j=>—=———，

13

時(shí)?同歷

所以二面角M-AC-B的余弦值為2姮.

13

右焦點(diǎn)分別為6，居，焦距為26，點(diǎn)。[百，-g)在

21.已知橢圓C:7+F=l（