2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析

考點(diǎn)梳理考情回顧高考預(yù)測一元線性回歸模

型、回歸方程2022全國乙卷（文、

理）第19題1.一元線性回歸模型：主要

考查數(shù)據(jù)整理與分析，模型

轉(zhuǎn)化與化歸，公式推導(dǎo)與變

形等.2.獨(dú)立性檢驗(yàn)：主要考查模

型建立、數(shù)據(jù)整理、邏輯說

明、結(jié)果解釋等.2×2列聯(lián)表、獨(dú)

立性檢驗(yàn)2023全國甲卷（文、

理）第19題2022新高考Ⅰ卷第20題

（2023·全國甲卷節(jié)選）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：

選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照

組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正

常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.試驗(yàn)結(jié)

果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排列為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排列為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（1）

求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)

m

，再分別統(tǒng)計(jì)兩組樣本中

小于

m

與不小于

m

的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：分組與m比較合計(jì)小于m不小于m對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040

6142014620202040單位：只（2）

根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，能否有95％的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度

臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？參考數(shù)據(jù)：α0.100.050.001xα2.7063.8416.635

2.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）

關(guān)于分類變量

X

和

Y

的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表如下：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d（2）

獨(dú)立性檢驗(yàn)基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)χ2≥

x

α?xí)r，推斷

H

0不成立，即認(rèn)為

X

和

Y

不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概

率不超過α；當(dāng)χ2＜

x

α?xí)r，沒有充分證據(jù)推斷

H

0不成立，可以認(rèn)為

X

和

Y

獨(dú)立.利用χ2的取值推斷分類變量

X

和

Y

是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，

簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn).（3）

獨(dú)立性檢驗(yàn)中概率的含義獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是

否有關(guān)系的判斷，χ2越大，認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系的把握越大.

熱點(diǎn)1

獨(dú)立性檢驗(yàn)[典例設(shè)計(jì)]例1

（2023·錦州模擬）某景區(qū)的調(diào)查組對(duì)400名不同年齡段的游客進(jìn)

行了問卷調(diào)查，其中有200名游客進(jìn)行了預(yù)訂，這200名游客中各年齡段

所占百分比如圖所示：

（1）

請(qǐng)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過

0.001的前提下，認(rèn)為預(yù)訂旅游與是否為青年有關(guān)；單位：人年齡段旅游合計(jì)預(yù)定旅游不預(yù)定旅游青年12075195非青年80125205合計(jì)200200400（2）

按照分層抽樣的方法，從預(yù)訂旅游的游客中選取5人，再從這5人

中任意選取3人，求這3人中至少有2人是青年的概率.

α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828[思維導(dǎo)圖]解：（1）

零假設(shè)為

H

0：預(yù)訂旅游與是否為青年無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的

數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2≈20.263＞10.828＝

x

0.001.根據(jù)小概率值α＝0.001的

獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷

H

0不成立，即能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提

下，認(rèn)為預(yù)訂旅游與是否為青年有關(guān).

總結(jié)提煉

利用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題的主要環(huán)節(jié)與注意點(diǎn)：（1）

提出零假設(shè)為

H

0：

X

和

Y

相互獨(dú)立，并給出在問題中的解

釋.（2）

根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)，整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界

值比較.（3）

根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.（4）

解題時(shí)應(yīng)注意準(zhǔn)確計(jì)算，不可錯(cuò)用公式，準(zhǔn)確進(jìn)行比較與判

斷.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1.某中學(xué)高三（3）班有學(xué)生50人，現(xiàn)調(diào)查該班學(xué)生每周平均體育鍛煉

時(shí)間的情況，得到如下頻率分布直方圖，其中數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，

2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].

（1）

從每周平均體育鍛煉時(shí)間（單位：小時(shí)）在[0，4]的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，求這2人的每周平均體育鍛煉時(shí)間都超過2小時(shí)的概率.（2）

已知全班學(xué)生中有40％是女生，其中恰有3名女生的每周平均體

育鍛煉時(shí)間不超過4小時(shí).若每周平均體育鍛煉時(shí)間超過4小時(shí)稱為經(jīng)常

鍛煉，則能否有90％的把握認(rèn)為經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)？

α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635解：（2）

由題意，易得2×2列聯(lián)表如下：

單位：人鍛煉性別合計(jì)男生女生經(jīng)常鍛煉281745不經(jīng)常鍛煉235合計(jì)302050零假設(shè)為

H

0：經(jīng)常鍛煉與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

χ2≈0.926＜2.706＝

x

0.100.根據(jù)小概率值α＝0.100的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充

分證據(jù)推斷

H

0不成立，即沒有90％的把握認(rèn)為經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān).

（2）

實(shí)際投產(chǎn)時(shí)，技術(shù)人員微調(diào)了該種零件的生產(chǎn)工藝.微調(diào)后，當(dāng)生

產(chǎn)了1020個(gè)零件時(shí)，恰好完成訂單.請(qǐng)結(jié)合（1）的結(jié)果，判斷能否有95

％的把握認(rèn)為微調(diào)生產(chǎn)工藝與零件的尺寸誤差有關(guān).

α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635[思維導(dǎo)圖]

總結(jié)提煉

理解

X

～

N

（30，σ2）（σ＞0）中參數(shù)的實(shí)際意義，利用正態(tài)分布

的性質(zhì)解決實(shí)際應(yīng)用問題.本題第（2）問著重于獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)

用，即建立解決問題的統(tǒng)計(jì)模型，不局限于簡單的套用公式.

α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828

解：根據(jù)題意，可得2×2列聯(lián)表如下：單位：人Ⅰ型?、蛐筒『嫌?jì)男性m女性2m合計(jì)3m

熱點(diǎn)2

回歸分析[典例設(shè)計(jì)]例3噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題，為

了了解聲音強(qiáng)度

D

（單位：dB）與聲音能量

I

（單位：W/cm2）之間的

關(guān)系，將測得的聲音強(qiáng)度

Di

和聲音能量

Ii

（

i

＝1，2，…，10）的數(shù)據(jù)

作了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖及如表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值.1.04×10－1145.7－11.51.56×10－210.516.88×10－115.1表中

Wi

＝lg

Ii

.

（2）

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強(qiáng)度

D

關(guān)于聲音能量

I

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

[思維導(dǎo)圖]

總結(jié)提煉

非線性回歸分析問題求解策略有些非線性回歸分析問題并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)我們可以畫出

已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)

數(shù)函數(shù)等）的圖象進(jìn)行比較，挑選一種擬合得最好的函數(shù)，進(jìn)行適當(dāng)

變換，把問題化為線性回歸進(jìn)行分析，使之得到解決.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]3.為了了解某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的年利潤與年廣告投入的關(guān)系，該企

業(yè)對(duì)最近一些相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得出相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：年廣告投入x/萬元23456年利潤y/十萬元346811

年廣告投入x/萬元23456年利潤y/十萬元346811模型甲3.084.075.728.0311－0.08－0.070.28－0.030模型乙2.44.46.48.410.40.6－0.4－0.4－0.40.63.084.075.728.0311－0.08－0.070.28－0.0302.44.46.48.410.40.6－0.4－0.4－0.40.6（2）

為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù).

②

分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和

Q

1及

Q

2，并通過比較

Q

1，

Q

2的大小，判斷哪個(gè)模型的擬