編者小k君小注：本專輯專為2022年初中浙教版數(shù)學第二學期研發(fā)，供中等及以上學生使用。思路設計：重在培優(yōu)訓練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎差的學生選做每種類型題的前4題；基礎中等的學生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題03幾何思想之平行線的性質(zhì)重難點綜合專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．（2021·浙江·七年級期中）如圖，已知，下列正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【標準答案】D【思路指引】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平行線的判定逐個分析即可求解.【詳解詳析】解：如圖，記相交所成的銳角為，因為，所以，若，所以，所以e//f，而不能推出圖中的直線平行，故選D.【名師指路】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，解決本題的關鍵是要熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定.2．（2021·浙江·七年級期中）如圖，，點為上方一點，分別為的角平分線，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【標準答案】A【思路指引】過G作GMAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2=∠5，∠6=∠4，進而可得∠FGC=∠2+∠4，再利用平行線的性質(zhì)進行等量代換可得3∠1=210°，求出∠1的度數(shù)，然后可得答案．【詳解詳析】解：過G作GMAB，∴∠2=∠5，∵ABCD，∴MGCD，∴∠6=∠4，∴∠FGC=∠5+∠6=∠2+∠4，∵FG、CG分別為∠EFG，∠ECD的角平分線，∴∠1=∠2=∠EFG，∠3=∠4=∠ECD，∵∠E+2∠G=210°，∴∠E+∠1+∠2+∠ECD=210°，∵ABCD，∴∠ENB=∠ECD，∴∠E+∠1+∠2+∠ENB=210°，∵∠1=∠E+∠ENB，∴∠1+∠1+∠2=210°，∴3∠1=210°，∴∠1=70°，∴∠EFG=2×70°=140°．故選：A．【名師指路】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關鍵是正確作出輔助線，掌握兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯角相等．3．（2021·浙江武義·七年級期中）為增強學生體質(zhì)，感受中國的傳統(tǒng)文化，學校將國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間，小聰把它抽象成圖2的數(shù)學問題：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，，則∠E的度數(shù)是（）

A．30° B．40° C．60° D．70°【標準答案】A【思路指引】過點作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論、平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可得．【詳解詳析】解：如圖，過點作，，，，，，，，，故選：A．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關鍵．4．（2021·浙江上虞·七年級期末）如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊．設為度，用關于的代數(shù)式表示，則表示正確的是（）A． B．C． D．【標準答案】B【思路指引】利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性解決問題即可．【詳解詳析】解：如圖，//，，將一條上下兩邊互相平行的紙帶折疊，，故選：B．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換等知識，解題關鍵是熟練掌握基本知識．5．（2021·浙江柯橋·七年級期中）一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺固定不動，將含30°的三角尺繞頂點A順時針轉(zhuǎn)動，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，如圖2，當時，，則（）其它所有可能符合條件的度數(shù)為（）A．60°和135° B．60°和105° C．105°和45° D．以上都有可能【標準答案】D【思路指引】根據(jù)題意畫出圖形，再由平行線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．【詳解詳析】解：如圖

當∥時，；當∥時，；當∥時，∵，∴；當∥時，∵，∴．故選：．【名師指路】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角板的性質(zhì)求解是解答此題的關鍵．6．（2021·浙江鎮(zhèn)?！て吣昙壠谥校┤鐖D，已知平分，平分，．下列結(jié)論正確的有（）①；②；③；④若，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標準答案】C【思路指引】由三個已知條件可得AB∥CD，從而①正確；由①及平行線的性質(zhì)則可推得②正確；由條件無法推出AC∥BD，可知③錯誤；由及平分，可得∠ACP=∠E，得AC∥BD，從而由平行線的性質(zhì)易得，即④正確．【詳解詳析】∵平分，平分∴∠ACD=2∠ACP=2∠2，∠CAB=2∠1=2∠CAP∵∴∠ACD+∠CAB=2(∠1+∠2)=2×90゜=180゜∴故①正確∵∴∠ABE=∠CDB∵∠CDB+∠CDF=180゜∴故②正確由已知條件無法推出AC∥BD故③錯誤∵，∠ACD=2∠ACP=2∠2∴∠ACP=∠E∴AC∥BD∴∠CAP=∠F∵∠CAB=2∠1=2∠CAP∴故④正確故正確的序號為①②④故選：C．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，掌握這些知識是關鍵．7．（2021·浙江濱江·七年級期中）如圖，已知，平分，平分，則下列判斷：①；②平分；③；④中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標準答案】B【思路指引】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)角平分線定義和平行線的性質(zhì)求出，推出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷即可．【詳解詳析】∵，∴，∴正確；∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴根據(jù)已知不能推出，∴錯誤；錯誤；∵，，∴，∵，∴，∴，∴正確；即正確的有個，故選:．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線定義的應用，能靈活運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關鍵．8．（2021·浙江·諸暨牌頭中學九年級）已知：如圖，，一條折線與，分別相交于點，，則，，，這4個角的關系正確的是（）A．B．C．D．【標準答案】A【思路指引】分別過∠2和∠3的頂點作HN∥AB交MF于N，MG∥AB交EH于G，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)求解即可.【詳解詳析】解：如圖所示分別過∠2和∠3的頂點作HN∥AB交MF于N，MG∥AB交EH于G，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥HN∥MG，∴∠1=∠AEH=∠2+∠MHN，∠GMH=∠MHN，∠4=∠HNF=∠3+∠MHN，∴∠4=∠3+∠1-∠2，∴∠1+∠3=∠4+∠2，故選A.【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵在于能夠正確地作出輔助線進行求解.9．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團（總校）七年級期中）如圖，直線AB//CD，直線AB，EG交于點F，直線CD，PM交于點N，∠FGH＝90°，∠CNP＝30°，∠EFA＝α，∠GHM＝β，∠HMN＝γ，則下列結(jié)論正確的是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝120° C．α+β﹣γ＝60° D．β+γ﹣α＝60°【標準答案】C【思路指引】延長HG交直線AB于點K，延長PM交直線AB于點S．利用平行線的性質(zhì)求出∠KSM，利用鄰補角求出∠SMH，利用三角形的外角與內(nèi)角的關系，求出∠SKG，再利用四邊形的內(nèi)角和求出∠GHM．【詳解詳析】解：延長HG交直線AB于點K，延長PM交直線AB于點S．∵AB∥CD，∴∠KSM=∠CNP=30°．∵∠EFA=∠KFG=α，∠KGF=180°-∠FGH=90°，∠SMH=180°-∠HMN=180°-γ，∴∠SKH=∠KFG+∠KGF=α+90°，∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM=360°，∴∠GHM=360°-α-90°-180°+γ-30°，∴α+β-γ=60°，故選：C．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角與內(nèi)角的關系及多邊形的內(nèi)角和定理等知識點．利用平行線、延長線把分散的角集中在四邊形中是解決本題的關鍵．10．（2021·浙江長興·七年級期末）如圖，，分別是，，上的點，且，若和的平分線相交于點，則的度數(shù)為（）A．120° B．135° C．150° D．不能確定【標準答案】B【思路指引】過點H作，由平行線的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)垂直定義求出，則可利用三角形外角與內(nèi)角的關系得，最后由角平分線的定義即可求得結(jié)果．【詳解詳析】解：如圖，過點H作，∵，∴．∴，．∵，∴．∵，∴．∴．∵，，∴．∵、分別平分和，∴，．

∴．∴．即．故選：B．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義及三角形內(nèi)角與外角的關系等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的定義及三角形內(nèi)角與外角的關系是解題的關鍵．二、填空題11．（2021·浙江北侖·七年級期中）如圖，已知直線ABCD，直線MN分別交AB、CD于M、N兩點，若ME、NF分別是∠AMN、∠DNM的角平分線，試說明：MENF．解：∵ABCD，（），∴∠AMN＝∠DNM（），∵ME、NF分別是∠AMN、∠DNM的角平分線，（已知）∴∠EMN＝∠AMN，∠FNM＝∠DNM（角平分線的定義），∴∠EMN＝∠FNM（等量代換），∴MENF（），由此我們可以得出一個結(jié)論：兩條平行線被第三條直線所截，一對角的平分線互相．【標準答案】已知；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角；平行【思路指引】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AMN＝∠DNM，根據(jù)角平分線定義求出∠EMN＝∠AMN，∠FNM＝∠DNM，推出∠EMN＝∠FNM，根據(jù)平行線的判定得出即可．【詳解詳析】解：∵AB∥CD，（已知），∴∠AMN＝∠DNM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵ME、NF分別是∠AMN、∠DNM的角平分線，（已知）∴∠EMN＝∠AMN，∠FNM＝∠DNM（角平分線的定義），∴∠EMN＝∠FNM（等量代換），∴ME∥NF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），由此我們可以得出一個結(jié)論：兩條平行線被第三條直線所截，一對內(nèi)錯角的平分線互相平行．故答案為：已知；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角；平行．【名師指路】此題考查平行線的判定及性質(zhì)，熟記判定及性質(zhì)定理并應用解決問題是解題的關鍵．12．（2021·浙江·七年級期末）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①；②如果，則有；③如果，則有；④如果，必有．其中正確的有________．（填序號）【標準答案】①②④【思路指引】根據(jù)兩種三角板的各角的度數(shù)，利用平行線的判定與性質(zhì)結(jié)合已知條件對各個結(jié)論逐一驗證，即可得出答案．【詳解詳析】解：①∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，∴∠1=∠3．∴①正確．②∵∠2=30°，∴∠1=90°-30°=60°，∵∠E=60°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE．∴②正確．③∵∠2=30°，∴∠3=90°-30°=60°，∵∠B=45°，∴BC不平行于AD．∴③錯誤．④由②得AC∥DE．∴∠4=∠C．∴④正確．故答案為：①②④．【名師指路】此題主要考查學生對平行線判定與性質(zhì)、余角和補角的理解和掌握，解答此題時要明確兩種三角板各角的度數(shù)．13．（2021·浙江·七年級期末）如圖，已知直線，直線分別是截線，，分別平分．則_______．【標準答案】165°【思路指引】過點E作，結(jié)合可得，根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，由此即可求得答案．【詳解詳析】解：如圖，過點E作，又∵，∴，∵分別平分，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：165°．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解決本題的關鍵．14．（2021·浙江鎮(zhèn)?！て吣昙壠谥校┤鐖D，已知，平分，，且，則的度數(shù)為______．【標準答案】140°【思路指引】延長DE交AB的延長線于G，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠D＝∠AGD，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AGD＝∠ABF，然后根據(jù)角平分線的定義得∠EBF＝∠ABF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答．【詳解詳析】解：如圖，延長DE交AB的延長線于G，∵，∴∠D＝∠AGD＝40°，∵BFDE，∴∠AGD＝∠ABF＝40°，∵BF平分∠ABE，∴∠EBF＝∠ABF＝40°，∵BFDE，∴∠BED＝180°﹣∠EBF＝140°．故答案為：140°．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關鍵．15．（2021·浙江·杭州市采荷中學七年級期中）如圖，有一條紙帶ABCD，現(xiàn)小慧對紙帶進行了下列操作：（1）將這條上下兩邊互相平行的紙帶折疊，設∠1為65°，則∠a的度數(shù)為___．（2）已知這是一條長方形紙帶，點E在折線AD﹣DC上運動，點F是AB上的動點，連EF，將紙帶沿著EF折疊，使點A的對應點A'落在DC邊上，若∠CA'F＝x°，請用含x的代數(shù)式來表示∠EAA'的度數(shù)：___．【標準答案】57.5°；或【思路指引】（1）由翻折的性質(zhì)可得∠3=∠4，由AB∥CD，可以得到∠a=∠3=∠4，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）分兩種情況如圖，分類討論求解即可．【詳解詳析】解：（1）如圖，由翻折的性質(zhì)得：∠3=∠4，∵AB∥CD，∴∠a=∠3=∠4，∵∠2=∠1=65°，∠4+∠a+∠2=180°，∴2∠a=180°-65°，∴∠a=57.5°，故答案為：57.5°；（2）由翻折的性質(zhì)可知，，∴，∴，∵∠D=90°，∴∵，∴，∴；如圖，由翻折的性質(zhì)可知，，∴，，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：或．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．16．（2021·浙江溫州·七年級期末）如圖1是一個消防云梯，其示意圖如圖2所示，此消防云梯由救援臺AB，延展臂BC（B在C的左側(cè)），伸展主臂CD，支撐臂EF構(gòu)成，在操作過程中，救援臺AB，車身GH及地面MN三者始終保持平行，當∠EFH＝55°，BC∥EF時，∠ABC＝______度；如圖3為了參與另外一項高空救援工作，需要進行調(diào)整，使得延展臂BC與支撐臂EF所在直線互相垂直，且∠EFH＝78°，則這時∠ABC＝______度．【標準答案】125168【思路指引】在圖2中，延長CB，HG，相交于點K，由平行線的性質(zhì)可得∠BKH=∠EFH=55°，再利用AB∥GH，可得∠ABK的度數(shù)，從而可求∠ABC的度數(shù)；在圖3中，延長BC，F(xiàn)E，相交于點P，則可得BP⊥EP，延長AB交FE的延長線于點Q，利用平行線的性質(zhì)可求得∠Q=∠EFH=78°，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，從而求得∠ABC的度數(shù)．【詳解詳析】在圖2中，延長CB，HG，相交于點K，BC∥EF,∠EFH=55°,∠BKH=∠EFH=55°,AB//GH,∠ABK=∠BKH=55°,∠ABC=180°–∠ABK=125°;在圖3中，延長BC，F(xiàn)E，相交于點P，則BP⊥EP，延長AB交FE的延長線于點Q，如圖所示：AB//FH,∠EFH＝78°,∠Q=∠EFH=78°,延展臂BC與支撐臂EF所在直線互相垂直，∠BPQ=90°,∠ABC=∠BPQ＋∠Q=90°＋78°=168°,故答案為：125，168.【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，正確的添加輔助線是解題的關鍵．17．（2021·浙江·七年級期中）一副直角三角只如圖①所示疊成，含角的三角尺固定不動，將含角的三角尺繞頂點A順時針轉(zhuǎn)動，使與三角形的一邊平行，如圖②，當時，，則其他所有符合條件的度數(shù)為________．【標準答案】105°、195°、240°和285°【思路指引】根據(jù)題意畫出圖形，再由平行線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．【詳解詳析】解：如圖，當BC∥AE時，∠EAB=∠B=60°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；當BC∥DE時，延長BA，交DE于F，則∠AFE=∠B=60°，∴∠DAF=∠AFE-∠D=60°-45°=15°，∴∠DAB=15°+180°=195°；如圖，當BC∥AD時，∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=360°-30°-90°=240°；如圖，當BC∥AE時，∠CAE=∠C=30°，∴∠CAD=45°-30°=15°，銳角∠DAB=90°-∠CAD=75°，∴旋轉(zhuǎn)角∠DAB=360°-75°=285°，故答案為：105°、195°、240°和285°．【名師指路】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角板的性質(zhì)求解是解答此題的關鍵．18．（2021·浙江·七年級期中）在平面直角坐標系中，點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，且，射線以每秒的速度繞B點順時針方向旋轉(zhuǎn)至射線，M為x軸正半軸上一點，射線以每秒的速度繞M點逆時針方向旋轉(zhuǎn)至射線，設運動時間為t秒，當______秒時，．【標準答案】2秒或14秒或26秒【思路指引】分0＜t≤，＜t≤，＜t≤20，20＜t≤30四種情況分別求解．【詳解詳析】解：分四種情況：當0＜t≤時，如圖1，F(xiàn)為BA1與x軸交點，

∵∠A1BO=∠ABO+9t=60+9t，∠OMO1=6t，∴∠BFO=30-9t，∴當∠BFO=∠OMO1時，BA1∥MO1，即30-9t=6t，解得：t=2；當＜t≤時，如圖2，不符合題意；

當＜t≤20時，如圖3，延長A1B至點E，交x軸于點H，

若A1E∥MO1，則∠AHE=∠OMO1=6t，∴∠BHO=∠AHE=6t，∴∠HBO=90-6t，∴∠ABH=60-（90-6t）=6t-30，∵∠ABH+∠ABA1=180，∴∠ABH=180-9t，∴6t-30=180-9t，解得：t=14；當20＜t≤30時，如圖4，

設射線BA1與x軸交于點R，若BR∥MO1，則∠BRO=∠O1MR，∴∠OBR=360-60-9t=300-9t，∴∠BRO=90-∠OBR=9t-210，∵∠O1MR=180-6t，∴9t-210=180-6t，解得：t=26；綜上：t為2秒或14秒或26秒時，直線BA1∥MO1，故答案為：2秒或14秒或26秒．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應用，難度較大，解題的關鍵是要根據(jù)轉(zhuǎn)動情況分類討論求解．19．（2021·浙江北侖·七年級期末）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，將它們按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器的0°刻度線重合，邊AP與量角器的180°刻度線重合．將三角尺PCD繞點P以每秒3°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時三角尺ABP繞點P以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當三角尺PCD的PC邊與180°刻度線重合時兩塊三角尺都停止運動，則當運動時間t=______秒時，兩塊三角尺有一組邊平行．【標準答案】6或9或15或33【思路指引】分五種情形分別構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解詳析】解：根據(jù)題意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，當三角尺PCD的PC邊與180°刻度線重合時兩塊三角尺都停止運動，則運動時間為t=(秒)；當PA∥CD時，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t=180，解得：t=6(秒)；當PD∥AB時，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t=180，解得：t=9(秒)；當CD∥AB時，即PB與PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t=180，解得：t=15(秒)；當CP∥AB時，則四邊形BECP為長方形，∠CPB=90°，∴∠D=∠BPD=30°，∴∠APD=∠APB-∠BPD=45°-30°=15°，∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t=180，解得：t=33(秒)；當CD∥PA時，則∠D=∠APD=30°，∴∠MPA+∠NPD-∠APD=180°，即2t+3t-30=180，解得：t=42>40，不符合題意；綜上，當運動時間t為6或9或15或33秒時，兩塊三角尺有一組邊平行．故答案為：6或9或15或33．【名師指路】本題是幾何變換綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．20．（2021·浙江樂清·七年級期末）將一副三角板如圖1所示擺放，直線，現(xiàn)將三角板ABC繞點A以每秒1°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板DEF繞點D以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設時間為t秒，如圖2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時，則所有滿足條件的t的值為___．【標準答案】30或120【思路指引】根據(jù)題意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如圖1，當DEBC時，延長AC交MN于點P，分兩種情況討論：①DE在MN上方時，②DE在MN下方時，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）當BCDF時，延長AC交MN于點I，①DF在MN上方時，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方時，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．【詳解詳析】解：由題意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如圖1，當DEBC時，延長AC交MN于點P，①DE在MN上方時，∵DEBC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴APDF，∴∠FDM＝∠MPA，∵MNGH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，∴t＝30，②DE在MN下方時，∠FDP＝2t°﹣180°，∵DEBC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴APDF，∴∠FDP＝∠MPA，∵MNGH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合題意，舍去），（2）當BCDF時，延長AC交MN于點I，①DF在MN上方時，∠FDN＝180°﹣2t°，∵DFBC，AC⊥BC，∴AIDF，∴∠FDN+∠MIA＝90°，∵MNGH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，∴t＝120，②DF在MN下方時，∠FDN＝180°﹣2t°，∵DFBC，AC⊥BC，DE⊥DF，∴ACDE，∴∠AIM＝∠MDE，∵MNGH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合題意，舍去），綜上所述：所有滿足條件的t的值為30或120．故答案為：30或120．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質(zhì)．三、解答題21．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團（總校）七年級期中）如圖，AC//EF，∠1+∠3＝180°．（1）判定∠FAB與∠4的大小關系，并說明理由；（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于點E，∠4＝72°，求∠BCD的度數(shù)．【標準答案】（1）∠FAB＝∠4，理由見解析；（2）54°【思路指引】（1）根據(jù)性質(zhì)可得∠1+∠2＝180°，已知∠1+∠3＝180°，所以∠2＝∠3，即EF//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等即可得出答案；（2）因為AC平分∠FAB，所以∠2＝∠CAD，根據(jù)三角形外角定理，∠4＝∠3+∠CAD，可計算出∠3的度數(shù)，因為EF⊥BE，EF//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝90°，即可得出答案．【詳解詳析】證明：（1）∠FAB＝∠4．理由如下：∵AC//EF，∴∠1+∠2＝180°，又∵∠1+∠3＝180°，∴∠2＝∠3，∴EF//CD，∴∠FAB＝∠4；（2）∵AC平分∠FAB，∴∠2＝∠CAD，又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠CAD，又∵∠4＝∠3+∠CAD，∴72°＝2∠3，∴∠3＝36°，∵EF⊥BE，EF//AC，∴∠FEC＝90°，∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣36°＝54°．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定進行計算是解決本題的關鍵．22．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學七年級開學考試）如圖，已知ABCD，E是直線AB上的一點，CE平分∠ACD，射線CF⊥CE，∠1＝32°，（1）求∠ACE的度數(shù)；（2）若∠2＝58°，求證：CFAG．【標準答案】（1）∠ACE＝32°；（2）見解析．【思路指引】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠DCE＝32°，然后根據(jù)角平分線定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)根據(jù)垂直的定義得∠FCE＝90°，再求出∠FCH＝58°，然后根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解詳析】（1）∵ABCD，∴∠1＝∠DCE＝32°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝32°；（2）∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠FCH＝90°﹣32°＝58°，∵∠2＝58°，∴∠FCH＝∠2，∴CFAG．【名師指路】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線定義，正確的識別圖形是解題的關鍵．23．（2021·浙江溫州·七年級期末）如圖，AB∥CD，E是CD上一點，AE交BC于點F，且∠ABE＝∠DBC，∠ABC＝∠AEB．（1）試判斷AE與BD的位置關系，并說明理由；（2）若BE平分∠CBD，∠AEB＝40°，求∠D的度數(shù)．【標準答案】（1），理由見解析；（2）【思路指引】（1）根據(jù)∠ABE＝∠DBC可知，結(jié)合已知條件進而可得，根據(jù)平行線的判定定理即可證明；（2）根據(jù)角平分線的定義，以及（1）中的結(jié)論，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得的度數(shù)．【詳解詳析】（1），理由如下，∠ABE＝∠DBC，即，，∠ABC＝∠AEB，，，（2）BE平分∠CBD，∠AEB＝40°，，，，，AB∥CD，．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．24．（2021·浙江長興·七年級期末）如圖，，，是上一點，連結(jié)，滿足，的平分線交于點，過點作交于點．（1）求的度數(shù)；（2）若平分，求的度數(shù)．【標準答案】（1）20°；（2）105°【思路指引】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ACB＝70°，并由角的和差關系得∠BCG＝∠ACB-∠ACG＝40°，再利用角平分線的定義求得∠ECG＝∠BCE=20°，即可根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠FEC＝20°；（2）先利用角平分線的定義求得∠DAB＝∠CAB=55°，再由平行線的性質(zhì)求得∠B＝∠DAB=55°，即可由三角形內(nèi)角和定理求出∠BEC的度數(shù)．【詳解詳析】解：（1）∵AD//BC，∴∠DAC+∠ACB=180°，∵∠DAC＝110°，∴∠ACB＝70°，又∵∠ACG＝30°，∴∠BCG＝∠ACB-∠ACG＝40°，∵CE平分∠BCG，∴∠ECG＝∠BCE=20°，∵EF//BC，∴∠FEC＝∠BCE=20°；（2）∵AB平分∠DAC，∴∠DAB＝∠CAB=55°，∵AD//BC，∴∠B＝∠DAB=55°，∴∠BEC=180°－∠B－∠BCE=180°－55°－20°=105°．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握所學知識并能靈活運用其解決問題是解題的關鍵．25．（2021·浙江長興·七年級期末）如圖1，在三角形中，，直線與邊，分別交于兩點，直線與邊分別交于兩點，且．（1）若，求的度數(shù)；（2）如圖2，為邊上一點，連結(jié)，若，請你探索與的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，若，延長交直線于點，在射線上有一動點，連結(jié)，請直接寫出，，的數(shù)量關系（用含的式子表示）．【標準答案】（1）134°；（2）∠AED+∠PFG=90°，理由見解析；（3）∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m【思路指引】（1）如圖1，過點B作直線BH∥a，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABH=∠AED=44°，∠CBH+∠BFG=180°，求出∠CBH=90°－∠ABH=46°，即可求解；（2）如圖2，過點B作直線BH∥a，則由平行線的性質(zhì)可得∠ABH=∠AED，∠CBH+∠BFG=180°，則可以得到∠CBH=∠PFG，即可推出∠AED+∠PFG=90°；（3）分當P在DG和在DG的延長線上，兩種情況，利用平行線的性質(zhì)進行求解即可．【詳解詳析】解：（1）如圖1，過點B作直線BH∥a，∴∠ABH=∠AED=44°，∵∠ABC=90°，∴∠CBH=90°－∠ABH=46°，∵BH∥a，a∥b，∴BH∥b，∴∠CBH+∠BFG=180°，∴∠BFG=180°－∠CBH=134°（2）∠AED+∠PFG=90°，理由如下：如圖2，過點B作直線BH∥a，由（1）得，BH∥a∥b，∴∠ABH=∠AED，又∠CBH+∠ABH=90°，∴∠CBH+∠AED=90°，∵∠CBH+∠BFG=180°，又∠PFG+∠BFG=180°，∴∠CBH=∠PFG，∴∠AED+∠PFG=90°．（3）∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m，理由如下：如圖所示，當P在DG上時，過點P作PH∥a，同（1）原理可以得到PH∥b，∴∠DEP=∠HPE，∠PQF=∠HPQ，∵∠DEB=∠DEP+∠PEQ，∠EPQ=∠EPH+∠HPQ，∴∠DEB=∠PEQ+∠EPH=∠PEQ+∠EPQ-∠HPQ=∠PEQ+∠EPQ-∠PQF，∴∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m；如圖所示：當P在DG的延長線上時，過點P作PH∥a，同（1）原理可以得到PH∥b，∴∠DEP=∠HPE，∠PQF=∠HPQ，∵∠DEB=∠DEP+∠PEQ，∠EPQ=∠EPH-∠HPQ，∴∠DEB=∠PEQ+∠EPH=∠PEQ+∠EPQ+∠HPQ=∠PEQ+∠EPQ+∠PQF，∴∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m；∴∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關鍵在于能夠正確作出輔助線進行求解．26．（2021·浙江溫嶺·七年級期末）如圖，三角形中，點，分別是，上的點，且，．（1）求證：；（完成以下填空）證明：（已知）（______________），又（已知）（等量代換），（_______________）．（2）與的平分線交于點，交于點，①若，，則_______；②已知，求．（用含的式子表示）【標準答案】（1）兩直線平行，同位角相等；同位角相等，兩直線平行；（2）①；②【思路指引】（1）根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)即可證明；（2）①由已知得，，由（1）知，可得，在中，，由對頂角得，由三角形內(nèi)角和定理即可計算出；②根據(jù)條件，可得，由，得出，通過等量代換得，由三角形內(nèi)角和定理即可求出．【詳解詳析】解：證明（1）證；證明：（已知），（兩直線平行，同位角相等），又（已知）（等量代換），（同位角相等，兩直線平行），故答案是：兩直線平行，同位角相等；同位角相等，兩直線平行．（2）①與的平分線交于點，交于點，且，，，，由（1）知，，在中，，，，故答案是：；②，，由（1）知，，，在中，，故答案是：．【名師指路】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、對頂角，解題的關鍵是掌握相關定理找到角之間的等量關系，再通過等量代換的思想進行求解．27．（2021·浙江嘉興·七年級期末）如圖，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判斷DF與AC的位置關系，并說明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度數(shù)．【標準答案】（1）DF∥AC，理由見詳解；（2）40°【思路指引】（1）利用對頂角的性質(zhì)可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF＋∠BAC＝180°，利用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”可得DF∥AC；（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行線的判定定理和性質(zhì)定理易得結(jié)果．【詳解詳析】解：（1）DF∥AC．理由：∵∠DEB＝100°，∴∠AEF＝∠DEB＝100°，∵∠BAC＝80°，∴∠AEF＋∠BAC＝180°，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠C，∵∠ADF＝∠C，∴∠BFD＝∠ADF，∴AD∥BC，∴∠B＝∠BAD，∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC?∠BAC＝120°?80°＝40°，∴∠B＝40°．【名師指路】本題主要考查了平行線的判定定理和性質(zhì)定理，綜合運用定理是解答此題的關鍵．28．（2021·浙江·杭州市豐潭中學七年級期中）已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側(cè)時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當點B在點A的右側(cè)時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）【標準答案】（1）見解析；（2）55°；（3）【思路指引】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過點作，當點在點的左側(cè)時，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過點作，當點在點的右側(cè)時，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．【詳解詳析】解：（1）如圖1，過點作，則有，，，，；（2）①如圖2，過點作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過點作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．29．（2021·浙江慈溪·七年級期末）如圖，直線，點，分別在直線，上（自左向右分別為點，，和點，，F(xiàn)），．射線自射線的位置開始，繞點以每秒1°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，同時，射線自射線開始以每秒5°的速度繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，當射線旋轉(zhuǎn)到的位置時，兩者均停止運動，設旋轉(zhuǎn)時間為秒．（1）如圖1，直接寫出下列答案：①的度數(shù)是______．②當旋轉(zhuǎn)時間______秒時，射線過點．（2）如圖2，若