一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義1.一次函數(shù)：一般地，形如

（k，b是常數(shù)，k≠0）

的函數(shù)，叫做一次函數(shù).一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：（1）k≠0；（2）x的次數(shù)

是1；（3）常數(shù)b可以為任意實數(shù).y＝kx＋b

正比例函數(shù)：在一次函數(shù)y＝kx＋b中，當(dāng)b＝

時，y＝kx

（k≠0）叫做正比例函數(shù).正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，只

有當(dāng)b＝0時，它才是正比例函數(shù).0

2.用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)名稱一次函數(shù)圖象

性質(zhì)k＞0，y隨

著x的增大

而

??.

當(dāng)b＞0，圖象經(jīng)過

第一、二、三象

限，直線與y軸交點

在正半軸

增

大

名稱一次函數(shù)圖象

性質(zhì)k＞0，y隨

著x的增大

而

??.

當(dāng)b＝0，圖象經(jīng)過

第一、三象限，直

線與y軸交點在原

點，正比例函數(shù)

當(dāng)b＜0時，圖象經(jīng)

過第一、三、四象

限，直線與y軸交點

在負(fù)半軸增

大

名稱一次函數(shù)圖象

性質(zhì)k＜0，y隨

著x的增大

而

??.

當(dāng)b＞0時，圖象經(jīng)

過第一、二、四象

限，直線與y軸交點

在負(fù)半軸

當(dāng)b＝0時，圖象經(jīng)過第二、四象限，直線與y軸交點在原點，正比例函數(shù)減

小

名稱一次函數(shù)圖象

性質(zhì)k＜0，y

隨著x的

增大

而

??.

當(dāng)b＜0時，圖象經(jīng)過

第二、三、四象限，

直線與y軸交點在負(fù)半軸.

減

小

注意點（2）｜k｜越大，越接近y軸；｜k｜越小，越接近x軸.（3）兩直線y＝k1x＋b1（k1≠0）與y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置

關(guān)系：①當(dāng)k1＝k2，b1≠b2時，兩直線平行；②當(dāng)k1＝k2，b1＝b2時，兩直線重合；③當(dāng)k1≠k2，b1＝b2時，兩直線交于y軸上一點；④當(dāng)k1·k2＝－1時，兩直線垂直.注意點（4）比較一次函數(shù)圖象上兩點縱坐標(biāo)大小關(guān)系：方法一：特值比較法.將兩個點的橫坐標(biāo)代入表達(dá)式，計算出對

應(yīng)縱坐標(biāo)的值再比較；方法二：圖象法.先根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合增減性比較.圖一圖二圖一當(dāng)x1＜x2時，y1＜y2；圖二當(dāng)x1＜x2時，y1＞y2.

一次函數(shù)圖象的平移與對稱1.若沿x軸向右平移a個長度單位，則解析式為

?

?；2.若沿x軸向左平移a個長度單位，則解析式為

?

?；3.若沿y軸向上平移a個長度單位，則解析式為

??；y＝k（x－a）

＋b

y＝k（x＋a）

＋b

y＝kx＋b＋

a

4.若沿y軸向下平移a個長度單位，則解析式為

?.y＝kx＋b－a

注意點函數(shù)圖象的平移規(guī)律簡記為“上加下減常數(shù)項，左加右減自

變量”.5.若關(guān)于x軸對稱，則解析式為

，即

??.6.若關(guān)于y軸對稱，則解析式為

?.－y＝kx＋b

y＝－kx－

b

y＝－kx＋b

一次函數(shù)與一元一次方程（組）、一元一次不等式1.一次函數(shù)與一元一次方程（1）一次函數(shù)y＝kx＋b的函數(shù)值為0時，得到一元一次方程kx

＋b＝0.（2）一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是方

程

的解.

kx＋b＝0

2.一次函數(shù)與二元一次方程組

3.一次函數(shù)與一次不等式利用一次函數(shù)的圖象能直觀地看到怎樣用圖形來反映一次不等

式的解集，結(jié)果如下：（1）一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象位于x軸

?時所對應(yīng)的自

變量x的取值范圍就是一元一次不等式kx＋b＞0的解集；（2）一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象位于x軸

?時所對應(yīng)的自

變量x的取值范圍就是一元一次不等式kx＋b＜0的解集.上方

下方

一次函數(shù)圖象與圖形面積解決一次函數(shù)圖象與圖形面積的問題核心是根據(jù)一次函數(shù)解

析式求出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點的坐標(biāo)，或兩條直線

的交點坐標(biāo)，進(jìn)而將點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三角形的邊長，或者三

角形的高.注意點如果圍成的三角形沒有邊在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行，可以

采用“割”或“補”的方法.

類型一

一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義1.（2023·樂山）下列各點在函數(shù)y＝2x－1圖象上的是（D）A.（－1，3）B.（0，1）C.（1，－1）D.（2，3）2.（2023·金昌）若直線y＝kx（k是常數(shù)，k≠0），經(jīng)過第一、第

三象限，則k的值可為（

D

）A.－2B.－1C.－D.2DD3.（2023·新疆）一次函數(shù)y＝x＋1的圖象不經(jīng)過（D）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限D(zhuǎn)4.（2023·鄂州）象棋起源于中國，中國象棋文化歷史悠久.如圖

所示是某次對弈的殘圖，如果建立平面直角坐標(biāo)系，使棋子

“帥”位于點（－2，－1）的位置，則在同一坐標(biāo)系下，經(jīng)過

棋子“帥”和“馬”所在的點的一次函數(shù)解析式為（A）A.y＝x＋1B.y＝x－1C.y＝2x＋1D.y＝2x－1第4題圖A5.（2023·無錫質(zhì)檢）請寫出一個函數(shù)的表達(dá)式，使其圖象分別

與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸相交：

??.6.（2023·蘇州）已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過點（1，3）

和（－1，2），則k2－b2＝

?.y＝x＋1（答案不唯一）

－6

7.（2023·陜西）經(jīng)驗表明，樹在一定的成長階段，其胸徑（樹

的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹就越高.通過對某

種樹進(jìn)行測量研究，發(fā)現(xiàn)這種樹的樹高y（m）是其胸徑x

（m）的一次函數(shù).已知這種樹的胸徑為0.2m時，樹高為20

m；這種樹的胸徑為0.28m時，樹高為22m.（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)這種樹的胸徑為0.3m時，其樹高是多少？解：（2）當(dāng)x＝0.3m時，y＝25×0.3＋15＝22.5（m）.∴當(dāng)這種樹的胸徑為0.3m時，其樹高為22.5m.類型二

一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)8.（2023·長沙）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的函數(shù)是

（D）A.y＝2x＋1B.y＝x－4C.y＝2xD.y＝－x＋19.（2023·巴中）一次函數(shù)y＝（k－3）x＋2的函數(shù)值y隨x增大而

減小，則k的取值范圍是（D）A.k＞0B.k＜0C.k＞3D.k＜3DD10.（2023·臨沂）對于某個一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0），根據(jù)兩

位同學(xué)的對話得出的結(jié)論，錯誤的是（C）A.k＞0B.kb＜0C.k＋b＞0D.k＝－b第10題圖C11.（2023·安徽月考）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝

ax＋a2與y＝a2x＋a的圖象可能是（D）

A.

B.

C.

D.D12.（2023·紹興質(zhì)檢）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）

為直線y＝－2x＋3上的三個點，且x1＜x2＜x3，則以下判斷正

確的是（D）A.若x1x2＞0，則y1y3＞0B.若x1x3＜0，則y1y2＞0C.若x2x3＞0，則y1y3＞0D.若x2x3＜0，則y1y2＞013.（2023·濟(jì)寧）一個函數(shù)過點（1，3），且y隨x增大而增大，

請寫出一個符合上述條件的函數(shù)解析式

?

?.Dy＝x＋2（答案不

唯一）

14.（2023·杭州）第14題圖在“探索一次函數(shù)y＝kx＋b的系數(shù)k，b與圖象的關(guān)系”活動

中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的三個點：A（0，2），B

（2，3），C（3，1）.同學(xué)們畫出了經(jīng)過這三個點中每兩個

點的一次函數(shù)的圖象，并得到對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)1＝k1x＋

b1，y2＝k2x＋b2，y3＝k3x＋b3.分別計算k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3

的值，其中最大的值等于

?.5

類型三

一次函數(shù)圖象的平移與對稱15.（2023·內(nèi)蒙古）在平面直角坐標(biāo)系中，將正比例函數(shù)y＝－2x的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）的圖象，則該一次函數(shù)的解析式為（B）A.y＝－2x＋3B.y＝－2x＋6C.y＝－2x－3D.y＝－2x－6B16.（2023·雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y＝x的圖象繞坐

標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向上平移1個單位長度，所得直線

的函數(shù)表達(dá)式為（A）A.y＝－x＋1B.y＝x＋1C.y＝－x－1D.y＝x－1A類型四

一次函數(shù)與一元一次方程（組）、一元一次不等式17.如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b（k＞0）的圖象過點（－1，0），

則不等式k（x－1）＋b＞0的解集是（C）A.x＞－2B.x＞－1C.x＞0D.x＞1第17題圖C18.（2023·寧夏）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝ax＋b

（a≠0）與y2＝mx＋n（m≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)

論錯誤的是（B）A.y1隨x的增大而減小B.b＜nC.當(dāng)x＜2時，y1＞y2D.關(guān)于x，y的方程組的解為第18題圖B19.（2023·武漢）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：

“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先

行一百步，善行者追之.問幾何步及之？”如圖是善行者與不

善行者行走路程s（單位：步）關(guān)于善行者的行