第二十二章四邊形22.6正方形1.掌握正方形的所有性質，理解正方形、菱形、矩形、平行四邊形之間的關系2.能掌握正方形不同的判定方法,能根據(jù)已知條件選擇正確的方法判定正方形合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習觀察下列圖片，有你熟悉的四邊形嗎？合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習四條邊相等、四個角都是直角的四邊形問題2：四邊都相等的四邊形是我們學過的什么圖形？四個角都是直角的四邊形是什么圖形？正方形與它們有什么關系？四條邊都相等的四邊形是菱形；四個角都是直角的四邊形是矩形；所以正方形既是矩形又是菱形.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習討論：既然正方形既是矩形,又是菱形,試從邊、角、對角線三個方面說一說正方形的所有性質.(1)邊：正方形的對邊相等且平行,四條邊都相等;(2)內角：對角相等,且四個角都相等,都為直角;(3)對角線：對角線相等且互相垂直平分.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習思考：請同學們拿出準備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考.

正方形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?是軸對稱圖形，對稱軸有4條.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習歸納總結：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質,正方形都有.平行四邊形矩形菱形正方形合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習活動1：準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證.正方形猜想：滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等或對角線互相垂直合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習ABCDO已知：如圖,在矩形ABCD中,AC，DB是它的兩條對角線，AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.結論：對角線互相垂直的矩形是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，又∵AC⊥DB,∴AD=CD=BC=AB，∴四邊形ABCD是正方形.證一證∴△AOD≌△COD≌△BOC≌△AOB合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習問題3：觀察下列圖形變化過程，想一想滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形有一個角是直角的菱形是正方形.（或對角線相等的菱形是正方形）合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習ABCDO已知：如圖,在菱形ABCD中,AC，DB是它的兩條對角線，AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.結論：對角線相等的菱形是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形(即是平行四邊形)，AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形.證一證合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習歸納總結

正方形判定的兩條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件菱形條件(1)(2)一個直角對角線相等一組鄰邊相等對角線垂直合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習探究一正方形性質的運用

問題提出：如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.問題探究：ADCBO(1)題中已知一個正方形，你能說說邊和對角線都有些什么性質嗎？四條邊相等，對角線相等且互相平分即AB=BC=CD=AD，AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.(2)在通過三角形的全等判定方法即可得證.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習探究一正方形性質的運用

問題解決：證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.又∵AD=CD=BC=ABADCBO結論：正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習練一練1.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長BC到E，使CE=AC，連接AE交CD于F，求∠AFC的度數(shù).解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∠DCB=∠DCE=90°，∵AC=CE，∴∠E=∠CAE，∵∠ACB是△ACE的外角，∴∠E=，∵∠AFC是△CFE的外角，∴∠AFC=∠FCE+∠E=90°+22.5°=112.5°∴∠ACB=2∠E，合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習探究二正方形判定的運用

問題提出：在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN.四邊形EFMN是正方形嗎？為什么？問題探究：(2)題中已知AE=BF=CM=DN，對你解題有什么啟發(fā)？可證明四個三角形全等，即△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，從而得到四邊形EFMN的四條邊相等，得出四邊形EFMN是菱形.(3)根據(jù)三角形內角和的計算，再依據(jù)“有一個角是直角的菱形是正方形”即可得證.(1)題中給出正方形，說一說它的邊和角有什么性質.正方形的對邊平行，四條邊相等，四個角相等且都是直角.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習探究二正方形判定的運用問題解決：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，∴AN=BE=CF=DM.AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°，∴四邊形EFMN是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習練一練2.如圖，O為矩形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD，（1）判斷四邊形OCED是什么特殊四邊形，證明你的結論.四邊形OCED是菱形.證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∵在矩形ABCD中，OC=OD，∴四邊形OCED是菱形.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習練一練（2）當AB、AD滿足什么條件時，四邊形OCED是正方形？請說明理由.當AB=AD時，四邊形OCED是正方形.理由：∵AB=AD，∴矩形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即OC⊥OD，∴菱形ABCD是正方形.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習1.一個正方形的對角線長為2cm，則它的面積是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習2.已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點D、E分別是邊AB、BC的中點，點F、G是邊AC的三等分點，DF、EG的延長線相交于點H，連接HA、HC．求證：（1）四邊形FBGH是菱形；證明：∵點F、G是邊AC的三等分點，∴AF=FG=GC，又∵點D是邊AB的中點，∴DH∥BG，同理：EH∥BF，∴四邊形FBGH是平行四邊形，連結BH，交AC于點O，∴OF=OG，∴AO=CO，∵AB=BC，∴BH⊥FG，∴四邊形FBGH是菱形.O合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習2.已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點D、E分別是邊AB、BC的中點，點F、G是邊AC的三等分點，DF、EG的延長線相交于點H，連接HA、HC．求證：（2）四邊形ABCH是正方形．證明：（2）∵四邊形FBGH是平行四邊形，∴BO=HO，由(1)已證：AO=CO，∴四邊形ABCH是平行四邊形，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴四邊形ABCH是正方形.O合作探究當堂檢測學習目標課堂總結