1關(guān)于分段低次插值2例：考慮函數(shù)，它在上的各階導(dǎo)數(shù)均存在.所構(gòu)造的拉格朗日插值多項式為

取上的個等距節(jié)點(diǎn)令則第2頁,共39頁，2024年2月25日，星期天3

表2-5列出了時的的計算結(jié)果及在上的誤差圖2-5問題：從表和圖中的結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了什么？第3頁,共39頁，2024年2月25日，星期天4

從圖上看到，在附近,與偏離很遠(yuǎn)，這說明用高次插值多項式近似效果并不好.解決辦法：不用高次插值，改用分段低次插值.

表中，隨的增加，的絕對值幾乎成倍增加.

這說明當(dāng)時在上是不收斂的.問題：如何克服龍格現(xiàn)象呢？上述現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象。Runge證明了，存在一個常數(shù)，使得當(dāng)時，而當(dāng)時發(fā)散.第4頁,共39頁，2024年2月25日，星期天5下圖是用Matlab完成的Lagrange插值（附程序）：第5頁,共39頁，2024年2月25日，星期天6附：Lagrange插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=lagr1(x0,y0,x);plot(x,z,‘r’,x,y,‘k:’,x,y1,‘r’)gtext(‘Lagr.’),gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘Lagrange’)第6頁,共39頁，2024年2月25日，星期天7附：Lagrange插值子程序lagr1:functiony=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end第7頁,共39頁，2024年2月25日，星期天82.5.2

分段線性插值

由于升高插值多項式的階數(shù)有時并不能達(dá)到提高精度的效果,所以實(shí)際中往往采用分段插值的思想.

分段插值的基本思想是將插值區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間,然后在每個小區(qū)間上做滿足一定條件的低階插值.第8頁,共39頁，2024年2月25日，星期天9

設(shè)已知節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值記求一折線函數(shù),

滿足：

在每個小區(qū)間上是線性函數(shù).則稱為分段線性插值函數(shù).

所謂分段線性插值就是通過插值點(diǎn)用折線段連接起來逼近一、分段線性插值第9頁,共39頁，2024年2月25日，星期天10

由定義可知在每個小區(qū)間上可表示為(5.1)

若用插值基函數(shù)表示，則在整個區(qū)間上為(5.2)其中基函數(shù)滿足條件其形式是(5.3)第10頁,共39頁，2024年2月25日，星期天11

利用線性插值余項公式,得到分段線性插值的誤差估計則(5.4)其中第11頁,共39頁，2024年2月25日，星期天12第12頁,共39頁，2024年2月25日，星期天13下圖是用Matlab完成的分段線性插值（附程序）：第13頁,共39頁，2024年2月25日，星期天14附：分段線性插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=interp1(x0,y0,x);plot(x,z,’r’,x,y,’k:’,x,y1,’r’)gtext(‘Piece.–linear.’),gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘PiecewiseLinear’)注：interp1(x0,y0,x)為Matlab中現(xiàn)成的分段線性插值程序.第14頁,共39頁，2024年2月25日，星期天152.5.3

分段三次埃爾米特插值

分段線性插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是間斷的，若在節(jié)點(diǎn)上除已知函數(shù)值外還給出導(dǎo)數(shù)值

在每個小區(qū)間上是三次多項式.插值函數(shù)，

這樣就可構(gòu)造一個導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分段滿足條件設(shè)則當(dāng)時，在上一致收斂于.定理3第15頁,共39頁，2024年2月25日，星期天162.6

三次樣條插值問題：1.為什么引進(jìn)分段低次插值？2.分段線性和分段二次插值有何特點(diǎn)？3.分段Hermite插值有何特點(diǎn)？4.是否有辦法在只給出函數(shù)值的情況下，構(gòu)造出一個具有較高整體光滑度（如二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）的低次插值函數(shù)呢？第16頁,共39頁，2024年2月25日，星期天17

2.6.1

三次樣條函數(shù)上是三次多項式，其中是給定節(jié)點(diǎn)，

若函數(shù)且在每個小區(qū)間則稱是節(jié)點(diǎn)上的三次樣條函數(shù).

若在節(jié)點(diǎn)上給定函數(shù)值（6.1）則稱為三次樣條插值函數(shù).定義4并成立第17頁,共39頁，2024年2月25日，星期天18

由于在每個小區(qū)間上有4個待定系數(shù)，共有個小區(qū)間，所以共有個待定參數(shù).

由于在上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，所以在節(jié)點(diǎn)處應(yīng)滿足連續(xù)性條件這些共有個條件，再加上本身還要滿足的個插值條件，共有個條件，還需要2個才能確定.（6.2）第18頁,共39頁，2024年2月25日，星期天19

通?？稍趨^(qū)間端點(diǎn)上各加一個條件1.已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即（6.3）（6.5）稱為自然邊界條件.2.已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)，即其特殊情況為（6.4）（6.5）’常見的邊界條件有以下3種：（稱為邊界條件），第19頁,共39頁，2024年2月25日，星期天20此時插值條件（6.1）中.

這樣確定的樣條函數(shù)稱為周期樣條函數(shù).

這時邊界條件應(yīng)滿足（6.6）3.當(dāng)是以為周期的周期函數(shù)時，則要求也是周期函數(shù).第20頁,共39頁，2024年2月25日，星期天21

2.6.2

樣條插值函數(shù)的建立

下面利用的二階導(dǎo)數(shù)值表示.

由于在區(qū)間上是三次多項式，故在上是線性函數(shù)，（6.7）對積分兩次并利用及，可表示為可定出積分常數(shù)，于是得三次樣條表達(dá)式第21頁,共39頁，2024年2月25日，星期天22這里是未知的.（6.8）第22頁,共39頁，2024年2月25日，星期天23

為了確定,對求導(dǎo)得（6.9）同理可得：第23頁,共39頁，2024年2月25日，星期天24（6.11）對第一種邊界條件（6.3），可導(dǎo)出兩個方程（6.12）利用可得（6.10）其中

第24頁,共39頁，2024年2月25日，星期天25如果令

（6.13）那么（6.10）及（6.12）可寫成矩陣形式

第25頁,共39頁，2024年2月25日，星期天26

對第二種邊界條件（6.4），直接得端點(diǎn)方程（6.14）如果令,也可以寫成（6.13）的矩陣形式.則（6.10）和（6.14）第26頁,共39頁，2024年2月25日，星期天27

對于第三種邊界條件（6.5），可得其中

（6.15）（6.10）和（6.15）可以寫成矩陣形式第27頁,共39頁，2024年2月25日，星期天28（6.16）

（6.13）和（6.16）是關(guān)于的三對角方程組，在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在截面處的彎矩，稱為的矩，

（6.13）和（6.16）的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，有唯一解,求解方法可見5.3節(jié)追趕法，將解得結(jié)果代入（6.8）的表達(dá)式即可.方程組（6.13）和（6.16）稱為三彎矩方程.第28頁,共39頁，2024年2月25日，星期天29

設(shè)為定義在上的函數(shù)，在節(jié)點(diǎn)試求三次樣條函數(shù)，使它滿足邊界條件

例7上的值如下：第29頁,共39頁，2024年2月25日，星期天30由此得矩陣形式的方程組（6.13）為

解由（6.11）及（6.12）第30頁,共39頁，2024年2月25日，星期天31求解得第31頁,共39頁，2024年2月25日，星期天32代入（6.8）得曲線見圖2-6圖2-6第32頁,共39頁，2024年2月25日，星期天33

給定函數(shù)節(jié)點(diǎn)用三次樣條插值求

取直接上機(jī)計算可求出在表2-6所列各點(diǎn)的值.例8第33頁,共39頁，2024年2月25日，星期天34第34頁,共39頁，2024年2月25日，星期天35下圖是用Matlab完成的樣條插值（附程序）：第35頁,共39頁，2024年2月25日，星期天36附：樣條插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=interp1(x0,y0,x,’spline’);plot(x,z,’r’,x,y,’k:’,x,y1,’r’)gtext(‘Spline’),gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘Spline’)注：interp1(x0,y0,x,’spline’)為Matla