2022-2023學年第一學期

高一數(shù)學期中考試試卷答案

滿分：150分，考試時間：120分鐘

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設集合，={小2<x<4},8={2,3,4,5},則（）

A{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定義可求AcB.

【詳解】由題設有AcB={2,3},

故選：B.

2.不等式2%一840的解集為（）

A.[x\-4<x<2}B.[x\-2<x<4}

C.{x|xN4或x?2}D.{x\x>2^x<-4}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式解法計算可得.

【詳解】不等式2x—8W0,B|J（x-4）（x+2）<0,解得—2WxW4,

所以不等式的解集為{x\-2<x<4].

故選：B

3.如圖的曲線是幕函數(shù)y=x"在第一象限內(nèi)的圖象.已知〃分別取±2,±g四個值，與曲線G、。外C3,C4相

應的〃依次為（）

B.2c,—1,-2c,--1

22

D.-2c,--1,—1,C2

22

【答案】A

【解析】

【分析】作直線x=2分別與曲線a、C2、G、G相交，結(jié)合函數(shù)y=2'的單調(diào)性即可判斷.

【詳解】因為函數(shù)y=2'為增函數(shù)，所以22>2；>2^>2-2，

所以作直線x=2分別與曲線。卜。2、。3、。4相交，交點由上到下分別對應的"值為2,3,一：,—2,

由圖可知，曲線qCC、Q相應?值為2,1.

故選：A

4.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x-l是同一函數(shù)的是()

A.y=(y/x-1)2B.y='(XT)?

C.y——\D.y=—1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)同一函數(shù)的概念逐項判斷即可.

【詳解】函數(shù)y=x-i的定義域為R.

對于A,函數(shù)y=(JE)2定義域為與y=x-l定義域不同，所以不是同一函數(shù)，A錯誤;

對于B,函數(shù)y=J(x—l)2=1_",與函數(shù)》=》-1的對應關系不同，所以不是同一函數(shù)，B錯誤；

對于C,函數(shù)y=K3_l=x_l與y=x-l的定義域都是R,且對應關系都相同，所以是同一函數(shù)，C正

確：

對于D,函數(shù)y=Jx2-1=國―1=《與函數(shù)y=x-l的對應關系不同，所以不是同一函

-x-l,x<0

數(shù)，D錯誤.

故選：C.

5.已知a=2°”，b=20-4.c=(g)，則()

A.a<b<cB.h<c<aC.a<c<hD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】

由c?七J=2一%再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2"的單調(diào)性比大小.

【詳解】c=W=2-'-2,

又函數(shù)y=2”單調(diào)遞增，

故2T<20-2<20-4>即c<a<b,

故選：D.

【點睛】對于指數(shù)幕的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因幕的底數(shù)或指

數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進行指數(shù)累的大小比較

時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.對于不同底而

同指數(shù)的指數(shù)幕的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確.

當?shù)讛?shù)與指數(shù)都不相同時，選取適當?shù)?媒介''數(shù)(通常以“0”或“1”為媒介)，分別與要比較的數(shù)比較，從而

可間接地比較出要比較的數(shù)的大小.

當?shù)讛?shù)與指數(shù)都不同，中間量又不好找時，可采用作商比較法，即對兩值作商，根據(jù)其值與1的大小關

系，從而確定所比值的大小.當然一般情況下，這兩個值最好都是正數(shù).作差比較法是比較兩個數(shù)值大小

的最常用的方法，即對兩值作差，看其值是正還是負，從而確定所比值的大小.分類討論是一種重要的

數(shù)學方法，運用分類討論法時，首先要確定分類的標準，涉及到指數(shù)函數(shù)問題時，通常將底數(shù)與1的大小

關系作為分類標準.

6.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）

13

A.y----B.y=-x

X

C.y=x|x|D.y=

【答案】c

【解析】

【分析】分別判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的奇偶性和單調(diào)性即可.

【詳解】對于A：y=為反比例函數(shù)，為奇函數(shù)，在區(qū)間（e,o）以及（0,+。）上都是增函數(shù)，但在定

義域內(nèi)不是增函數(shù)，故A錯誤；

對于B：?=-/既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，不符合題意，故B錯誤；

X2X>0

對于C：y=x|x|=4'，一為奇函數(shù)；X20時，y=f為增函數(shù)，x<0時，>=為增函數(shù)，

［-X,x<0

且函數(shù)圖象連續(xù)，該函數(shù)在R上為增函數(shù)，故C正確；

對于D：指數(shù)函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意，故D錯誤；

故選：C

7.設偶函數(shù)/（力在區(qū)間（一叫―1］上單調(diào)遞增，則（）

A./^</（-1）</（2）B./（2）</^</（-1）

C./⑵1）D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到/（2）=/（—2）,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】因為為偶函數(shù)，所以"2）=/（—2）,

又“X）在區(qū)間（―M―1］上單調(diào)遞增，一2<一|<一1,所以〃-2）</（-￡|</（一1）,

故選：B

8.若函數(shù)yu)=+如+i的定義域為一切實數(shù)，則實數(shù)小的取值范圍是()

A.[0,4)B.(0,4)C.[4,+oo)D.[0,4]

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)/(X)的定義域為一切實數(shù)，轉(zhuǎn)化為皿2+"a+120在R上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象

與性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)[x)=J如2+如+1的定義域為一切實數(shù),即〃優(yōu)2+"a+120在R上恒成立，

當m=0時，1K)恒成立；

m>0

當*0時，則彳2)八，解得0<加44.

A=m-4m<0

綜上可得

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，其中解答中熟練應用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解

答的關鍵，意在考查推理與運算能力.

二、多選題(本大題共4小題，每題5分，多選，錯選不得分，部分選對得2分，共20.0

分.)

9.下列函數(shù)中，值域為[0,4]的是()

A.=xe[l,5]B./(x)=-x2+4

C./(x)=Vx,XG[0,16]D./(X)=X+—-2(X>0)

【答案】AC

【解析】

【分析】AC選項通過函數(shù)單調(diào)性求值域；B選項通過二次函數(shù)的性質(zhì)求值域；D選項通過基本不等式求值

域.

【詳解】對于A：〃x)=x-l,XG[1,5],函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，

又/⑴=(),"5)=4,所以〃力40,4],故A正確;

對于B：由-0,所以-2+444,即〃X)?YO,4],故B錯誤;

對于C：f(x)=G，XG[0,16],函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,

又〃。)=()，"16)=4,所以〃x)40,4],故C正確;

對于D：因為x>0,所以/(力=苫+,一222卜?工一2=0,當且僅當％=,，即x=l時取等號，

所以〃X)€[0,+8),故D錯誤；

故選：AC

10.下列命題不正確的有()

A.若命題P：HreR,%2+x+l<0>貝I力：VxeR,x2+x+l>0

B.不等式%2一4%+5<0的解集為0

C.x<l是(x—l)(x+2)<0充分不必要條件

D.VxeR,=x

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)命題的否定即可判斷A,根據(jù)二次式的性質(zhì)即可判斷B,根據(jù)一元二次不等式的求解，結(jié)合必

要不充分條件即可判斷C,根據(jù)根式的性質(zhì)即可判斷D.

2

【詳解】對于A,若命題P：去eR,d+x+i<0,則「p：VxeR,x+x+l>0.故A正確，

對于B,由于V—4x+5=(x—2y+l〉0,故不等式X2_4X+5<0的解集為0，B正確，

對于C,由(x—l)(x+2)<0得一2a<1,所以x<l是(x—l)(x+2)<0的必要不充分條件，C錯誤，

對于D,由于JF=k|，故當x<0時，"京=_》,故D錯誤，

故選：CD

11.已知函數(shù)“力={2.0,關于函數(shù)“X)的結(jié)論正確的是()

A.“X)的定義域為RB./(x)的值域為(F,4)

C.41)=3D,若/(x)=3,則x的值是G

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷即可.

x+2,x<-1

【詳解】對于A,因為〃x)=<

X2,-1<X<2

所以/(x)的定義域為(―1,2)=(F,2),所以A錯誤;

對于B,當xW—l時，x+2<l,當一lvxv2時，0<%2〈4,

所以/(x)的值域為(7,1]」0,4)=(—8,4),所以B正確;

對于C,因為2,c，所以/(1)=儼=1,所以C錯誤;

[x,-1<x<2

對于D,當xW-1時，由/(x)=3,得x+2=3,解得x=l(舍去)，

當-l<x<2時，由/(x)=3,得r=3，解得％或尤=一&(舍去),

綜上，x=5所以D正確.

故選：BD.

12.已知〃x)=3-2國*(力=爐_2乂尸=則尸(x)()

A.最小值3-26B.最大值為7-25

C.無最小值D.無最大值

【答案】AD

【解析】

【分析】依題意將/(x)寫成分段函數(shù)形式，分別畫出兩函數(shù)在同一坐標系下的圖象，并結(jié)合圖象即可得出

結(jié)論.

/、[3-2x,x>0

【詳解】根據(jù)題意函數(shù)/(力={3+2工*<0，

在同一坐標系下畫出兩函數(shù)圖象如下:

g(x)"(x)<g(x)

根據(jù)F(x)=<可知，/(x)取的是兩函數(shù)圖象在上的部分，如上圖中的粗直實線以及

J(x)，/(x)>g(x)

其兩側(cè)的向上的拋物線;

由圖可知F(x)有最小值，無最大值，BC錯誤，D正確;

且最小值的橫坐標是方程3—2x=V—2x的正實根，即x=所以最小值為3-2百，即可知A正確.

故選：AD

三、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20.0分)

13.函數(shù)=+——的定義域是.

x—\

【答案】[一1,1)r(1,+~)

【解析】

【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負、分母不為零得出關于X的不等式組，解不等式組即可得出該函數(shù)的定

義域.

fx+l>0

【詳解】由題意可得《，八，解得X2-1且

x-1^0

所以，函數(shù)y=/(x)的定義域為|-l,l)U(l,+8).

故答案為：(l,+oo).

【點睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解，要結(jié)合一些常見的求定義域的基本原則列出不等式(組)來求

解，考查運算求解能力，屬于基礎題.

c、[x2+2(x<2)

14.設函數(shù)/(x)=《，則人-4)=_______,

2x(%>2)

【答案】18

【解析】

【分析】根據(jù)自變量的范圍選取適當?shù)谋磉_式計算.

【詳解】由已知/(—4)=(-4產(chǎn)+2=18,

故答案為：18.

15.若函數(shù)y=/(x)是R上的奇函數(shù)，且當xNO時，/(x)=2*+m,則/(-1)=.

【答案】-1

【解析】

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，建立方程，可得答案.

【詳解】由函數(shù)y=/(x)是R上的奇函數(shù)，則/(0)=0,即2°+m=0,解得加=-1，

/(-1)=-/(1)=-(2'-1)=-1,

故答案為：T.

16.高斯是德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯

函數(shù)”為：設xeR,用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則>=[司稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：

[-1.3]=-2,[3.4]=3,己知函數(shù)〃x)=x—[4xeR,則的值域為.

【答案】[0,1)

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由取整函數(shù)的定義，即可得到結(jié)果.

【詳解】由定義可知,x-\<[x]<x,所以04無一國<1,g|J0</(x)<l,

即函數(shù)的值域為[()/).

故答案為：[0,1)

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.已知函數(shù)〃”=依+—，點A(l,5),3(2,4)是〃x)圖象上的兩點.

(1)求。，。的值；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并說明理由.

【答案】(1)。=1,。=4

⑵/(x)為奇函數(shù)，理由見解析

【解析】

【分析】(1)分別代入A3兩點坐標聯(lián)立求解即可；

(2)根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷即可.

【小問1詳解】

5=a+b

由題意，*b，解得。=1,。=4.

4=2。+一

I2

【小問2詳解】

由(1)/(x)=x+[,易得定義域(y,o)u(o,+x))關于原點對稱.

4,4、

又=―尤+—=-X+-=-/(%),故/(X)為奇函數(shù).

—xIX

18.作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域.

(1)y=-x,xe{0,l,-2,3}；

2

(2)y=-/e[2,+oo)；

(3)y=f+2x,xe[-2,2].

【答案】(1)圖象見解析，{0,-1,2,-3}

(2)圖象見解析，(0,1]

(3)圖象見解析，[-1,8]

【解析】

【分析】通過列表描點連線作出函數(shù)圖像，由圖像確定值域.

【小問1詳解】

列表

X01-23

y0-12-3

函數(shù)圖象只是四個點(0,0),(1,-1),(一2,2),(3,—3),其值域為{0,-1,2,-3}.

以

3

?2?

_____\.________*［小問2詳解］

-2-10123x

-1,

-2-

-3■?

列表

X2345???

22

y1…

325

由圖可得函數(shù)的值域為[一1,8].

19.已知函數(shù)〉=/(%)是指數(shù)函數(shù)，且它的圖象過點(2,4).

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

⑵求“0),/(-2),/(4);

(3)畫出指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象，并根據(jù)圖象解不等式〃2x)>/(—x+3).

【答案】(1)/(x)=2A

⑵"0)=1,/(-2)=；,"4)=16

(3)作圖見解析，(1,+8).

【解析】

【分析】(1)設函數(shù)/(%)=",a>0且a",把點(2,4)代入〃x)="即可求得”的值，進而可得函

數(shù)的解析式.

⑵根據(jù)函數(shù)的解析式求得/(0)、)(—2)、”4)的值.

(3)畫出指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象，由不等式/(2x)>/(-%+3),可得2x>—x+3,由此解得x的范

圍.

【小問1詳解】

設函數(shù)/(x)=，，a〉0且aHl,

2

把點(2,4)代入/(x)=優(yōu)可得a=4,求得。=2,

所以函數(shù)“X)的解析式為〃x)=2”.

【小問2詳解】

由(1)可知〃力=2',所以〃0)=2°=1,/(—2)=2.2=；,/(4)=24=16.

【小問3詳解】

畫出指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象如下圖所示：

所以函數(shù)/(x)=2、在R上單調(diào)遞增；

由不等式/(2A-)>f(-x+3),

可得2x>-x+3,解得x>l,

故不等式的解集為(1，+8).

20.已知定義在R上的奇函數(shù)“X),當x>0時,f(x)=x(x-4).

(1)求函數(shù)在R上的解析式:

(2)在坐標系中作出函數(shù)〃x)的圖象;

(3)若函數(shù)/(x)在區(qū)間上J+2］上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)f的取值范圍.

x(x-4),x>0

【答案】⑴/(x)=<0,尤=0,

-x(x+4),x<0

(2)見解析(3)「22或/VT或—2WtW0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象；

(3)根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為子集問題，即可求解.

【小問1詳解】

當x<()時，-X>0,

因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以/(x)=-/(-x)=—(-x)(-x-4)=-x(x+4),

且〃。)=0，

x(x-4),x>0

所以函數(shù)/(x)在R上的解析式為=<0,x=0

-x(x+4),x<0

【小問2詳解】

根據(jù)函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象,

門【小問3詳解】

函數(shù)/(x)在區(qū)間上1+2］上是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)圖象可知,

t>2,或/+2V—2,或—2W/W/+2W2,

解得：/22或/?7'或-2</<0.

21.函數(shù)/(x)=x+網(wǎng).

X

(1)若4=2,證明：函數(shù)/(x)[2,”)上單調(diào)遞增；

(2)在滿足(1)的條件下，解不等式/(『+2)+/(-2/+書—5)<0.

【答案】(1)證明見解析

(2)(―,DU(3,+°0)

【解析】

【分析】(1)代入。=2,根據(jù)單調(diào)性的定義，即可證明；

(2)先證明/(x)為奇函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為了(*+2)</(2/—射+5).進而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及范

圍，列出不等式，化筒求解即可得出答案.

【小問1詳解】

4

當a=2時，可得函數(shù)/(x)=x+二.

任取石,工2w[2,+00),且王<%2，

則=石馬—4)

%x2XjX2

因為%,％26[2,”)，且王<工2，

所以不一工2<0，即玉工2-4>0,

所以/口)一/(z)=("一"2)("也一4)<0,

X\X2

即/&)<〃/),

所以函數(shù)/(X)在2+8)上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

4

/(x)=x+2,定義域為(—8,0)(0,+8)關于原點對稱.

又由/(-x)=-x-g=-[x+g=-“x),

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

則由不等式/(『+2)+/(—2產(chǎn)+4t—5)<0可得，

/(r+2)<-/(-2r2+4f-5)=/(2r-4r+5).

又產(chǎn)+222，2/一4r+5=2。一1丫+3>2,

函數(shù)“X）在［2,y）上單調(diào)遞增，

所以7+2<2*一4f+5,

整理可得「一射+3>0，

解得￡<1或f>3.

所以，不等式的解集