排列綜合問題目錄特殊元素或特殊位置問題“相鄰”與“不相鄰問題”定序問題有限制條件的排列、組合問題多面手問題分組、分配問題特殊元素或特殊位置問題PART01例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種？方法一把元素作為研究對象.解：例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題.(1)甲不在首位的排法有多少種？方法二把位置作為研究對象.方法二(間接法)先不考慮限制條件，從7人中選出5人進行排列，然后把不滿足條件的排列去掉.解：解：例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題.(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？把位置作為研究對象.解：例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題.(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？解：把位置作為研究對象.例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題.(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？解：間接法.練習(xí)：

5名學(xué)生和1位老師站成一排照相，問老師不排在兩端的排法有多少種？480種“相鄰”與“不相鄰”問題PART02例2

3名男生，4名女生，這7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)男、女各站在一起；(2)男生必須排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.定序問題PART03例3將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有多少種不同的排列方法？5個不同元素中部分元素A，B，C的排列順序已定，這種問題有以下兩種常用的解法.方法一

(插空法)若字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”，將字母D，E插入形成的4個空中，分兩類：同理，若字母A，B，C的排列順序為“C，B，A”，也有20種不同的排列方法.因此滿足條件的排列有20＋20＝40(種).例3將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有多少種不同的排列方法？5個不同元素中部分元素A，B，C的排列順序已定，這種問題有以下兩種常用的解法.練習(xí)某電視節(jié)目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相.(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場，順序有多少種？解：設(shè)符合條件的排法共有x種，有限制條件的排列、組合問題PART04例4課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊長當選；(2)至多有兩名女生當選；(3)既要有隊長，又要有女生當選.解：分兩類：所以共有495＋295＝790(種)選法.多面手問題PART05例5某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教，有多少種不同的選法？解：由題意知，有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語.方法一分兩類.第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2＋1＝3(種)選法.此時共有6×3＝18(種)選法.第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有1×2＝2(種)選法.所以由分類加法計數(shù)原理知，共有18＋2＝20(種)不同的選法.方法二解：設(shè)既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語.第一類：甲入選.(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理知，有1×2＝2(種)選法；(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理知，有1×6＝6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種).第二類：甲不入選，可分兩步：第一步，從只會英語的6人中選1人，有6種選法；第二步，從只會日語的2人中選1人，有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，有6×2＝12(種)不同的選法.綜上，共有8＋12＝20(種)不同的選法.練習(xí)某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現(xiàn)在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則共有多少種不同的選法？由分類加法計數(shù)原理得，共有75＋100＋10＝185(種)不同的選法.分組、分配問題PART06例3

6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組2本(平均分組)；(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組).例7將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數(shù).(1)每個盒子都不空；(2)恰有一個空盒子.練習(xí)

(1)某社區(qū)服務(wù)站將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人