1．在一自由市場，一商販的效用函數(shù)為代表收入。他每天的收入為200元，但按規(guī)定應(yīng)交納50元的固定稅費(fèi)。市場監(jiān)管人員按10%的概率抽查。被抽中則肯定能被查清是否已繳稅，偷稅者將被罰款。（1）為了打擊偷稅，市場監(jiān)管人員需要決定罰款額至少應(yīng)為多少？請求出。（2）假定該商販還有其他與該市場無關(guān)的隨機(jī)收入，即各以50%的概率獲得100元和300元，那么你對（1）的回答是否有變化？如果有，請給出。（北大2004研）解：（1）繳稅時(shí)商販的效用為假設(shè)偷稅罰款為X元，則逃稅的效用為設(shè)則解得：所以罰款額至少為188.74元。（2）在有其他收入的情況下繳稅時(shí)商販的效用為假設(shè)偷稅罰款為X元，則逃稅的效用為設(shè)則解得：5．設(shè)有一居民李四效用函數(shù)為U（x，y）＝x14y34，其中x為食品消費(fèi)量，y為其他商品的消費(fèi)量，且該居民的收入為5000元，x與y的價(jià)格均為10元，請計(jì)算：（1）該居民的最優(yōu)消費(fèi)組合。（2）若政府提供該居民2000元的食品兌換券，此兌換券只能用于食品消費(fèi)，則該居民的消費(fèi)組合有何變化？（廈門大學(xué)2003研）解：（1）要實(shí)現(xiàn)消費(fèi)者的效用最大化，應(yīng)滿足：即得①同時(shí)要滿足收入約束：②聯(lián)立①②得：（2）y500354.170145.83200500700x消費(fèi)者的預(yù)算約束如圖所示，政府提供該居民2000元的食品兌換券后，消費(fèi)者的預(yù)算線變?yōu)橐粭l折線。此時(shí)，消費(fèi)者的無差異曲線與其沒有公切點(diǎn)。所以，該居民的最優(yōu)消費(fèi)組合為折點(diǎn)，即：。6．近年來保險(xiǎn)業(yè)在我國得到迅速發(fā)展，本題應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)原理分析為什么人們愿意購買保險(xiǎn)，假定有一戶居民擁有財(cái)富10萬元，包括一輛價(jià)值2萬元的摩托車，該戶居民所住地區(qū)時(shí)常發(fā)生盜竊，因此有25%的可能性該戶居民的摩托車被盜，假定該戶居民的效用函數(shù)為，其中W表示財(cái)富價(jià)值。（1）計(jì)算該戶居民的效用期望值；（2）如何根據(jù)效用函數(shù)判斷該戶居民是愿意避免風(fēng)險(xiǎn)，還是愛好風(fēng)險(xiǎn)？（3）如果居民支付一定數(shù)額的保險(xiǎn)費(fèi)則可以在摩托車被盜時(shí)從保險(xiǎn)公司得到與摩托車價(jià)值相等的賠償，試計(jì)算該戶居民最多愿意支付多少元的保險(xiǎn)費(fèi)？（4）在該保險(xiǎn)費(fèi)中“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)（即該戶居民的期望損失）是多少元？保險(xiǎn)公司扣除“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)后的純收入是多少元？解：（1）該戶居民的期望效用為：；（2）由可得：

故該戶居民是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者。（3）繳納保險(xiǎn)費(fèi)后，居民的財(cái)富確定，為：不繳納保險(xiǎn)費(fèi)，居民的預(yù)期效用為：11.46令元。故居民最多愿意支付5434元。（4）公平的保險(xiǎn)費(fèi)為2×25%＝0.5萬元故保險(xiǎn)公司扣除“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)后的純收入是5434－5000＝434（元）2．某人有10萬元的存款，存入銀行可以獲取2％的利率。他可以將一部分錢投入股票市場，現(xiàn)在假設(shè)股票市場僅僅存在一種股票，收益率和方差服從正態(tài)分布N（0.1，1），他對于均值和方差的偏好為U（μ，σ）＝10μ－σ2，他應(yīng)該將多少錢投放到股票市場上？（清華大學(xué)2004研）解：設(shè)此投資者將x比例的錢投資放到股票市場上，則他存入銀行的比例為（1－x）。這樣，可以把其投資看成是含有一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合。其中，無風(fēng)險(xiǎn)利率，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率，標(biāo)準(zhǔn)差則投資組合的期望收益率為：標(biāo)準(zhǔn)差為：則對投資組合的偏好可表示為：投資者追求效用最大化，應(yīng)滿足：得：x＝0.4即投資者應(yīng)將（萬元）的錢投放到股票市場上。4．假設(shè)王五的效用函數(shù)為，其中I代表以千元為單位的年收入。（1）王五是風(fēng)險(xiǎn)中性的，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的還是風(fēng)險(xiǎn)愛好型的，請解釋。（2）假設(shè)王五現(xiàn)在的年收入為10000元，該工作是穩(wěn)定的，他可以獲得另一份工作，收入為15000元的概率為0.5，收入為5000元的概率為0.5，王五將作何選擇？（中山大學(xué)2004研）解：（1）王五的貨幣邊際效用為；>0貨幣的邊際效用是遞增的，所以王五是風(fēng)險(xiǎn)愛好者。（2）王五獲得另一份工作的期望收益為期望收益和原來的年收入一樣，因?yàn)橥跷迨秋L(fēng)險(xiǎn)愛好者，在期望收益相同時(shí)，王五會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)更大的工作，即王五將辭掉目前的工作，而找另一份工作。9.某人的效用函數(shù)形式為u=lnw。他有1000元錢，如果存銀行，一年后他可獲存款的1.1倍，若他買彩票，經(jīng)過同樣時(shí)間后他面臨兩種可能：有50%的機(jī)會(huì)他獲得買彩票款的0.9倍，50%的可能獲得彩票款的1.4倍。請問他該將多少錢存銀行，多少錢買彩票。（北大2006研）解：假設(shè)此人將其所擁有的1000元中的x用于購買彩票，他將剩余的（1000－x）元存在銀行。對于（1000－x）元的銀行存款而言，在一年后連本帶息將有1.1×（1000－x）元；而對于x元購買彩票的錢而言，將有兩種可能性：①獲得0.9x元，其概率為0.5②獲得1.4x元，其概率為0.5綜上所述，此人的期望效用為：EU＝0.5×ln[1.1×（1000－x）+0.9x]＋0.5×ln[1.1×（1000－x）+1.4x]解得x=916.6所以此人為了使其預(yù)期效用最大化，他將花費(fèi)916.6元用于購買彩票，將剩余的錢元用于銀行存款。10．近年來保險(xiǎn)業(yè)在我國得到迅速發(fā)展，本題應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)原理分析為什么人們愿意購買保險(xiǎn)，假定有一戶居民擁有財(cái)富10萬元，包括一輛價(jià)值2萬元的摩托車，該戶居民所住地區(qū)時(shí)常發(fā)生盜竊，因此有25%的可能性該戶居民的摩托車被盜，假定該戶居民的效用函數(shù)為其中W表示財(cái)富價(jià)值。（1）計(jì)算該戶居民的效用期望值。（2）如何根據(jù)效用函數(shù)判斷該戶居民是愿意避免風(fēng)險(xiǎn)，還是愛好風(fēng)險(xiǎn)？（3）如果居民支付一定數(shù)額的保險(xiǎn)費(fèi)則可以在摩托車被盜時(shí)從保險(xiǎn)公司得到與摩托車價(jià)值相等的賠償，試計(jì)算該戶居民最多愿意支付多少元的保險(xiǎn)費(fèi)？（4）在該保險(xiǎn)費(fèi)中“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)（即該戶居民的期望損失）是多少元？保險(xiǎn)公司扣除“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)后的純收入是多少元？（北大1998研）解：（1）該戶居民的期望效用為：75%×ln100000+25%×ln80000=11.46（2）故該戶居民是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者。（3）繳納保險(xiǎn)費(fèi)后，居民的財(cái)富確定地為：不繳納保險(xiǎn)費(fèi)，居民的預(yù)期效用為：11.46故元。居民最多愿意支付5434元。（4）公平的保險(xiǎn)費(fèi)為2×25%=0.5萬元故保險(xiǎn)公司扣除“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)后的純收入是5434－5000=434（元）12．假定某君效用函數(shù)為U=20+2M，這里，U是效用，M是貨幣收入（萬美元）。他有10萬美元，想投資于某項(xiàng)目。他認(rèn)為有50%的可能損失全部投資，有50%可能獲得30萬美元，試問：（1）如果他投資，他的效用是多少？（2）他是否會(huì)進(jìn)行這筆投資？（復(fù)旦大學(xué)1998研）解：（1）該君貨幣期望值為0.5×0+0.5×30=15（萬元）。因此，如果他投資，效用為U=20+2M=20+2×15=50?；颍浩谕в脼椋?）從效用函數(shù)的形式看，效用是貨幣收益的線性函數(shù)，因而他是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中立者。他對風(fēng)險(xiǎn)持無所謂態(tài)度，關(guān)心的只是貨幣期望值極大，既然投資的貨幣期望值是15，而不投資的貨幣期望值為10，他當(dāng)然會(huì)選擇投資。13．收獲后，農(nóng)民決定是賣糧存錢還是存糧。假定農(nóng)民預(yù)期一年后糧價(jià)將漲20%。（不考慮糧食質(zhì)量的差異），而存糧一年期間老鼠將吃掉10%的糧食，銀行存款的年利率是10%。計(jì)算當(dāng)預(yù)期的通貨膨脹率為5%時(shí)，農(nóng)民將如何選擇？通貨膨脹率到什么水平時(shí)，農(nóng)民將選擇存錢?（北大1999研）解：假設(shè)農(nóng)民現(xiàn)有價(jià)值1元的糧食。若他賣糧存錢，則一年后的收益為1+10%=1.1；若存糧，一年后的價(jià)值為（1+20%）（1－10%）（1+5%）=1.134，故農(nóng)民將選擇存糧。設(shè)通貨膨脹至π時(shí)，農(nóng)民將選擇存錢，此時(shí)必有（1+10%）（1+20%）（1－10%）（1+π）因此，當(dāng)通貨膨脹率小于等于1.85%時(shí)，農(nóng)民將選擇存錢。14．如果一個(gè)市場中的消費(fèi)者都具有擬線性偏好（quasilinearutility），即其中，……N代表第i個(gè)消費(fèi)者，和分別代表每i個(gè)消費(fèi)者對商品x和y的消費(fèi)量，證明商品x的市場需求曲線一定不可能有正斜率。（北大1999研）解：對第i個(gè)消費(fèi)者來說，其效用最大化問題為：使得其中mi為消費(fèi)者i的收入由一階條件因此，故斜率一定非正。15．如果某人的絕對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)為一常數(shù)，則這個(gè)人的效用函數(shù)的形式必為。證明：設(shè)則有,為任意常數(shù)。=>u（w）=故其效用函數(shù)的形式必為23．一個(gè)具有VNM效用函數(shù)的人擁有160000單位的初始財(cái)產(chǎn)，但他面臨火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)：一種發(fā)生概率為5%的火災(zāi)會(huì)使其損失70000；另一種發(fā)生概率為5%的火災(zāi)會(huì)使其損失120000。他的效用函數(shù)形式是＝。若他買保險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司要求他自己承擔(dān)7620單位的損失（若火災(zāi)發(fā)生）。這個(gè)投保人愿支付的最高保險(xiǎn)金是多少？解：假設(shè)這個(gè)投保人愿支付的最高保險(xiǎn)金為R，則有=得＝385即此投保人最高愿支付保險(xiǎn)金385元。17．一個(gè)農(nóng)民認(rèn)為在一個(gè)播種的季節(jié)里，雨水不正常的可能性是一半對一半。他的預(yù)期效用函數(shù)的形式為預(yù)期效用=這里，與分別代表農(nóng)民在“正常降雨”與“多雨”情況下的收入。（1）假定農(nóng)民一定要在兩種如下表所示收入前景的谷物中進(jìn)行選擇的話，會(huì)種哪種谷物？谷物小麥28000元10000元谷子19000元15000元（2）假定農(nóng)民在他的土地上可以每種作物都播種一半的話，他還會(huì)選擇這樣做嗎？請解釋你的結(jié)論。（3）怎樣組合小麥與谷子才可以給這個(gè)農(nóng)民帶來最大的預(yù)期效用？（4）如果對于只種小麥的農(nóng)民，有一種要花費(fèi)4000元的保險(xiǎn)，在種植季節(jié)多雨的情況下會(huì)賠付8000元，那么，這種有關(guān)小麥種植的保險(xiǎn)會(huì)怎樣改變農(nóng)民的種植情況？解：（1）∵∴種谷子（2）∵∴各播種一半時(shí)∴會(huì)選擇每種作物播種一半。（3）設(shè)小麥的播種比例為x，谷子為1-x則預(yù)期效用令，且∴應(yīng)選擇比例種小麥。（4）當(dāng)種植小麥時(shí)，得最大預(yù)期效用：而在只種小麥但投保情況下：∴會(huì)選擇只種小麥并投保。某人A的效用函數(shù)為：，M為收入。如果他成為一名秘書，則每年肯定能夠收入30000元；如果成為一名產(chǎn)科醫(yī)生，在產(chǎn)育的高峰期將收入60000元（假設(shè)發(fā)生的概率為0.75），而在產(chǎn)育的低谷期則只能收入20000元（假設(shè)發(fā)生的概率為0.25）。如果有一家咨詢公司能夠預(yù)測兩種情況將要發(fā)生的概率。A認(rèn)為應(yīng)該為這條信息費(fèi)用最多支付多少錢。解：兩種職業(yè)進(jìn)行對比，如果為醫(yī)生職業(yè)支付得過多，那么，他寧愿選擇成為秘書。所以，當(dāng)兩個(gè)職業(yè)的期望收入效用相等，此時(shí)的X即為最大支付費(fèi)用。如表3.1。表3.1A的效用矩陣秘書收入的期望效用：醫(yī)生收入的期望效用：所以，醫(yī)生收入的期望效用高于秘書收入的期望效用，A愿意為該信息支付費(fèi)用。本題如果按照支付X信息費(fèi)后，計(jì)算醫(yī)生收入的期望效用，然后解方程，由于未知數(shù)處于兩個(gè)不同分式的分母，解題將極為困難。此時(shí)，可以換一種思路，如果秘書的收入增加，當(dāng)增加后秘書的收入的期望效用大于等于醫(yī)生收入的期望效用，此時(shí)A將不愿意為該信息付費(fèi)，那么此時(shí)假設(shè)的增加的收入即為答案。解題如下：當(dāng)收入增加10000時(shí)候，A就開始不愿意為該信息支付費(fèi)用了。所以，很顯然，最大支付的費(fèi)用為10000。如果支付費(fèi)用為10000，進(jìn)行驗(yàn)算：說明最大支付費(fèi)用為10000符合題意。25．在固定收益率為的資產(chǎn)上投資美元，可以在兩種狀態(tài)時(shí)獲得；而在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資在好日子收益為，在壞日子為（其中。通過上述假定，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資就可以在狀態(tài)偏好的框架中被加以研究。（1）請畫出兩種投資的結(jié)果。（2）請說明包含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的“資產(chǎn)組合”怎樣可以在你的圖中得到顯示。你怎樣說明投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的財(cái)富比例？（3）請說明個(gè)人對于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度會(huì)怎樣決定他們所持有的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合。一個(gè)人會(huì)在什么情況下不持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)？解：（1）