2023年高考數(shù)學(xué)試題分類解析【第五章平面向量】

第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

1.（2023新高考II卷13）已知向量。,6滿足|a-b卜百，|a+A|=|2a—耳,則網(wǎng)=

【解析】解法一（向量運(yùn)算）：因?yàn)閨a-b|=6,所以/一2。/+〃2=3①

因?yàn)镠+耳=|2”4,所以/+2。?〃+A?=4/-4ab+b2，

化簡(jiǎn)得/=2a/，代入①得〃2=3,同=6.

解法二（向量運(yùn)算加減幾何意義）：

如圖所示，a+b=OD<2a-b=BC'所以|而

所以四邊形OCDB為等腰梯形，則函=|岡=g-M=6

即例=G

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1.（2023新高考I卷3）已知向量"=（1,1）,/>=1）.若（。+勸）+則（）

A.2+4=1B.X+"=-1C.A//=1D.44=—1

【解析】（4+4辦）,（4+〃力）=42+（%+〃）。?力+=2+0+24//=2（1+44）=0,

所以;l4=T.故選D.

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

1.（2023北京卷3）已知向量。,b滿足。+力=（2,3）,=（-2,1）,則同？一時(shí)=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【解析】向量滿足0+b=（2,3）,〃-6=（-2,1）,

所以lap-I6|2=（a+*）?（?-*）=2x（-2）+3xl=-l.

1

故選B.

2.(2023全國(guó)甲卷理科4)向量同=網(wǎng)=1,同=應(yīng)且°+b+c=0,則cos(〃一c力一c)=()

A.--B.--C.-D.-

5555

【分析】作出圖形，根據(jù)幾何意義求解.

【解析】因?yàn)閍+8+c=0,所以Q+〃=-C,

即〃2+/+2〃?〃=k,即1+1+2〃?6=2,所以〃?/>=().

如圖所示，設(shè)方=a,OB=b,OC=c,

由題知，OA=OB=l,0C=42,△0/3是等腰直角三角形，

邊上的高。。=也，AD=—,所以CD=CO+Or>=JI+"=還，

2222

tanZ.ACD=,cosZ.ACD=-2=,

CD3Vio

cos(a一c,6-c)=cos4c8=cos2ZACD-2cos2ZACD_1=2x-1=g.

故選D.

3.(2023全國(guó)甲卷文科3)已知向量a=(3,l),6=(2,2),則cos〈a+"〃一b)=()

A.±B.叵C.且D.迪

171755

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得|a+6|,|a-6|,("+b>(a-b),從而利用平面向量

余弦的運(yùn)算公式即可得解.

【解析】因?yàn)閍=(3,1)/=(2,2),所以a+6=(5,3),a-6=(l,-l),

則+b\+3'=,|a—Z?|=Jl+1=g*,(a+b),(a-6)=5xl+3x(-1)=2,

所以cos〈a+"…六牛群空=2y/17

陰X0-17

2

故選B.

4.（2023全國(guó)乙卷理科12）已知圓O的半徑為1,直線R4與圓。相切于點(diǎn)Z,直線尸8與圓。交于8,C

兩點(diǎn)，。為5c的中點(diǎn)，若|PO|=JL則方?萬(wàn)的最大值為（)

1+V2

C.1+72D.2+V2

2

【解析】依題意△PZ。為等腰直角三角形，|刀|=1,

ZAPO=,因?yàn)橐筇K?麗的最大值，所以P4Po一定在PO同側(cè)，如圖所示,

設(shè)ZAPD=a,0<a<；,則=|加卜POcos/OP￡)=忘c(diǎn)os^-a

所以PZ.PD=|P/1|-|PD|COSa

當(dāng)a=?時(shí)等號(hào)成立，所以刀,而的最大值為2.故選A.

82

5.（2023全國(guó)乙卷文科6）正方形/BCD的邊長(zhǎng)是2,E是N3的中點(diǎn)，則皮.麗=（）

A.75B.3C.275D.5

【分析】解法一：以｛而，而｝為基底向量表示左，說(shuō)，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；解法二：建

系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；解法三：利用余弦定理求cos/DEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算

求解.

【解析】解法一（基底法）：以｛而，而｝為基底向量，可知同=|羽=2,萬(wàn).布=0,

3

則反麗+芯=1萬(wàn)+而,而=以+而=」而+而，

22

所以無(wú)方=（；而+而）｛-；而+而卜—；存2+府=T+4=3.

解法二（建系法）：如圖所示，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則E（l,0）,C（2,2）,Q（0,2）,可得及=（1,2）,麗=（-1,2）,

所以瓦?麗=-1+4=3.

解法三（定義法）：由題意可得：ED=EC=?CD=2,

DE1+CE2-DC25+5-43

在△CDE中,由余弦定理可得cos/DEC=

2DECE2x75XA/55

所以皮?麗=|比||麗卜osZDEC=V^xV?x|=3.

故選B.

6.（2023天津卷14）在△/BC中，N/=60°,8c=1,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CO的中點(diǎn)，若設(shè)

AB=a,AC=b＞則4E可用。力表示為若BF=gBC,則力￡"?4尸的最大值為

【分析】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合E為的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用Q1表示出萬(wàn)，結(jié)合上

一空答案，于是荏.簫可由6表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.

【解析】空1：因?yàn)镋為。的中點(diǎn)，所以2荏=亞+就，即2方=,4+8,則方=，4+工/＞；

242

_1_.___AFFCAC

空2：因?yàn)?F=-8C,則2所+尸C=0，由題意可得[1_+—=—,

3[AF+FB=AB

得到簫+斤+2（萬(wàn)+而）=就+2布，即3簫=2a+6，即萬(wàn)=ga+；力.

^^jE-7F=\-a+-h\\-a+-h\=—（2a2+5a-h+2b2Y

4

記IB=x,AC=y,

)='(2X2-t-5xycos60°+^2)=^yf必爭(zhēng)

則而酢q.+5ab+2b2+

在△Z8C中，根據(jù)余弦定理：BC2=x2+y2-2Aycos600=x2+y2-xy=\,

于是記簫/（2xy+學(xué)+2）4