高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省定西市臨洮縣2024屆高三下學(xué)期開學(xué)假期學(xué)習質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，.故選：D.2.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方桯為.則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，則，函數(shù)的圖象在點處的切線方桯為，所以，解得，則.故選：C.3.已知命題“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為命題“，”為真命題，所以，命題“，”為真命題，所以，時，，因為，，所以，當時，，當且僅當時取得等號.所以，時，，即實數(shù)的取值范圍是故選：C.4.在正項等比數(shù)列中，是的等差中項，則（）A.16 B.27 C.32 D.54〖答案〗D〖解析〗設(shè)數(shù)列的公比為，則，∴，解得，（舍去），∴.故選：D.5.已知，則取得最小值時的值為（）A.3 B.2 C.4 D.5〖答案〗A〖解析〗，則，當且僅當，即時等號成立.故選：A.6.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當時，的最小值為.故選：C.7.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.或〖答案〗B〖解析〗因為雙曲線的漸近線方程為，所以選B.8.已知以圓：的圓心為焦點的拋物線與圓在第一象限交于點，點是拋物線：上任意一點，與直線垂直，垂足為，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為的圓心所以以為焦點的拋物線方程為，由，解得，拋物線的焦點為，準線方程為，如圖，即有，當且僅當在之間）三點共線，可得最大值，故選：A.二、多項選擇題9.若函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B.是R上的減函數(shù)C.的值域是 D.的圖象與函數(shù)的圖象沒有交點〖答案〗ACD〖解析〗A選項，的定義域為R，又為奇函數(shù)，故，即，即，解得，A正確；B選項，，任取，且，故，因為在R上單調(diào)遞增，，故，所以，即，所以是R上的增函數(shù)，B錯誤；C選項，因為，所以，，所以的值域是，C正確；D選項，令，即，，無解，故的圖象與函數(shù)的圖象沒有交點，D正確.故選：ACD.10.如圖，在正方體中，，分別是的中點，則（）A.四點，，，共面B.∥C.與平面相交D.若，則正方體外接球的表面積為〖答案〗BCD〖解析〗對于選項，連接和，則∥，因為在正方體中，是的中點，所以也是的中點，所以因為是的中點，所以所以點，，在平面中，因為點平面，則四點，，，不共面，即選項不正確；對于選項，由選項A可知是的中點，因為是的中點，所以∥，又因為∥，所以∥，即選項正確；對于選項，因為∥，所以點，，都在平面，因為平面，平面，所以與平面相交，即與平面相交，所以選項正確；對于選項，因為為的中位線，且，所以正方體的棱長為，設(shè)正方體外接球的半徑為，則，即，則外接球的表面積為，即選項正確；故選：BCD.11.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的解，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為關(guān)于x的方程有四個不同的解，且，結(jié)合圖象，可得，且，則，其中，所以，所以A不正確根據(jù)圖象，要使得方程有四個不同的解，可得，所以B正確；因為，且，可得，所以，可得，又由，當且僅當時，等號成立，顯然，所以，所以C正確；令，可得，結(jié)合圖象，可得，所以D不正確.故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則___________.〖答案〗1〖解析〗因為，所以所以故〖答案〗為：1.13.已知向量，若，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，因為，所以，解得故〖答案〗為：.14.若是定義在上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當時，,則__________.〖答案〗〖解析〗由是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得，，即，所以，可得，則的最小正周期為4，當時，，則．故〖答案〗為：．四、解答題15.已知等比數(shù)列的前n項和為，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和解：（1）在比數(shù)列中，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，∴，∵，，成等差數(shù)列，∴，從而有，得，∴；（2）由，且，得，∴，.16.2020年3月，因為新冠肺炎疫情的影響，我市全體學(xué)生只能在網(wǎng)上在線學(xué)習，為了研究學(xué)生在線學(xué)習情況，市教研院數(shù)學(xué)學(xué)科隨機從市區(qū)各高中學(xué)校抽取120名學(xué)生對線上教學(xué)情況進行調(diào)查（其中，男生與女生的人數(shù)之比為3：1），結(jié)果發(fā)現(xiàn)：男生中有40名對于線上教學(xué)滿意，女生中有10名表示對于線上教學(xué)不滿意.（1）請完成如表2×2列聯(lián)表，并回答能否有95%的把握認為對“線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)”；態(tài)度性別滿意不滿意合計男生女生合計120（2）采用分層抽樣的方法，從被調(diào)查的對線上教學(xué)滿意的學(xué)生中，抽取6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，作線上學(xué)習的經(jīng)驗介紹，求所選取的2名學(xué)生性別不同的概率.附：參考公式及臨界值表，其中P（K2＞k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由題意可知抽取120名學(xué)生中男生有人，女生有人，則列聯(lián)表如下表態(tài)度性別滿意不滿意合計男生405090女生201030合計6060120則有95%把握認為對“線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)”（2）由分層抽樣的性質(zhì)可知，抽取的6名學(xué)生中，男生4人，女生2人記4名男生分別為，2名女生分別為從這6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生的所有情況為：，，，共15種，其中所選取的2名學(xué)生性別不同的共有8種，則所選取2名學(xué)生性別不同的概率.17.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，,是棱的中點.（1）證明：平面平面.（2）求點到平面的距離.（1）證明：由直三棱柱的定義可知平面.因為平面，所以；因為是等邊三角形，，且是棱的中點，所以.因為平面，且，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）解：連接，由題意可得的面積.因為是邊長為4的等邊三角形，且是棱的中點，所以.由（1）可知平面，則三棱錐的體積因為是棱的中點，且，所以，則.由（1）可知平面,平面，則，從而的面積.設(shè)點到平面的距離為，則三棱錐的體積.因為，所以，解得，即點到平面的距離為.18.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠流長．某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）．步驟1：設(shè)圓心為E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標記為F；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點F；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕．已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓．若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點F到圓心E的距離為4，按上述方法折紙．（1）以點F、E所在的直線為x軸，建立適當?shù)淖鴺讼?，求折痕圍成的橢圓C的標準方程；（2）若過點且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸的正半軸上是否存在定點，使得直線TM，TN的斜率之積為定值？若存在，求出該定點和定值；若不存在，請說明理由．解：（1）如圖，以所在的直線為軸，的中點為原點建立平面直角坐標系，設(shè)為橢圓上一點，由題意可知，，所以點軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓，因為，，所以，，則，所以橢圓的標準方程為；（2）由已知：直線過，設(shè)的方程為，由題意必定是存在的，聯(lián)立兩個方程得，消去得，得，設(shè),，,，則，，，將代入上式，可得上式可得，要使為定值，則有，，又，，此時，存在點，使得直線與斜率之積為定值；綜上，橢圓的標準方程為，存在點，使得直線與斜率之積為定值．19.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．解：的定義域為，因為，（1）當時，，令，得，又的定義域為，，隨的變化情況如下表:10單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以時，取得極小值為．的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因