第二講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點(diǎn)一變量的相關(guān)關(guān)系1．相關(guān)關(guān)系兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個______________另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．2．散點(diǎn)圖每一個序號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的______表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計圖稱為散點(diǎn)圖．去精確地決定點(diǎn)3．正相關(guān)、負(fù)相關(guān)如果從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)________的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)________的趨勢，則稱這兩個變量負(fù)相關(guān)．增加減小4．變量的線性相關(guān)如果兩個變量的取值呈現(xiàn)__________________，而且散點(diǎn)落在____________附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)．一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量_______________________.正相關(guān)或負(fù)相關(guān)一條直線相關(guān)或曲線相關(guān)非線性r∈[－1,1]，當(dāng)r>0時，成對樣本數(shù)據(jù)__________；當(dāng)r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)__________；當(dāng)|r|接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度________；當(dāng)|r|接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度________.正相關(guān)負(fù)相關(guān)越強(qiáng)越弱bx＋a＋e0σ2因變量或響應(yīng)變量自變量或解釋變量經(jīng)驗回歸直線最小二乘法最小二乘估計觀測值預(yù)測值殘差殘差分析小好大差知識點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗1．分類變量：用以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的隨機(jī)變量．2．2×2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個分類變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下：

y1y2總計x1ab________x2cdc＋d總計a＋c____________________________a＋bb＋da＋b＋c＋d3.獨(dú)立性檢驗(1)零假設(shè)(或原假設(shè))以Ω為樣本空間的古典概型．設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0,1}的成對分類變量．H0：________________________________稱為零假設(shè)．P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)(2)臨界值χ2＝_______________________.對于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實數(shù)xα，使得下面關(guān)系成立：P(

2≥xα)＝α.稱xα為α的__________，這個臨界值就可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)．概率值α越小，臨界值xα越大．臨界值(3)獨(dú)立性檢驗基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y__________，該推斷犯錯誤的概率不________；當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y________.這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為

2獨(dú)立性檢驗，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗”，簡稱獨(dú)立性檢驗．不獨(dú)立超過α獨(dú)立4．獨(dú)立性檢驗解決實際問題的一般步驟(1)提出零假設(shè)H0：X與Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)經(jīng)驗規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．歸

納

拓

展1．回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性分布時，求出的經(jīng)驗回歸方程才有實際意義，否則，求出的經(jīng)驗回歸方程毫無意義．根據(jù)經(jīng)驗回歸方程進(jìn)行預(yù)報，僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值．雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．(

)(2)兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0.(

)(3)只有兩個變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測價值．(

)√√×√××BD3．(選擇性必修3P132例3)某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良．采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名、治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名．試根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗，分析甲、乙兩種療法的效果，結(jié)論為________________________.附：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828兩種療法效果沒有差異

[解析]

由題意的兩種療法數(shù)據(jù)的列聯(lián)表療法療效合計未治愈治愈甲155267乙66369合計21115136題組三走向高考4．(2023·高考天津卷)調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r＝0.8245，下列說法正確的是(

)A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245C[解析]

根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤；散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，C選項正確；由于r＝0.8245是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245，D選項錯誤．故選C．5．(2022·全國高考甲卷(節(jié)選))甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營，為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030P(χ2≥xα)0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635[解析]

根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表如下：公司準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計A24020260B21030240合計45050500考點(diǎn)突破·互動探究相關(guān)關(guān)系的判斷——自主練透1.(2024·湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體聯(lián)考)某校數(shù)學(xué)興趣小組在某座山測得海拔高度x(單位：千米)與氣壓y(單位：千帕)的六組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，6)繪制成如下散點(diǎn)圖，分析研究發(fā)現(xiàn)B點(diǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)不符合實際，刪除B點(diǎn)后重新進(jìn)行回歸分析，則下列說法正確的是(

)A．刪除點(diǎn)B后，樣本數(shù)據(jù)的兩變量x，y正相關(guān)B．刪除點(diǎn)B后，相關(guān)系數(shù)r的絕對值更接近于1C．刪除點(diǎn)B后，新樣本的殘差平方和變大D．刪除點(diǎn)B后，解釋變量x與響應(yīng)變量y相關(guān)性變?nèi)魾[解析]

從散點(diǎn)圖中可知，刪除點(diǎn)B后，樣本數(shù)據(jù)的兩變量x，y負(fù)相關(guān)，所以A錯誤；由于B點(diǎn)較其他點(diǎn)偏離程度大，故去掉B點(diǎn)后，回歸效果更好，從而相關(guān)系數(shù)r的絕對值更接近于1，所以B正確；同理決定系數(shù)R2越接近于1，所以新樣本的殘差平方和變小，所以C錯誤；從而解釋變量x與響應(yīng)變量y相關(guān)性增強(qiáng)，所以D錯誤．故選B．2．(多選題)(2023·河北邯鄲期末)對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計后得到的散點(diǎn)圖如圖，關(guān)于其線性相關(guān)系數(shù)的結(jié)論正確的是()A．r1<0 B．r2>1C．r1＋r2>0 D．|r1|>|r2|AC[解析]

由散點(diǎn)圖可知，線性相關(guān)系數(shù)r1的圖象表示y與x成負(fù)相關(guān)，故－1<r1<0，故A正確；線性相關(guān)系數(shù)r2的圖象表示y與x正相關(guān)，故1>r2>0，故B錯誤；∵線性相關(guān)系數(shù)r2的點(diǎn)較線性相關(guān)系數(shù)r1的點(diǎn)密集，故|r2|>|r1|，故r1＋r2>0，故C正確，D錯誤．故選AC．【變式訓(xùn)練】(2023·高考上海卷)根據(jù)所示的散點(diǎn)圖，下列說法正確的是(

)A．身高越大，體重越大B．身高越大，體重越小C．身高和體重成正相關(guān)D．身高和體重成負(fù)相關(guān)[解析]

根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得：身高和體重成正相關(guān)．故選C．C回歸分析——多維探究角度1一元線性回歸模型1.(2024·河北邢臺名校聯(lián)盟期中)某商店的某款商品近5個月的月銷售量y(單位：千瓶)如下表：第x個月12345月銷售量y2.53.244.85.5AB2．(2023·河南安陽開學(xué)考)2022年6月某一周，“東方甄選”直播間的交易額共計3.5億元，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：(1)通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)(系數(shù)精確到0.01)加以說明；第t天1234567交易額y/千萬元y1y2y3y4y5y6y7因為交易額y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98，說明交易額y與t具有很強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系，從而可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系．BC2．(2024·山東濟(jì)南摸底)隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購成了人們購物的重要選擇，并對實體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了一定影響．為了解實體經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)狀，某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了一個大商場2018—2022年的線下銷售額如下：年份編號x12345年份20182019202020212022銷售額y(單位：萬元)1513146512021060860角度2一元非線性回歸模型(2024·重慶七校開學(xué)考試)中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．某數(shù)學(xué)建模小組為了獲得茶水溫度y

℃關(guān)于時間x(min)的回歸方程模型，通過實驗做初步處理得到如圖所示散點(diǎn)圖．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，①y＝a＋bx與②y＝d·cx＋25哪一個更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程；(3)已知該茶水溫度降至60℃口感最佳．根據(jù)(2)中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感？0.29獨(dú)立性檢驗——師生共研1.(多選題)(2024·重慶質(zhì)檢)千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了A地區(qū)的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表，并計算得到χ2≈19.05，下列小波對A地區(qū)天氣的判斷正確的是()日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545ABC2．(2024·河北秦皇島部分學(xué)校檢測)某市電視臺為了解一檔節(jié)目收視情況，隨機(jī)抽取了該市n對夫妻進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到每人日均收看該節(jié)目的時間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，收視時間不低于40分鐘的觀眾稱為“熱心觀眾”，收視時間低于40分鐘的觀眾稱為“非熱心觀眾”，已知抽取樣本中收視時間低于10分鐘的有10人．(1)求n，p；(2)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗，分析“熱心觀眾”是否與性別有關(guān).

非熱心觀眾熱心觀眾總計男

女

10

總計

(2)∵n＝50，∴“熱心觀眾”有2×50×(0.020＋0.005)×10＝25人，則2×2列聯(lián)表如下所示：

非熱心觀眾熱心觀眾總計男351550女401050總計7525100名師點(diǎn)撥：解獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用問題的關(guān)注點(diǎn)1．兩個明確：(1)明確兩類主體．(2)明確研究的兩個問題．2．兩個關(guān)鍵：(2)準(zhǔn)確列出2×2列聯(lián)表．(2)準(zhǔn)確理解χ2.注意：查表時不是查最大允許值，而是先根據(jù)題目要求的百分比找到第一行對應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對應(yīng)的xα值與求得的

2相比較．另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個變量沒有關(guān)聯(lián)的可能性p，所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1－p.【變式訓(xùn)練】(2024·湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研)近期世界地震、洪水、森林大火等自然災(zāi)害頻繁出現(xiàn)，緊急避險知識越來越引起人們的重視．某校為考察學(xué)生對緊急避險知識的掌握情況，從全校學(xué)生中選取200名學(xué)生進(jìn)行緊急避險知識測試，其中男生110名，女生90名．所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間[50,100]范圍內(nèi)，由測試成績數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)若從頻率分布直方圖中估計出樣本的平均數(shù)與中位數(shù)相等，求圖中m的值；(2)規(guī)定測試成績不低于80分為優(yōu)秀，已知共有45名男生成績優(yōu)秀，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗，能否推斷男生和女生的測試成績優(yōu)秀率有差異？性別測試成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀男生45

女生

合計

α0.10.050.01xα2.7063.8416.635(2)總的成績優(yōu)秀人數(shù)為：200×10×(0.025＋0.01)＝70，得到列聯(lián)表為：性別測試成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀男生4565110女生256590合計70130200名師講壇·素養(yǎng)提升重溫高考1.(2021·全國高考乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.52．(2021·全國高考)甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：

一級品二級品合計甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？P(

2≥xα)0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【變式訓(xùn)練】1