第四講數(shù)列求和知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點(diǎn)一公式法求和1.如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：注意等比數(shù)列公比q的取值情況，要分q＝1，q≠1.知識點(diǎn)二分組求和法一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減.如若一個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，則可用分組求和法求其前n項(xiàng)和.知識點(diǎn)三倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等且等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.知識點(diǎn)四錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.知識點(diǎn)五裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.知識點(diǎn)六并項(xiàng)求和法在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩合并求解，則稱之為并項(xiàng)求和.如{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{(－1)nan}的前n項(xiàng)和，可用并項(xiàng)求和法求解.形如an＝(－1)nf(n)類型，可考慮采用兩項(xiàng)合并求解.歸

納

拓

展1.常見的裂項(xiàng)公式雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和.()√√(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時(shí)只要把上式等號兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.()×√√(2)因?yàn)閟in21°＋sin289°＝sin22°＋sin288°＝sin23°＋sin287°＝sin244°＋sin246°＝2sin245°＝1，所以sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和.(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1討論求解.題組二走進(jìn)教材A.2023 B．2024C.2025 D．2026C∴n＝2025.故選C.DB①－②得，解法二：此類問題可先考慮排除法，令n＝1即得B正確.an＝2(n＋1)[解析]

由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1).題組三走向高考[解析]

本題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算及裂項(xiàng)相消法求和.考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究分組求和法——師生共研B(1)記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求{an}的前20項(xiàng)和.[解析]

(1)因?yàn)閎n＝a2n，所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a1＋1＋3＝a1＋4＝5.由題意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1，所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝an＋1－1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S20＝a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝[(a2－1)＋(a4－1)＋…＋(a20－1)]＋(a2＋a4＋…＋a20)＝2(a2＋a4＋…＋a20)－10，故S20＝2×155－10＝300，即{an}的前20項(xiàng)和為300.名師點(diǎn)撥：分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型1.若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和.【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(n2－n)，前n項(xiàng)和為Sn，則滿足S2n＋1≤－2023的最小正整數(shù)n的值為()A.28 B．30C．31 D．32DA.1121 B．1122C．1123 D．1124C裂項(xiàng)相消法——多維探究

求和：CD名師點(diǎn)撥：裂項(xiàng)相消法求和在歷年高考中曾多次出現(xiàn)，命題角度凸顯靈活多變.在解題中，要善于利用裂項(xiàng)相消的基本思想，變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，達(dá)到求解的目的.1.直接考查裂項(xiàng)相消法求和.解決此類問題應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；2.與不等式相結(jié)合考查裂項(xiàng)相消法求和.解決此類問題應(yīng)分兩步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放縮法、單調(diào)性等證明不等式.【變式訓(xùn)練】AA.5 B．4C．10 D．9AA故選A.錯(cuò)位相減法——師生共研(2023·全國甲，理，17)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝1,2Sn＝nan.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；[解析]

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，兩式相減得2an＝nan－(n－1)an－1，(題眼)即(n－1)an－1＝(n－2)an，當(dāng)n＝2時(shí)，可得a1＝0，當(dāng)n＝1，n＝2時(shí)，均滿足上式，所以an＝n－1.名師點(diǎn)撥：用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和的模板第一步：(判斷結(jié)構(gòu))若數(shù)列{an·bn}是由等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}(公比q)的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則可用此法求和.第二步：(乘公比)設(shè){an·bn}的前n項(xiàng)和為Tn，然后兩邊同乘以q.第三步：(錯(cuò)位相減)乘以公比q后，向后錯(cuò)開一位，使含有qk(k∈N*)的項(xiàng)對齊，然后兩邊同時(shí)作差.第四步：(求和)將作差后的結(jié)果求和化簡，從而表示出Tn.用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題1.如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法.2.在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.3.“Sn－qSn”化簡的關(guān)鍵是化為等比數(shù)列求和，一定要明確求和的是n項(xiàng)還是n－1項(xiàng)，一般是n－1項(xiàng).4.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論求解.【變式訓(xùn)練】(2020·課標(biāo)全國Ⅰ，理)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng).(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.[解析]

(1)設(shè){an}的公比為q，∵a1為a2，a3的等差中項(xiàng)，∴2a1＝a2＋a3，又a1≠0，∴q2＋q－2＝0.∵q≠1，∴q＝－2.(2)設(shè){nan}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1，Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(