由上面討論能夠看出，為了求得滿意計算解，在選用計算公式和設(shè)計算法時，都應(yīng)注意以下普遍標準：(1)預(yù)防大數(shù)吃小數(shù)主要由計算機位數(shù)引發(fā)選取算法應(yīng)遵照標準計算機中數(shù)計算特點：加法先對階，后運算，再舍入。乘法先運算，再舍入。不在計算機數(shù)系中數(shù)做四舍五入處理。數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第1頁作一個有效數(shù)字為4位連加運算而假如將小數(shù)放在前面計算在作連加時，為預(yù)防大數(shù)吃小數(shù)，應(yīng)從小到大進行相加，如此，精度將得到適當改進。當然也可采取別方法。例數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第2頁(2)作減法時應(yīng)防止兩個相近數(shù)相減兩個相近數(shù)相減，會使有效數(shù)字位數(shù)嚴重損失！例1.2.10用四位浮點數(shù)計算

解只有一位有效數(shù)字,有效數(shù)字大量損失，造成相對誤差擴大。結(jié)果依然有四位有效數(shù)字。這說明了算法設(shè)計主要性。在算法設(shè)計中，若可能出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減，則改變計算公式，如使用三角變換、有理化等等。數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第3頁(3)防止小數(shù)作除數(shù)和大數(shù)作乘數(shù)小數(shù)作除數(shù)或大數(shù)作乘數(shù)會產(chǎn)生溢犯錯誤，因而產(chǎn)生大誤差。在算法設(shè)計時，要防止這類情況在計算公式中出現(xiàn)。此時能夠依據(jù)一些詳細情況,把一些算式改寫成另一個等價形式，如分母有理化等。依據(jù)誤差傳輸預(yù)計式數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第4頁§3.算法穩(wěn)定性如前所述，因為各種誤差存在，計算機往往只能近似地求解實際問題，因而計算時會冒風(fēng)險。一、問題性態(tài)數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第5頁如把方程組系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字它準確解為x1=-6.222...x2=38.25…x3=-33.65...例求解線性方程組其準確解為x1=x2=x3=1.數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第6頁若對方程組系數(shù)和中間結(jié)果均取3位10進制有效數(shù)字，然后用Gauss消元法求解，得到計算解為：顯然，該計算解精度較差。一樣用Gauss消元法求解方程組：也取3位10進制有效數(shù)字，得到計算解為：輕易驗證，它是方程組準確解。數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第7頁上述例子表明，數(shù)值問題計算解精度，與數(shù)值問題本身性態(tài)相關(guān)。定義1.3.1在數(shù)值問題中，假如輸出數(shù)據(jù)對輸入數(shù)據(jù)擾動（如誤差）很敏感，即若輸入數(shù)據(jù)（如原始數(shù)據(jù)）有較小改變，會引發(fā)輸出數(shù)據(jù)（如計算解）較大變化，稱這類數(shù)值問題為病態(tài)問題或壞條件問題。非病態(tài)問題又稱為良態(tài)問題。問題輸出變量相對誤差與輸入變量相對誤差商稱為問題條件數(shù)數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第8頁二、算法穩(wěn)定性與設(shè)計標準例1.3.3計算定積分解一個程序往往要進行大量四則運算才能得出結(jié)果，每一步運算均可能會產(chǎn)生舍入誤差。在大量計算中,舍入誤差是積累還是能控制,這與算法相關(guān)。數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第9頁誤差放大5千倍!并假設(shè)計算過程中不產(chǎn)生新舍入誤差。誤差會放大由公式可推出：數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第10頁顯然算法不穩(wěn)定。理論上成立算法，在計算機上計算時，因為初值誤差在計算過程中傳輸，而造成結(jié)果失真，這是我們數(shù)值計算方法所要研究。(2)利用遞推公式誤差不會放大數(shù)值穩(wěn)定，在運算過程中，舍入誤差不增大。

數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第11頁定義1.3.2假如對于良態(tài)問題，在運算過程中,舍入誤差能控制在某個范圍內(nèi)算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定算法,不然就稱之為不穩(wěn)定算法。前面例子說明，不穩(wěn)定算法可能造成計算結(jié)果不可靠甚至嚴重失真。所以，在計算時，應(yīng)該采取穩(wěn)定數(shù)值計算方法。數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第12頁算法優(yōu)劣標準從截斷誤差觀點看，算法必須是截斷誤差小，收斂速速要快。即運算量小，機器用時少。從舍入誤差觀點看，舍入誤差在計算過程中要能控制，即算法數(shù)值要穩(wěn)定。從實現(xiàn)算法觀點看，算法邏輯結(jié)構(gòu)不宜太復(fù)雜，便于程序編制和上機實現(xiàn).數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第13頁設(shè)計算法時應(yīng)遵照標準要含有數(shù)值穩(wěn)定性，即能控制誤差傳輸。防止大數(shù)吃小數(shù)，即兩數(shù)相加時，預(yù)防較小數(shù)加不到較大數(shù)上。防止兩相近數(shù)相減，以免有效數(shù)字大量丟失。防止分母很小或乘法因子很大，以免產(chǎn)生溢出。數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第14頁非線性方程求根第二章數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第15頁當代科學(xué)技術(shù)或工程技術(shù)領(lǐng)域許多實際問題，經(jīng)常能夠歸結(jié)為求解函數(shù)方程：假如函數(shù)能寫成以下形式假如有使得，則稱為方程根，或稱為函數(shù)零點。數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第16頁如：①當f(x)為代數(shù)方程時，理論上已經(jīng)證實，大于五次多項式普通沒有代數(shù)解法。②當f(x)為超越方程時，普通不能用代數(shù)方法求其根。

所以，超越方程(含有指數(shù)和對數(shù)等)代數(shù)方程（多項式）對于普通非線性方程，只能用數(shù)值方法求解。數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第17頁方程求根問題分成兩步：第二步：根隔離確定根所在區(qū)間，使方程在這個小區(qū)間內(nèi)僅有一個根，該區(qū)間叫隔根區(qū)間。第三步：根準確化已知根一個近似值后，用某種方法對其進行加工，使之滿足給定精度要求。第一步：根存在性數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第18頁求隔根區(qū)間普通方法理論依據(jù)：數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第19頁本章主要介紹二分法與迭代法（包含Newton迭代法及其變型、弦割法等）§1.二分法二分法是方程求根最慣用而且也是最保險方法之一。一、算法基本思想將區(qū)間對分，保留有根區(qū)間，舍去無根區(qū)間。如此往復(fù)，以逐步迫近方程根?；緱l件：數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第20頁二、算法步驟數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第21頁ax0ba1b1三、算法收斂性此時有誤差預(yù)計：慣用來預(yù)計k值數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第22頁四、算法優(yōu)點與缺點缺點：不能求偶數(shù)重根及復(fù)根；收斂速度非常遲緩，與以1/2為公比等比級數(shù)相同；沒有充分利用函數(shù)值。所以普通不單獨使用，往往為其它快速方法提供初值。優(yōu)點：計算簡單且必收斂，是一個可靠算法；對函數(shù)性質(zhì)要求低，只要求函數(shù)f(x)連續(xù)就能夠了。用二分法求方程

在[1,1.5]內(nèi)實根，要求

解即可推出所需迭代次數(shù)滿足

在區(qū)間[1,1.5]上最少存在一個根。其詳細過程以下：

例2.1.1因為因而由誤差預(yù)計式數(shù)值計算和最優(yōu)化lecture誤差和二分法第23頁

符號011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51