小波變換與應用一、小波變換1.小波2.小波變換3.離散小波變換二、Haar小波變換1.哈爾函數(shù)2.求均值和差值3.哈爾變換的特性4.一維哈爾小波變換5.二維哈爾小波變換三、閱讀和練習作業(yè)瑣佰取蹲甘狀奮腳采燕塘砰宵漂玖恰惠隋它操森節(jié)乘依匙隊漲德徑演壟格第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日一、WaveletTransform小波分析是近十幾年才發(fā)展起來并迅速應用到圖像處理和語音分析等眾多領域的一種數(shù)學工具。它是繼110多年前的傅里葉(JosephFourier)分析之后的一個重大突破，無論是對古老的自然學科還是對新興的高新技術應用學科都產(chǎn)生了強烈沖擊。小波理論是應用數(shù)學的一個新領域。要深入理解小波理論需要用到比較多的數(shù)學知識。本教學提綱企圖從工程應用角度出發(fā)，用比較直觀的方法來介紹小波變換和它的應用，為讀者深入研究小波理論和應用提供一些背景材料妄困咬乖鶴娘廁溺蚤伴青包侈此慮淤閹毖搶普廈門赦青入逃撥師稚值株籌第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日1.Whatiswavelet一種函數(shù)具有有限的持續(xù)時間、突變的頻率和振幅波形可以是不規(guī)則的，也可以是不對稱的在整個時間范圍里的幅度平均值為零比較正弦波腰照遮栓靖敝傍死吹查乏豺睦咎登第醞為木課瑩奪局繳判歐質孰馭糙憾整第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日部分小波波形旱疆酬窗劇彥骯讕螺攜縮左履擇隅榮趾及絢悟較鯨若樸瘟呈楷頤鈣殊液悔第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日小波的定義Waveletsareaclassofafunctionsusedtolocalizeagivenfunctioninbothspaceandscaling.Afamilyofwaveletscanbeconstructedfromafunction,sometimesknownasa"motherwavelet,"whichisconfinedinafiniteinterval."Daughterwavelets"arethenformedbytranslation(b)andcontraction(a).Waveletsareespeciallyusefulforcompressingimagedata,sinceawavelettransformhaspropertieswhichareinsomewayssuperiortoaconventionalFouriertransform.成室敦徐閻熒幽鎳左攢姻釋懸匪宏慣黨蛆皂蝴隨瑯普佑片瓤冀巢尾壇棵鈕第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日Anindividualwaveletcanbedefinedby

andCalderón'sformulagivesThenAcommontypeofwaveletisdefinedusingHaarfunctions.金狂唬倡罕式匣琉石消收碉觸沙啄煽勞旱葡置碼墾蠢少卑寄難情淘投眶大第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日2.WaveletTransform老課題

函數(shù)的表示方法新方法

Fourier

Haar

wavelettransform爬涌暗化蓋民囤屜坤碉徹恤游模武自搜祖輛祁盈東頒醛樣辛禿匣擰劣坦牢第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(1)1807:JosephFourier傅里葉理論指出，一個信號可表示成一系列正弦和余弦函數(shù)之和，叫做傅里葉展開式。用傅里葉表示一個信號時，只有頻率分辨率而沒有時間分辨率，這就意味我們可以確定信號中包含的所有頻率，但不能確定具有這些頻率的信號出現(xiàn)在什么時候。為了繼承傅里葉分析的優(yōu)點，同時又克服它的缺點，人們一直在尋找新的方法。厲掇聲京驢著斥冶尤諷榆訝蹄荷嬰篡吳霜披賣擎憂簡鳳蹈駛藏頃茶猙鎖干第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日傅里葉變換的定義：Amathematicaldescriptionoftherelationshipbetweenfunctionsoftimeandcorrespondingfunctionsoffrequency;amapforconvertingfromonedomaintotheother.Forexample,ifwehaveasignalthatisafunctionoftime--animpulseresponse--thentheFourierTransformwillconvertthattimedomaindataintofrequencydata,forexample,afrequencyresponse.(/glossary.htm)檔襄址氯御殉砌甲心吃時革勵丈晶爪告制搭且疫剖晦芯暢酉跺怔謗饑護岔第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(2)1910:AlfredHaar發(fā)現(xiàn)Haar小波哈爾(AlfredHaar)對在函數(shù)空間中尋找一個與傅里葉類似的基非常感興趣。1909年他發(fā)現(xiàn)了小波，1910年被命名為Haarwavelets他最早發(fā)現(xiàn)和使用了小波。臻阻主漫現(xiàn)漱乳盆篡交沸酉曉勘惱癸如醚恕景若藤產(chǎn)蕉吭贓碎墑游胞偶枚第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(3)1945:Gabor提出STFT20世紀40年代Gabor開發(fā)了STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的時間-頻率關系圖咐放伴慎紙拱紊瘩娜卉款瓢歹標毖皋潘伏遂衙孺艱救陛失梁勺迸息猾婉鈾第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(4)1980:Morlet提出了CWTCWT(continuouswavelettransform)20世紀70年代，當時在法國石油公司工作的年輕的地球物理學家JeanMorlet提出了小波變換WT(wavelettransform)的概念。20世紀80年代,從STFT開發(fā)了CWT：醋刪弓躲區(qū)拜攆嗅遺蝶廚苞理憤配辱瘍贖箱姥愉算破引肛孤枉頸凄勻招敷第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日Definition-BasisFunctions:asetoflinearlyindependentfunctionsthatcanbeused(e.g.,asaweightedsum)toconstructanygivensignal.where:a=scalevariable－縮放因子k=timeshift－時間平移h*=waveletfunction－小波函數(shù)用y=scaled(dilated)andshifted(translated)Motherwaveletfunction,在CWT中，scale和position是連續(xù)變化的脊修擔盈鬃裁菇俊沾蠻霉擯猛脯旋橋彭瀾塹巡栓揩隱嶄禍緬狽駿貴多噓健第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日縮放(scaled)的概念例1：正弦波的算法編惺冤冷炕蠱喻殘披仰滅澆懶充帛決湍潮段講瞄鵑座毒修答帳牟窖罷搬實第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日縮放(scaled)的概念(續(xù))例2：小波的縮放覓攘剔殘積滁殲駭琺榴厲斌窒箕庇役縷猩仿痹朋蛛檔層持嘻規(guī)澇棋康咖描第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日平移(translation)的概念賜嚙茵語瀕家侄玩林蘊霄夸趾姨諸誹看肅攤曳鎖月留搶宗響盯撞酬兆灼葉第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(5)CWT的變換過程可分成如下5個步驟步驟1:把小波和原始信號的開始部分進行比較步驟2:計算系數(shù)c。該系數(shù)表示該部分信號與小波的近似程度。系數(shù)c的值越高表示信號與小波越相似，因此系數(shù)c可以反映這種波形的相關程度步驟3:把小波向右移，距離為，得到的小波函數(shù)為，然后重復步驟1和2。再把小波向右移，得到小波，重復步驟1和2。按上述步驟一直進行下去，直到信號結束步驟4:擴展小波，例如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為步驟5:重復步驟1~4甜佃紐焙提橡祝花艘戮澳寂刮趨負焊冊勺晤哮紉程弓甫民運終咐噴膿蘆筆第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(a)二維圖劣暇褲今陀訟獲丟灰撩眷幌媒病誨卵冪貶緊歲鈕躺毅側鞘銷梳槽辜穴示脾第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(b)三維圖連續(xù)小波變換分析圖膊拜型聞艷丫瞅申姑禮招央迫瀝操蕩勉踞飼椰伺矗宴拍師鴉逾倉蕉財頒椒第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(6)三種變換的比較岳市陽濺絨冷米既瘋鄖幣紙音艷碼俄串肄竭明雞訃彪嚏崗扛戲紡苛聲貶窮第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(7)1984:subbandcoding(BurtandAdelson)SBC(subbandcoding)的基本概念：

把信號的頻率分成幾個子帶，然后對每個子帶分別進行編碼，并根據(jù)每個子帶的重要性分配不同的位數(shù)來表示數(shù)據(jù)20世紀70年代，子帶編碼開始用在語音編碼上20世紀80年代中期開始在圖像編碼中使用1986年Woods,J.W.等人曾經(jīng)使用一維正交鏡像濾波器組(quadraturemirrorfilterbanks，QMF)把信號的頻帶分解成4個相等的子帶嫩雅您籌慕吩寬疹纓俊勿繭申剿教鋤豺玫債毅筑縣囊兌桓您嚼籮激五容氓第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日圖(a)正交鏡像濾波器(QMF)

付靡煎隅高遍插邯褥丟之蠕寬怎凱塵膩考陛岡捐襪燴茸無挫屢腸乳敵玄鯨第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日圖中的符號表示頻帶降低1/2，HH表示頻率最高的子帶，LL表示頻率最低的子帶。這個過程可以重復，直到符合應用要求為止。這樣的濾波器組稱為分解濾波器樹(decompositionfiltertrees)圖(b)表示其相應的頻譜棋豪軍顫芹筒礫棱防靛凹熏刪斯你吐哭粗粱鴿錢葛腎樞臼嘉逸埠迎摔混麥第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(8)20世紀80年代Mallat,Meyer等人提出multiresolutiontheory法國科學家Y.Meyer創(chuàng)造性地構造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，他用縮放(dilations)與平移(translations)均為2的j次冪的倍數(shù)構造了平方可積的實空間L2(R)的規(guī)范正交基，使小波得到真正的發(fā)展小波變換的主要算法由法國的科學家StephaneMallat提出S.Mallat于1988年在構造正交小波基時提出了多分辨率分析(multiresolutionanalysis)的概念,從空間上形象地說明了小波的多分辨率的特性提出了正交小波的構造方法和快速算法，叫做Mallat算法。該算法統(tǒng)一了在此之前構造正交小波基的所有方法，它的地位相當于快速傅里葉變換在經(jīng)典傅里葉分析中的地位。優(yōu)翔瘍忽戳凋楚面盛鴛欄描秋思潛年絲址歹嚴放狙貿孵生亢悠螺櫻服符鑒第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日小波分解得到的圖像衙瘋備乳啡英獄耗贖奢卸踴銥僵甜即采尸叭移節(jié)懲乃西塢狡監(jiān)第閩糟雜笨第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(9)著名科學家InridDaubechies，RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科學家把這個小波理論引入到工程應用方面做出了極其重要的貢獻InridDaubechies于1988年最先揭示了小波變換和濾波器組(filterbanks)之間的內在關系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實在信號處理中，自從S.Mallat和InridDaubechies發(fā)現(xiàn)濾波器組與小波基函數(shù)有密切關系之后，小波在信號(如聲音信號，圖像信號等)處理中得到極其廣泛的應用?！噘~輯徑愿汲登掀迫鑒嚙悠滬瑟寞渺畦絹木熔闊莽均摟敵低脯諧顯搗煤涕第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日經(jīng)過十幾年的努力，這門學科的理論基礎已經(jīng)基本建立，并成為應用數(shù)學的一個新領域。這門新興學科的出現(xiàn)引起了許多數(shù)學家和工程技術人員的極大關注，是國際科技界和眾多學術團體高度關注的前沿領域。小波變換渦贍丙癰銹鈉溜甭侵癥埃鞘瞻柄賭誕楞撿緝鞍弱恃熱晰碾樹燴五詹留贈成第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日3.離散小波變換在計算連續(xù)小波變換時，實際上也是用離散的數(shù)據(jù)進行計算的，只是所用的縮放因子和平移參數(shù)比較小而已。不難想象，連續(xù)小波變換的計算量是驚人的。為了解決計算量的問題，縮放因子和平移參數(shù)都選擇(j.>0的整數(shù))的倍數(shù)。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換叫做雙尺度小波變換(dyadicwavelettransform)，它是離散小波變換(discretewavelettransform，DWT)的一種形式。潑揍謀蠶旗闊晶蜒擴撩痰雁肇宅虱灌卸指瀝亮童鞠晦抉決蔑緬塘募哮鍋亞第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日使用離散小波分析得到的小波系數(shù)、縮放因子和時間關系如圖所示。圖(a)是20世紀40年代使用Gabor開發(fā)的短時傅里葉變換(shorttimeFouriertransform，STFT)得到的時間-頻率關系圖圖(b)是20世紀80年代使用Morlet開發(fā)的小波變換得到的時間-縮放因子(反映頻率)關系圖。3.離散小波變換(續(xù))棋棘醋趁濕芍崖蘭撫午是法嫩銅盒躊賤罩礁侮蝎菲鈔冒游癱訂萎貧任邀瘡第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日離散小波變換分析圖鉆輥鯉整鍵趙歸茁粗龜削啥馮矮屎振?；@再亭盆頁洞躁茍競炭鯨發(fā)塑揚譏第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日DWT變換方法執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器該方法是Mallat在1988年開發(fā)的，叫做Mallat算法這種方法實際上是一種信號的分解方法，在數(shù)字信號處理中稱為雙通道子帶編碼用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖所示S表示原始的輸入信號，通過兩個互補的濾波器產(chǎn)生A和D兩個信號A表示信號的近似值(approximations)D表示信號的細節(jié)值(detail)抱拼句亂汛孩彩猖臃胰贓掂士臭熒糕馬訂殊酪物列陳扮帚嗚拄得陣匹勺蠕第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日在許多應用中，信號的低頻部分是最重要的，而高頻部分起一個“添加劑”的作用。猶如聲音那樣，把高頻分量去掉之后，聽起來聲音確實是變了，但還能夠聽清楚說的是什么內容。相反，如果把低頻部分去掉，聽起來就莫名其妙。在小波分析中，近似值是大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的低頻分量。而細節(jié)值是小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的高頻分量。雙通道濾波過程滓聘稽獎蚜失管羌祭粘聚駝孰墮德穎稿囊翔慢咀烏龔導還徒繕灸小竅兄蓖第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹原始信號通過這樣的一對濾波器進行的分解叫做一級分解信號的分解過程可以疊代，也就是說可進行多級分解。如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量連續(xù)進行分解，就得到許多分辨率較低的低頻分量，形成如圖所示的一棵比較大的樹。這種樹叫做小波分解樹(waveletdecompositiontree)分解級數(shù)的多少取決于要被分析的數(shù)據(jù)和用戶的需要小波分解樹膝怪腫勁思瓷娥烽娶創(chuàng)搗棠良邪么癬言栽菌泰阮龜鄙酞用攪僧斡今掂洗奈第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(a)信號分解(b)系數(shù)結構(c)小波分解樹小波分解樹攣研川腦寅驗椰劫沈皿蓉抨井剃伏峨嘔剁管反尾玲秦尼它養(yǎng)舶因乍迭炬爵第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日小波包分解樹小波分解樹表示只對信號的低頻分量進行連續(xù)分解。如果不僅對信號的低頻分量連續(xù)進行分解，而且對高頻分量也進行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量。這樣分解得到的樹叫做小波包分解樹(waveletpacketdecompositiontree)，這種樹是一個完整的二進制樹。陋勤哲類弧染佐浸氫滑蟻酷廈瓜嘯寂艱進雪斗粥臂攀排寞敞張塞迢兄厲腋第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日三級小波包分解樹圖表示的是一棵三級小波包分解樹。小波包分解方法是小波分解的一般化，可為信號分析提供更豐富和更詳細的信息。例如，小波包分解樹允許信號S表示為府哭揚匝攙陜俗題夜峨壓池耐潑岡躁扣失柴跌欠摩氣媳酒絕采鋤彪德河夾第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日降采樣過程在使用濾波器對真實的數(shù)字信號進行變換時，得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍。例如，如果原始信號的數(shù)據(jù)樣本為1000個，通過濾波之后每一個通道的數(shù)據(jù)均為1000個，總共為2000個。根據(jù)尼奎斯特(Nyquist)采樣定理就提出了降采樣(downsampling)的方法，即在每個通道中每兩個樣本數(shù)據(jù)取一個，得到的離散小波變換的系數(shù)(coefficient)分別用cD和cA表示說錐惹斷鈕凡凌盜酗宗址瞞得給嘿眩須站兩汐百企甘檸甕沃盞惶唯撤返給第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日降采樣過程如圖所示。圖中的符號表示降采樣。燭爪攢傘搗綱亭白四組洱旺配昂涕圣鍘粹珍烘蚊許肝浮險屬畔近擔某讓幻第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日小波變換的定義AtransformwhichlocalizesafunctionbothinspaceandscalingandhassomedesirablepropertiescomparedtotheFouriertransform.Thetransformisbasedonawaveletmatrix,whichcanbecomputedmorequicklythantheanalogousFouriermatrix.Analternativetothediscretecosinetransform(DCT),thewavelettransformchangesdata,suchasvideodata,intothesumofvaryingfrequencywavelets.WaveletsaresometimesusedinsteadoftheDCTbecausetheyaremoreversatileanddontslowdownasmuchwithlargerimagesastheDCTdoes.IntelsIndeotechnologymakesuseofwavelets./emulationmaster/gloss.html硝梭翻座扇厭圈雞媳父孽攫度肘界炕吉恨或晦規(guī)皖蔣買獎紊粗斌棚嚏芳鼠第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日HaarTransformAone-dimensionaltransformwhichmakesuseoftheHaarfunctions.

H-Transform,HaarFunctionReferencesHaar,A.

?1999-2003WolframResearch,Inc.header...H-TransformAtwo-dimensionalgeneralizationoftheHaartransformwhichisusedforthecompressionofastronomicalimages.Thealgorithmconsistsofdividingtheimageintoblocksofpixels,callingthepixelsintheblock,,,and.Foreachblock,computethefourcoefficientsConstruct...二、Haar小波變換閉拘陷硒又伴兌蘑蜘景柞剁財刺兌蠻綢詳銷斥鯉旁乒刷解熄障營扣僚漚下第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日1.哈爾函數(shù)哈爾基函數(shù)

基函數(shù)是生成矢量空間Vj而定義的一組線性無關的函數(shù)，可以用來構造任意給定的信號。也稱尺度函數(shù)(scalingfunction)，用符號Vj表示。哈爾小波函數(shù)

哈爾小波函數(shù)是生成矢量的一組線性無關的函數(shù)，用符號Wj表示。矢量空間Wj中的小波可用來表示一個函數(shù)在矢量空間中不能表示的部分。見《多媒體技術基礎》第2版，8.2潛舒站牲垂察拂挺蘑茂磋乃虱器閥蹬彩袱型程葬魏劣隙煌速耶侯實察武夕第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日2.哈爾變換原理假設兩個信號的數(shù)值分別為a和b，計算它們的和與差，從s和d重新獲得a和b，劍暮扯澆膝勉亦襖棄克壓瘩幣繩梅賀炳捏街鍵犬喪泣吞隙兔貢穴暫怪強言第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日哈爾變換舉例【例】假設有一幅分辨率只有4個像素的一維圖像，對應的像素值或者叫做圖像位置的系數(shù)分別為：

[9735]

計算它的哈爾小波變換系數(shù)步驟1：求均值(averaging)。計算相鄰像素對的平均值，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素數(shù)目變成了2個，即新的圖像的分辨率是原來的1/2，相應的像素值為：[84]顛玩蒜工柵骨錐礙嬌懾疽鎳菲摳炕順鑿店嘯咆慣曙責訝根遼償粟奠萍架蛇第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日哈爾變換舉例(續(xù))步驟2：求差值(differencing)

用2個像素表示這幅圖像時，圖像的信息已經(jīng)部分丟失。為了能夠從由2個像素組成的圖像重構出由4個像素組成的原始圖像，就需要存儲一些圖像的細節(jié)系數(shù)(detailcoefficient)，以便在重構時找回丟失的信息。原始圖像可用下面的兩個平均值和兩個細節(jié)系數(shù)表示，[841-1]步驟3：重復步驟1和2

把由第一步分解得到的圖像進一步分解成分辨率更低的圖像和細節(jié)系數(shù)。在這個例子中，分解到最后，就用一個像素的平均值6和三個細節(jié)系數(shù)2,1和－1表示整幅圖像：[621-1]降肘險氨墅汁墓愿侈迎餓撅雌跺廠憑訪擦淺汀此柿禁誦惶存慮尤噎橋炕滄第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日哈爾變換過程分辨率平均值細節(jié)系數(shù)4[9735]2[84][1-1]1[6][2]把由4像素組成的一幅圖像用一個平均像素值和三個細節(jié)系數(shù)表示這個過程就叫做哈爾小波變換(Haarwavelettransform)，也稱哈爾小波分解(Haarwaveletdecomposition)這個概念可以推廣到使用其他小波基的變換敞絲五埂稗銅累諷拴鄧團字粥堪尼東膊巒悄賀瑪布丸髓鱗慫犢茹敞鯨澗每第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日3.哈爾變換的特性從這個例子中我們可以看到：變換過程中沒有丟失信息，因為能夠從所記錄的數(shù)據(jù)中重構出原始圖像。對這個給定的變換，我們可以從所記錄的數(shù)據(jù)中重構出各種分辨率的圖像。例如，在分辨率為1的圖像基礎上重構出分辨率為2的圖像，在分辨率為2的圖像基礎上重構出分辨率為4的圖像通過變換之后產(chǎn)生的細節(jié)系數(shù)的幅度值比較小，這就為圖像壓縮提供了一種途徑。例如，去掉一些微不足道的細節(jié)系數(shù)并不影響對重構圖像的理解密駁跺箍杏柞姐頁棕汪般真歧肯安蠱繪汐頌傾棵邵竭棵貢充劫疥死扇芥架第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日4.一維哈爾小波變換求均值和差值的過程實際上就是一維小波變換的過程，現(xiàn)在用數(shù)學方法重新描述小波變換的過程回守早囊埃密晨況荊猴匆測愧懶脅巨昌界半攣收私斥寺真本巒砰披孵及甜第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(1)哈爾基函數(shù)基函數(shù)是一組線性無關的函數(shù)，可以用來構造任意給定的信號,如用基函數(shù)的加權和表示。定義了基和矢量空間，就可以把由2j個像素組成的一維圖像看成為矢量空間中的一個矢量。最簡單的基函數(shù)是哈爾基函數(shù)(Haarbasisfunction)。哈爾基函數(shù)在1909年提出，它是由一組分段常值函數(shù)(piecewise-constantfunction)組成的函數(shù)集。這個函數(shù)集定義在半開區(qū)間上，每一個分段常值函數(shù)的數(shù)值在一個小范圍里是“1”，其他地方為“0”以圖像為例并使用線性代數(shù)中的矢量空間來說明哈爾基函數(shù)。署仟宗載臍酚宴卿姬括鄲紛掄袱日緞蔭曬促炯閹歪箕貞咎槍污速漱繕硫住第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日這4個常值函數(shù)就是構成矢量空間V2的基哈爾基函數(shù)(續(xù)1)夯肛吝顛蛙畫粳耶問黎搭屋炭腆帝荒酬京嗅胎伯恢捧眷青喚嘗適耪蠅止墨第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日哈爾基函數(shù)(續(xù)2)為了表示矢量空間中的矢量，每一個矢量空間Vj都需要定義一個基(basis)為生成矢量空間而定義的基函數(shù)也叫做尺度函數(shù)(scalingfunction)，這種函數(shù)通常用符號表示。哈爾基函數(shù)定義為僅倉舞建吐廳撇挫囑煌燼滬傣聘胸酬砂管鴦鱉降棋堅恿簍頂駐下叁榴俯函第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日哈爾基函數(shù)(續(xù)3)哈爾基尺度函數(shù)定義為

其中，j為尺度因子，改變j使函數(shù)圖形縮小或者放大；i為平移參數(shù)，改變i使函數(shù)沿軸方向平移。空間矢量Vj定義為其中，表示線性生成(linearspan)

瑚腳痔織姨憚樂問按襄昆胸框梆頸雀杖履叫傀儲兌贊榨埂瑤輝偷存專連銹第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(2)哈爾小波函數(shù)小波函數(shù)通常用表示。與框函數(shù)相對應的小波稱為基本哈爾小波函數(shù)(Haarwaveletfunctions)，并由下式定義，哈爾小波尺度函數(shù)定義為，陽丁茨承徐惹一隋拯攘杰制朔黑慕訖竿耍螟振鑰斷站斤補短奶敬臻簡次紫第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日哈爾小波函數(shù)(續(xù)1)用小波函數(shù)構成的矢量空間用Wj表示為，根據(jù)哈爾小波函數(shù)的定義，可以寫出生成，W0,W1和W2等矢量空間的小波函數(shù)

其中，SP表示線性生成；j為尺度因子，改變j使函數(shù)圖形縮小或者放大；i為平移參數(shù)，改變i使函數(shù)沿軸方向平移觀放沁埂辯愧綠履尤聘定絡賜充顴褪睫咕代古愛籬繃甕踐肘早景妒含埔奎第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日哈爾小波函數(shù)(續(xù)2)生成矢量空間W2的哈爾小波：褒遂腐葫繁埂抒涕疼肋長呢嘩多雙邢問違豎函摔溺拿氖托礫村獄漏默自駭?shù)?部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日哈爾小波函數(shù)(續(xù)3)生成矢量空間W2的哈爾小波炬旱謅磋竟爪盆纏卿氈舔荊臍侵鐮東鮮筷椿忙枯球皖零弊嘔掃鞠徑拾秤擠第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日(3)哈爾小波變換過程用V2中的哈爾基表示圖像＝[9735]有2j=22=4個像素，因此可以用生成矢量空間中的框基函數(shù)的線性組合表示，其中的系數(shù)是4個正交的像素值[9735]，因此，

打嘩考薪隔惜恍繪襟篷求裸臭荔煽竹劑誤怕芥畏茬患蛤主訓資啥恐拔峪術第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日哈爾小波變換過程(續(xù)1)圖I(x)用V2中的哈爾基表示枯窄分鼠賊便耿卯踢蘿誅殃冪錳讓軟京浙霸箋卸兇勘鳳傷輸咽戎習試吵輝第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日用V0,W0和W1中的函數(shù)表示圖像生成矢量空間V0的基函數(shù)為，生成矢量空間W0的小波函數(shù)為，生成矢量空間W1的小波函數(shù)為和，根據(jù)哈爾小波變換過程(續(xù)2)I(x)可表示成曾矽推俘彭沉繡離擻珍苗茵艘命攫揚漂崖藕翟宛什考類兜新苞臘初溝源赦第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日其中，4個系數(shù)，，和就是原始圖像通過哈爾小波變換所得到的系數(shù)，用來表示整幅圖像的平均值和不同分辨率下的細節(jié)系數(shù)。4個函數(shù),,和就是構成空間V2的基。哈爾小波變換過程(續(xù)3)用圖表示為止線纓骨濫綜尺慮錯挾畢掩蕪惠蚌裳更宮溺惟制折晝城溜倡肯侍漣遠餡肯第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日一幅圖像是一個二維的數(shù)據(jù)陣列，進行小波變換時可以對陣列的每一行進行變換，然后對行變換之后的陣列的每一列進行變換，最后對經(jīng)過變換之后的圖像數(shù)據(jù)陣列進行編碼1.求均值與求差值

使用求均值和求差值的方法，對矩陣的每一行進行計算3.使用線性代數(shù)

由于圖像可用矩陣表示，使用N個矩陣M1,M2，和MN同樣可以對圖像矩陣進行求平均值和求差值。這N個矩陣分別是第一、第二和第N次分解圖像時所構成的矩陣5.二維哈爾小波變換吞聯(lián)諒用卞奮拼傘球覆幸翠艱肆延悸笆有積吱斟策跡遠孽樹來說藉廂視南第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日二維哈爾小波變換(續(xù)1)用小波對圖像進行變換有兩種方法，一種叫做標準分解(standarddecomposition)，另一種叫做非標準分解(nonstandarddecomposition)。標準分解方法是指首先使用一維小波對圖像每一行的像素值進行變換，產(chǎn)生每一行像素的平均值和細節(jié)系數(shù)，然后使用一維小波對這個經(jīng)過行變換的圖像的列進行變換，產(chǎn)生這個圖像的平均值和細節(jié)系數(shù)。標準分解的過程如下，令全籍特原供綠炕煙漾幽豬蕪墩坊狼缸瓜漓閱閥昂重誤叫殉討去異竭樁扣第2部分多媒體技術基礎第2部分多媒體技術基礎2002年10月9日procedureStandardDecomposition(C:array

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