第八章立體幾何初步8.5.2直線與平面平行空間直線與平面的位置關(guān)系有哪幾種?αaAαaαa直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行復(fù)習(xí)引入在直線與平面的位置關(guān)系中，平行是一種非常重要的關(guān)系.它不僅應(yīng)用廣泛，而且是學(xué)習(xí)平面與平面平行的基礎(chǔ).為了美化城市，許多城市實(shí)施“景觀工程”，對(duì)現(xiàn)有平頂房進(jìn)行“平改坡”，將平頂改成尖頂，并鋪上彩色瓦片.如圖，工人們?cè)谑┕r(shí)，是如何確保尖頂屋脊EF與平頂ABCD平行的呢？今天就讓我們來探究一下吧！問題

根據(jù)定義，直線與平面平行是指直線與平面沒有公共點(diǎn)．直接用定義去判斷直線和平面平行與否是否方便？為什么？由于直線的無限延伸和平面的無限延展，以致很難直接判斷直線與平面是否有公共點(diǎn)．平面可以看作是直線“編織”而成的“直線網(wǎng)”，因而直線a與平面α沒有公共點(diǎn)等價(jià)于直線a和平面α內(nèi)的任意直線都沒有交點(diǎn)．但我們也不可能逐一檢驗(yàn)平面α內(nèi)的每條直線．問題

我們能否通過檢驗(yàn)平面α內(nèi)較少條數(shù)的直線與平面α外的直線的位置關(guān)系來達(dá)到目的？如果可以，可以減少到幾條？我們先從一條直線開始．設(shè)b是平面α內(nèi)的一條直線，若b與a無交點(diǎn)，能推出a//α嗎？b與a異面αbab與a平行αba如上圖，當(dāng)直線b在平面α內(nèi)，且b//a時(shí)，“直觀感覺”此時(shí)a//α．你能用一些生活中的實(shí)例來加以佐證嗎？b與a平行αba直觀感知1門扇的兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，另一邊與墻面有公共點(diǎn)嗎？此時(shí)門扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與墻面平行嗎？abα在門扇的旋轉(zhuǎn)過程中:直線a在門框所在的平面α外直線b在門框所在的平面α內(nèi)

直線a與b始終是平行的推出：直線a與平面α沒有公共點(diǎn)，直線a與平面α平行新課導(dǎo)入沒有公共點(diǎn)，因此平行直觀感知2將一塊矩形硬紙板ABCD平放在桌面上，把這塊紙板繞邊DC轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中（AB離開桌面），DC的對(duì)邊AB與桌面有公共點(diǎn)嗎？邊AB與桌面平行嗎？在硬紙板轉(zhuǎn)動(dòng)過程中:直線AB在桌面所在的平面外直線CD在桌面所在的平面內(nèi)直線AB與CD始終是平行的推出：邊AB與桌面沒有公共點(diǎn)，邊AB與桌面平行

總結(jié)：平面外的一條直線不管怎么移動(dòng)，只要保證直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線就不會(huì)與平面有公共點(diǎn)，即直線與平面平行。1.文字語言：

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。2.圖形語言：3.符號(hào)語言：abα三者缺一不可！直線與平面平行的判定定理新課講授

直線與平面平行的判定定理告訴我們，欲證直線與平面平行，可通過證明直線間的平行來實(shí)現(xiàn)，這里蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)思想？線線平行線面平行推出空間問題平面問題轉(zhuǎn)化直線與平面平行的判定定理簡述為：線線平行

線面平行例2求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過另外兩邊的平面.已知：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn).求證：EF//平面BCD.BCADEF證明：今后要證明一條直線與一個(gè)平面平行，只要在這個(gè)平面內(nèi)找出一條與此直線平行的直線就可以了.【變式】在空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若，則EF與平面BCD的位置關(guān)系是

．ABCDEFEF//平面BCD追問2什么條件下，α內(nèi)的直線與a平行呢？問題根據(jù)前述判定定理，我們已經(jīng)研究了直線與平面平行的充分條件．下面我們將研究已知直線與平面平行，可以得到什么結(jié)論．追問1

若直線a與平面α平行，則a與α內(nèi)的任意一條直線是什么位置關(guān)系？abαabαa與b平行a與b異面

假設(shè)a與α內(nèi)的直線b平行，那么由基本事實(shí)的推論3,過直線a、b有唯一的平面β.這樣，我們可以把直線b看成是過直線a的平面β與平面α的交線.于是可得如下結(jié)論：

過直線a的平面β與平面α相交于b，則a//b.下面，我們來證明這一結(jié)論.1.文字語言：一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。作用：判定直線與直線平行的重要依據(jù)。關(guān)鍵：尋找平面與平面的交線。直線與平面平行的性質(zhì)定理簡述為：線面平行

線線平行2.圖形語言：3.符號(hào)語言：

α

mβlab例3如右圖的一塊木料中，棱BC平行面A'C'.(1)

要經(jīng)過面A'C'內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開,在木料表面應(yīng)該怎樣畫線?

(2)

所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系?解：(1)如右圖，在平面A'C內(nèi)，過點(diǎn)P作直線EF，使EF//B'C'，并分別交棱A'B',D'C'

于點(diǎn)E,F.連接BE,CF,則EF,BE,CF就是應(yīng)畫的線.(2)∵BC//平面A'C',平面BC'∩平面A'C'=B'C',∴BC//B'C'.由(1)知，EF//B'C'，∴EF//BC.

而BC在平面AC內(nèi)，EF

在平面AC外，

∴EF//平面AC，

顯然BE,CF都與平面AC相交.

練習(xí)－－－－－－－

－－－教材138頁1.如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，

(1)與AB平行的平面是_________________________；

(2)與AA'平行的平面是_________________________；

(3)與AD平行的平面是__________________________.平面A'B'C'D'，平面CDD'C'2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由.解：BD1//平面AEC.理由如下：連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接EO.∵點(diǎn)E，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，BDCA'B'C'D'A平面BCC′B'，平面CDD'C'平面A'B'C'D'，平面BCC′B'∴BD1//EO，∴BD1//平面AEC.又BD1

平面AEC，BD1?平面AEC，找中位線o

練習(xí)－－－－－－－

－－－教材139頁3.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”.(1)如果直線a//b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面.()

(2)如果直線a和平面α滿足a//α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行.()

(3)如果直線a，b和平面α滿足a//α，b//α，那么a//b.()

(4)如果直線a，b和平面α滿足a//b，a//α，b

α，那么b//α.()√×××

練習(xí)－－－－－－－

－－－教材139頁證明：4.如圖，α∩β=