必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01如圖是工廠生產(chǎn)的各種金屬零件，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域的各個(gè)方面．問題：(1)如果已知制作零件的金屬的密度，如何求出這些零件的質(zhì)量？(2)如圖所示的零件都是旋轉(zhuǎn)體，其側(cè)面都是曲面，如何求其表面積？知識(shí)點(diǎn)1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱底面積：S底＝______側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝__________圓錐底面積：S底＝____側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝_________πr22πrl＋2πr2πr2πrl＋πr2圓臺(tái)上底面面積：S上底＝_____下底面面積：S下底＝____側(cè)面積：S側(cè)＝___________表面積：S＝_________________πr′2πr2πl(wèi)(r＋r′)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)[提示]

如圖所示．S圓柱＝2πr(r＋l)

S圓臺(tái)＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)S圓錐＝πr(r＋l)思考

圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？

1．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是3和4，母線長為6，則其表面積等于______．67π

[S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝π(9＋16＋18＋24)＝67π．]67π2．已知圓錐的底面半徑為2，高為5，則這個(gè)圓錐的體積為______．

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積類型2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積類型3組合體的表面積與體積類型1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積【例1】

(1)將一個(gè)邊長分別為4π，8π的矩形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，則這個(gè)圓柱(包含上、下底面)的表面積是_________________．32π2＋8π或32π2＋32π

[當(dāng)?shù)酌鎴A的周長為8π時(shí)，半徑r＝4，∴上、下底面面積和為2×π×42＝32π，側(cè)面積為4π×8π＝32π2，∴圓柱的表面積為32π2＋32π．同理可得當(dāng)?shù)酌鎴A的周長為4π時(shí)，圓柱的表面積為32π2＋8π．]32π2＋8π或32π2＋32π(2)(源自北師大版教材例題)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的側(cè)面積是多少？(結(jié)果中保留π)[解]

如圖，設(shè)圓臺(tái)上底面周長為ccm．因?yàn)閳A環(huán)的圓心角是180°，所以c＝π·SA．又因?yàn)閏＝2π×10＝20π(cm)，所以SA＝20cm．同理SB＝40cm．所以AB＝SB－SA＝20(cm)，S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)·AB＝π(10＋20)×20＝600π(cm2)．因此，圓臺(tái)的側(cè)面積為600πcm2．反思領(lǐng)悟

解決圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積問題，要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖，借助于平面幾何知識(shí)，求得所需幾何要素，代入公式求解即可．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．若圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°，則圓錐的表面積是底面積的(

)A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍

√類型2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積【例2】

(1)如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為______．

10π(2)已知一圓臺(tái)上底面半徑為2，下底面的半徑為3，截得此圓臺(tái)的圓錐的高為6，則此圓臺(tái)的體積為______．

反思領(lǐng)悟

求圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積的關(guān)鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形中列出方程并求解．

√

類型3組合體的表面積與體積【例3】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．

反思領(lǐng)悟

求組合體的表面積和體積，首先要認(rèn)清組合體是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的．組合體的表面積是可見的圍成組合體的所有面的面積之和，但不一定是組成組合體的幾個(gè)簡單幾何體的表面積之和；組合體的體積是構(gòu)成組合體的幾個(gè)簡單幾何體的體積之和(差)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖所示，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，H，G分別是BD，CD的中點(diǎn)，若將正三角形ABC繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)180°，求陰影部分形成的幾何體的表面積．

學(xué)習(xí)