必備知識·情境導學探新知01觀察下面兩個圖形．問題：(1)教室內的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側所在的直線的位置關系是什么？(2)六角螺母中直線AB與CD的位置關系是什么？CD與BE的位置關系是什么？知識點1異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線________所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍是____________．思考1．在異面直線所成角的定義中，角的大小與點O的位置有關系嗎？[提示]

根據(jù)等角定理可知，異面直線所成角的大小與點O的位置無關.a′與b′0°≤α≤90°知識點2兩條異面直線垂直(1)定義：如果兩條異面直線所成的角是____，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．(2)表示：直線a與直線b垂直，記作_____．思考2．兩條直線垂直，一定相交嗎？[提示]

不一定．當兩條異面直線所成的角為90°時，兩條異面直線垂直，但不一定相交．直角a⊥b1．已知正方體ABCD-EFGH，則AH與FG所成的角是________．45°

[如圖，連接BG，則BG∥AH，所以∠BGF為異面直線AH與FG所成的角.因為四邊形BCGF為正方形，所以∠BGF＝45°.]2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是A1D1和BC的中點，則在長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有________條．2

[長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有AD，B1C1，共2條．]45°2關鍵能力·合作探究釋疑難02類型1異面直線所成的角類型2直線與直線垂直的證明類型1異面直線所成的角【例1】如圖，空間四邊形ABCD的各個棱長都相等，E為BC的中點，求異面直線AE與CD所成角的余弦值．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

求異面直線所成角的一般步驟“一作”即過空間一點作兩條異面直線的______，而空間一點一般取在兩異面直線中的一條上，特別是某些特殊點處，例如“端點”或“中點”處．

“二求”即通過解三角形，計算所作的角的大小．“三結論”即假如所構造的角的大小為α，若0°＜α≤90°，則α即為所求異面直線所成角的大?。蝗?0°＜α＜180°，則________即為所求．平行線180°－α

類型2直線與直線垂直的證明【例2】如圖，正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點，求證：DB1⊥EF.[解]法一：如圖，連接A1C1，B1D1，設交點為O，取DD1的中點G，連接OG，GA1，GC1．

則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點，∴GO⊥A1C1．∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，∴DB1⊥EF.

法三：如圖，在原正方體的右側補上一個全等的正方體，連接B1Q，DQ，則B1Q∥EF.于是，直線DB1與B1Q所成的角就是異面直線DB1與EF所成的角或其補角．通過計算，不難得到B1D2＋B1Q2＝DQ2，從而異面直線DB1與EF所成的角為90°，所以DB1⊥EF.反思領悟

證明兩條直線垂直的策略(1)對于共面垂直的兩條直線的證明，可根據(jù)勾股定理證明．(2)對于異面垂直的兩條直線的證明，可轉化為求兩條異面直線所成的角為90°來證明．

學習效果·課堂評估夯基礎0312341．(多選)如果空間兩條直線互相垂直，那么它們可能是(

)A．相交直線 B．異面直線C．共面直線

D．平行直線√ABC

[由平面幾何知識和異面垂直的定義可知，互相垂直的兩條直線可垂直相交或異面垂直，故選ABC.]√√1234√2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于(

)A．45°

B．60°

C．90°

D．120°B

[取A1B1中點I