專項(xiàng)突破六?解析幾何解答題專題六突破1圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題必備知識(shí)?精要梳理1.圓錐曲線中常見的求范圍問題的方法求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù),通過求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍.在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的已知條件,把需要的量都用已選用的變量表示.有時(shí)為了運(yùn)算的方便,在建立關(guān)系的過程中也可以采用多個(gè)變量,只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可.誤區(qū)警示在求函數(shù)的值域時(shí),一定要特別注意變量的取值范圍.2.圓錐曲線中常見的最值問題及解題方法(1)兩類最值問題:①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)與之相關(guān)的一些問題.(2)兩種常見解法:①幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;②代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值最值常用基本不等式法、配方法或?qū)?shù)法解決

3.圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類一類是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系,如:某點(diǎn)在某條直線上、某條直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等;另一類是證明直線與圓錐曲線中的一些相等或不等的數(shù)量關(guān)系.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破考向一

圓錐曲線中線段長(zhǎng)度、三角形面積的最值或范圍問題[例1]已知橢圓E:

=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F1的距離的最小值為

-1,以橢圓E的短軸為直徑的圓過點(diǎn)(2,0).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過F2的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),過F1的直線交橢圓E于C,D兩點(diǎn),且AB⊥CD,求四邊形ACBD面積的取值范圍.③當(dāng)AB和CD都不與x軸垂直時(shí),直線AB斜率存在且不為0,規(guī)律方法目標(biāo)函數(shù)法解圓錐曲線有關(guān)最值問題的解題模型

精典對(duì)練·得高分(2021·全國(guó)乙,理21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p;(2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求△PAB面積的最大值.設(shè)直線lAB:y=kx+b,聯(lián)立拋物線方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,Δ=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,∴P(2k,-b).一題多解·練思維已知點(diǎn)A(0,-3),B(0,3),動(dòng)點(diǎn)M滿足直線AM與BM的斜率之積為-,記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;(2)經(jīng)過點(diǎn)D(0,1)的直線l與C相交于P,Q兩點(diǎn),求|AP|·|AQ|的最大值.曲線C是中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,不含上、下兩個(gè)頂點(diǎn).(2)解法1設(shè)P(x1,y1),由(1)可知AP,AQ不垂直于x軸,點(diǎn)評(píng)此題為直線和橢圓的位置關(guān)系問題,解題思路一般有以下兩種:(1)從一條直線出發(fā),可設(shè)直線l,與橢圓聯(lián)立,表示出根與系數(shù)的關(guān)系,然后用弦長(zhǎng)公式表示|AP|,|AQ|,代入計(jì)算;(2)從兩條直線出發(fā),分別設(shè)直線AP,AQ,設(shè)而不求,利用三點(diǎn)共線找關(guān)系再計(jì)算.考向二

圓錐曲線中幾何量或某個(gè)參數(shù)的范圍、最值問題探究提高圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新的參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.精典對(duì)練·得高分如圖,已知拋物線C:y2=x和☉M:(x-4)2+y2=1,過拋物線C上一點(diǎn)H(x0,y0)(y0≥1)作兩條直線與☉M相切于A,B兩點(diǎn),分別交拋物線于E,F兩點(diǎn).(1)當(dāng)∠AHB的角平分線垂直于x軸時(shí),求直線EF的斜率;(2)若直線AB在y軸上的截距為t,求t的最小值.解

(1)拋物線C:y2=x和☉M:(x-4)2+y2=1,則M(4,0),當(dāng)∠AHB的角平分線垂直于x軸時(shí),可知點(diǎn)H(4,2),且滿足kHE=-kHF.設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),易錯(cuò)防范·不丟分已知雙曲線x2-=1,斜率為k(k≠0)的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn).(1)若直線l過點(diǎn)P(0,1),且PB=3AP,求直線l的斜率k;(2)若線段AB的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍.易錯(cuò)點(diǎn)評(píng)求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題時(shí),經(jīng)常需要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,消去一個(gè)未知量后,利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化解答.此時(shí)一定要滿足直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故不要忽略判別式Δ>0,否則可能導(dǎo)致錯(cuò)解.考向三

圓錐曲線中的證明問題

精典對(duì)練·得高分如圖,已知點(diǎn)F為橢圓C:

+y2=1的左焦點(diǎn),記點(diǎn)P到直線l:x=-2的距離為d,且d=|PF|.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.(2)過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PA,PB,設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),連接AF,BF.求證:①直線PA的方程為x1x+2y1y-2=0;②AF⊥FB.數(shù)學(xué)思想·擴(kuò)思路函數(shù)與方程思想如圖,已知C1:(x-1)2+(y+1)2=和拋物線C2:x2=4y,P(x0,y0)是圓C1上一點(diǎn),M是拋物線C2上一點(diǎn),F是拋物線C2的焦點(diǎn).(1)當(dāng)直線PM與圓C1相切,且|PM|=|FM|時(shí),求x0的值;(2)過P作拋物線C2的兩條切線PA,PB,A,B分別為切點(diǎn),求證:存在兩個(gè)x0,使得△PAB面積等于突破2圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、探索性問題必備知識(shí)?精要梳理1.圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法:引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再通過研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系來找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法:根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式,化簡(jiǎn)即可得出定值.(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得.(3)求某線段長(zhǎng)度為定值.利用長(zhǎng)度公式求得解析式,再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形求得.3.解決存在性問題的注意事項(xiàng)存在性問題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確則存在,若結(jié)論不正確則不存在.(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論.(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件.(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時(shí),要開放思維,采取另外合適的方法.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破考向一

圓錐曲線中的定值問題

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;(2)當(dāng)x≥0時(shí),記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,過原點(diǎn)且斜率大于零的直線l交曲線C于點(diǎn)P(異于原點(diǎn)O),過點(diǎn)P作圓O':(x-1)2+y2=1的切線交C于另一點(diǎn)Q,證明:|kOP-kOQ|為定值.當(dāng)x≥0時(shí),化簡(jiǎn)可得y2=2x(x≥0);當(dāng)x<0時(shí),y=0.所以曲線M的軌跡方程為y2=2x(x≥0)和y=0(x<0).(2)證明

設(shè)直線OP,OQ的斜率分別是k1,k2,當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí),其方程為x=2,解得P(2,2),Q(2,-2),k1=1,k2=-1,則|k1-k2|=2.當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)方程為y=mx+b,由題意知m≠0,b≠0,解題心得圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(詳見第126頁第2條).精典對(duì)練·得高分已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的虛軸長(zhǎng)為4,直線2x-y=0為雙曲線C的一條漸近線.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)T(2,0)的直線l,與雙曲線交于兩點(diǎn)M,N,直線MA交y軸于點(diǎn)P,直線NB交y軸于點(diǎn)Q,記△PAT的面積為S1,△QBT的面積為S2,求證:為定值.一題多解·練思維

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若A,B,C為橢圓E上的3個(gè)動(dòng)點(diǎn),且△ABC的重心是O(0,0),求證:△ABC的面積為定值,并求這個(gè)定值.(2)解法1:設(shè)A(m,n),B(x1,y1),C(x2,y2),因?yàn)椤鰽BC的重心是O(0,0),所以x1+x2=-m,y1+y2=-n.又因?yàn)锳(m,n),B(x1,y1),C(x2,y2)為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn),解法2:設(shè)A(m,n),B(x1,y1),C(x2,y2),因?yàn)椤鰽BC的重心是O(0,0),所以x1+x2=-m,y1+y2=-n,當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí),設(shè)直線BC的方程為y=kx+p,考向二

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題

即NP⊥NQ,以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)N(0,-1).綜上所述,以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)N(0,-1).規(guī)律方法解圓錐曲線中定點(diǎn)問題的常用方法(1)“特殊探路,一般證明”:即先通過特殊情況確定定點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明;(2)“一般推理,特殊求解”:即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù),建立一個(gè)直線系或曲線方程,再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組,以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn);(3)求證直線過定點(diǎn)(x0,y0),常利用直線的點(diǎn)斜式方程y-y0=k(x-x0)或斜截式y(tǒng)=kx+b來證明.精典對(duì)練·得高分在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C上不同的兩點(diǎn)M,N同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè):①|(zhì)FM|+|FN|=|MN|;②|OM|=|ON|=|MN|=8;③直線MN的方程為y=6p.(1)請(qǐng)分析說明兩點(diǎn)M,N滿足的是哪兩個(gè)條件?并求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;所以kOG=kOZ,所以O(shè),G,Z共線,所以直線OZ經(jīng)過線段AB的中點(diǎn).易錯(cuò)防范·不丟分已知A,B,C分別為橢圓C1:

+y2=1(a>1)的左、右、上頂點(diǎn),F為拋物線C2:y2=2x的焦點(diǎn),AC⊥CF,P為拋物線C2的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),PA與橢圓C1的另一交點(diǎn)為M,PB與橢圓C1的另一交點(diǎn)為N.(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)證明:直線MN過定點(diǎn).代入①式,得(12-5m2)(n2-4)+10m2n(n+2)-5(n+2)2(m2+4)=0,解得n=-2(舍去)或n=-8.故直線MN的方程為x=my-8,即直線MN過定點(diǎn)(-8,0).若t=0,則直線MN的方程為y=0,直線MN過點(diǎn)(-8,0).綜上,直線MN過定點(diǎn)(-8,0).易錯(cuò)警示此類問題要避免三個(gè)方面的錯(cuò)誤:(1)忽視對(duì)直線MN的斜率為0的情況的討論.這也是直線與圓錐曲線綜合問題中設(shè)直線方程時(shí)需要注意的一點(diǎn).(2)運(yùn)算方向不明確,未考慮整體代入,或運(yùn)算出錯(cuò).(3)未利用曲線的范圍挖掘隱含條件導(dǎo)致增解.考向三

圓錐曲線中的存在探究性問題

規(guī)律方法有關(guān)存在性問題的求解策略(1)存在性問題通常采用“順推法”,將不確定的問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在并設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組),若方程(組)有實(shí)數(shù)解,則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在;否則,元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題的常用方法.(3)解決存在性問題時(shí)要注意解題的規(guī)范性,一般先作出結(jié)論,后給出證明(理由).精典對(duì)練·得高分已知拋物線C:x2=2py(p>0)上的點(diǎn)到點(diǎn)A(0,p)的距離的最小值為2.(1)求C的方程;(2)若點(diǎn)F是C的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,l1與C交于M,N兩點(diǎn),l2與C交于P,Q兩點(diǎn),線段MN,PQ的中點(diǎn)分別是S,T,是否存在定圓使得直線ST截該圓所得的線段長(zhǎng)