北師大版《數學》（七年級上冊）知識點總結第一章豐富的圖形世界1、幾何圖形從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。2、點、線、面、體（1）幾何圖形的組成點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。體：幾何體也簡稱體。（2）點動成線，線動成面，面動成體。3、生活中的立體圖形圓柱柱生活中的立體圖形球棱柱：三棱柱、四棱柱（長方體、正方體）、五棱柱、……(按名稱分)錐圓錐棱錐4、棱柱及其有關概念：棱：在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線，都叫做棱。側棱：相鄰兩個側面的交線叫做側棱。n棱柱有兩個底面，n個側面，共（n+2）個面；3n條棱，n條側棱；2n個頂點。5、正方體的平面展開圖：11種6、截一個正方體：用一個平面去截一個正方體，截出的面可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形。7、三視圖物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。8、多邊形：由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形，叫做多邊形。從一個n邊形的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個n邊形分割成（n-2）個三角形?；。簣A上A、B兩點之間的部分叫做弧。扇形：由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。第二章有理數及其運算1、有理數的分類 正有理數有理數零有限小數和無限循環(huán)小數負有理數或整數有理數分數2、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零3、數軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。解題時要真正掌握數形結合的思想，并能靈活運用。4、倒數：如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。5、絕對值：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。（|a|≥0）。零的絕對值時它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。6、有理數比較大?。赫龜荡笥诹?，負數小于零，正數大于一切負數；數軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大；兩個負數，絕對值大的反而小。7、有理數的運算：（1）五種運算：加、減、乘、除、乘方（2）有理數的運算順序先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。（3）運算律加法交換律加法結合律乘法交換律乘法結合律乘法對加法的分配律字母表示數1、代數式用運算符號把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或一個字母也是代數式。2、同類項所有字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。幾個常數項也是同類項。3、合并同類項法則：把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變。4、去括號法則（1）括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號去掉后，原括號里各項的符號都不改變。（2）括號前是“﹣”，把括號和它前面的“﹣”號去掉后，原括號里各項的符號都要改變。5、整式的運算：整式的加減法：（1）去括號；（2）合并同類項。第四章平面圖形及其位置關系1、線段：繃緊的琴弦，人行橫道線都可以近似的看做線段。線段有兩個端點。2、射線：將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線有一個端點。3、直線：將線段向兩個方向無限延長就形成了直線。直線沒有端點。4、點、直線、射線和線段的表示在幾何里，我們常用字母表示圖形。一個點可以用一個大寫字母表示。一條直線可以用一個小寫字母表示或用直線上兩個點的大寫字母表示。一條射線可以用一個小寫字母表示或用端點和射線上另一點來表示（端點字母寫在前面）。一條線段可以用一個小寫字母表示或用它的端點的兩個大寫字母來表示。5、點和直線的位置關系有兩種：①點在直線上，或者說直線經過這個點。②點在直線外，或者說直線不經過這個點。6、直線的性質（1）直線公理：經過兩個點有且只有一條直線。（2）過一點的直線有無數條。（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。（4）直線上有無窮多個點。（5）兩條不同的直線至多有一個公共點。7、線段的性質（1）線段公理：兩點之間的所有連線中，線段最短。（2）兩點之間的距離：兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。（3）線段的中點到兩端點的距離相等。（4）線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的。8、線段的中點：點M把線段AB分成相等的兩條相等的線段AM與BM，點M叫做線段AB的中點。9、角：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點，這兩條射線叫做這個角的邊?；颍航且部梢钥闯墒且粭l射線繞著它的端點旋轉而成的。10、平角和周角：一條射線繞著它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所形成的角叫做平角。終邊繼續(xù)旋轉，當它又和始邊重合時，所形成的角叫做周角。11、角的表示角的表示方法有以下四種：①用數字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等。④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側。12、角的度量角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。1°=60’，113、角的性質（1）角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關。（2）角的大小可以度量，可以比較（3）角可以參與運算。14、角的平分線從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。15、平行線：在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號“∥”表示，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。注意：（1）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。（2）當遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。16、平行線公理及其推論平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。補充平行線的判定方法：（1）平行于同一條直線的兩直線平行。（2）在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行。（3）平行線的定義。17、垂直：兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。18、垂線的性質：性質1：平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。性質2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。19、點到直線的距離：過A點作l的垂線，垂足為B點，線段AB的長度叫做點A到直線l的距離。20、同一平面內，兩條直線的位置關系：相交或平行。第五章一元一次方程1、方程含有未知數的等式叫做方程。2、方程的解能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。3、等式的性質（1）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個代數式，所得結果仍是等式。（2）等式的兩邊同時乘以同一個數（（或除以同一個不為0的數），所得結果仍是等式。4、一元一次方程只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1的整式方程叫做一元一次方程。5、解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項（把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫移項。）（4）合并同類項（5）將未知數的系數化為1第六章生活中的數據1、科學記數法一般地，一個大于10的數可以表示成的形式，其中，n是正整數，這種記數方法叫做科學記數法。2、扇形統計圖及其畫法扇形統計圖：利用圓與扇形來表示總體與部分的關系，即圓代表總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統計圖叫做扇形統計圖。畫法：（1）計算不同部分占總體的百分比（在扇形中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數與360的比）。（2）計算各個扇形的圓心角（頂點在圓心的角叫做圓心角）的度數。（3）在圓中畫出各個扇形，并標上百分比。3、各種統計圖的優(yōu)缺點條形統計圖：能清楚地表示出每個項目的具體數目。折線統計圖：能清楚地反映事物的變化情況。扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比?？赡苄?、確定事件和不確定事件(1)、確定事件必然事件：生活中，有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生，這些事情稱為必然事件。不可能事件：有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件。(2)、不確定事件：有些事情我們事先無法肯定它會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件(3)、必然事件確定事件事件不可能事件不確定事件2、不確定事件發(fā)生的可能性一般地，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。必然事件發(fā)生的可能性是1不可能事件發(fā)生的可能性是0北七下知識要點分章梳理第一章：整式的運算 單項式 整式 多項式整式的運算 同底數冪的乘法整式的運算 冪的乘方 積的乘方 冪運算 同底數冪的除法 零指數冪 負指數冪 整式的加減 單項式與單項式相乘 單項式與多項式相乘 整式的乘法 多項式與多項式相乘 整式運算 平方差公式 完全平方公式 單項式除以單項式 整式的除法 多項式除以單項式一、單項式1、都是數字與字母的乘積的代數式叫做單項式。2、單項式的數字因數叫做單項式的系數。3、單項式中所有字母的指數和叫做單項式的次數。4、單獨一個數或一個字母也是單項式。5、只含有字母因式的單項式的系數是1或―1。6、單獨的一個數字是單項式，它的系數是它本身。7、單獨的一個非零常數的次數是0。8、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。9、單項式的系數包括它前面的符號。10、單項式的系數是帶分數時，應化成假分數。11、單項式的系數是1或―1時，通常省略數字“1”二、多項式1、幾個單項式的和叫做多項式。2、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。3、多項式中不含字母的項叫做常數項。4、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。5、多項式的每一項都包括項前面的符號。6、多項式沒有系數的概念，但有次數的概念。7、多項式中次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數。三、整式1、單項式和多項式統稱為整式。2、單項式或多項式都是整式。3、整式不一定是單項式。4、整式不一定是多項式。5、分母中含有字母的代數式不是整式；而是今后將要學習的分式。四、整式的加減1、整式加減的理論根據是：去括號法則，合并同類項法則，以及乘法分配率。2、幾個整式相加減，關鍵是正確地運用去括號法則，然后準確合并同類項。3、幾個整式相加減的一般步驟：（1）列出代數式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。（2）按去括號法則去括號。（3）合并同類項。4、代數式求值的一般步驟：（1）代數式化簡。（2）代入計算（3）對于某些特殊的代數式，可采用“整體代入”進行計算。五、同底數冪的乘法1、n個相同因式（或因數）a相乘，記作an，讀作a的n次方（冪），其中a為底數，n為指數，an的結果叫做冪。2、底數相同的冪叫做同底數冪。3、同底數冪乘法的運算法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。即：am﹒an=am+n。4、此法則也可以逆用，即：am+n=am﹒an。5、開始底數不相同的冪的乘法，如果可以化成底數相同的冪的乘法，先化成同底數冪再運用法則。六、冪的乘方1、冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。（am）n表示n個am相乘。2、冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘。（am）n=amn。3、此法則也可以逆用，即：amn=（am）n=（an）m。七、積的乘方1、積的乘方是指底數是乘積形式的乘方。2、積的乘方運算法則：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，然后把所得的冪相乘。即（ab）n=anbn。3、此法則也可以逆用，即：anbn=（ab）n。八、三種“冪的運算法則”異同點1、共同點：（1）法則中的底數不變，只對指數做運算。（2）法則中的底數（不為零）和指數具有普遍性，即可以是數，也可以是式（單項式或多項式）。（3）對于含有3個或3個以上的運算，法則仍然成立。2、不同點：（1）同底數冪相乘是指數相加。（2）冪的乘方是指數相乘。（3）積的乘方是每個因式分別乘方，再將結果相乘。九、同底數冪的除法1、同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即：am÷an=am-n（a≠0）。2、此法則也可以逆用，即：am-n=am÷an（a≠0）。十、零指數冪1、零指數冪的意義：任何不等于0的數的0次冪都等于1，即：a0=1（a≠0）。十一、負指數冪1、任何不等于零的數的―p次冪，等于這個數的p次冪的倒數，即：注：在同底數冪的除法、零指數冪、負指數冪中底數不為0。十二、整式的乘法（一）單項式與單項式相乘1、單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。2、系數相乘時，注意符號。3、相同字母的冪相乘時，底數不變，指數相加。4、對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數一起寫在積里，作為積的因式。5、單項式乘以單項式的結果仍是單項式。6、單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用。（二）單項式與多項式相乘1、單項式與多項式乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據分配率用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。2、運算時注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。3、積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同。4、混合運算中，注意運算順序，結果有同類項時要合并同類項，從而得到最簡結果。（三）多項式與多項式相乘1、多項式與多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。2、多項式與多項式相乘，必須做到不重不漏。相乘時，要按一定的順序進行，即一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項。在未合并同類項之前，積的項數等于兩個多項式項數的積。3、多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應用“同號得正，異號得負”。4、運算結果中有同類項的要合并同類項。5、對于含有同一個字母的一次項系數是1的兩個一次二項式相乘時，可以運用下面的公式簡化運算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。十三、平方差公式1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方之差。2、平方差公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式。3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。4、平方差公式還能簡化兩數之積的運算，解這類題，首先看兩個數能否轉化成（a+b）?(a-b)的形式，然后看a2與b2是否容易計算。十四、完全平方公式1、即：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。2、公式中的a，b可以是單項式，也可以是多項式。3、掌握理解完全平方公式的變形公式：（1）（2）（3）4、完全平方式：我們把形如:的二次三項式稱作完全平方式。5、當計算較大數的平方時，利用完全平方公式可以簡化數的運算。6、完全平方公式可以逆用，即：十五、整式的除法（一）單項式除以單項式的法則1、單項式除以單項式的法則：一般地，單項式相除，把系數、同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式。2、根據法則可知，單項式相除與單項式相乘計算方法類似，也是分成系數、相同字母與不相同字母三部分分別進行考慮。（二）多項式除以單項式的法則1、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。用字母表示為：2、多項式除以單項式，注意多項式各項都包括前面的符號。第二章平行線與相交線 余角 余角補角 補角 角 兩線相交 對頂角平行線與相交線 同位角平行線與相交線 三線八角 內錯角 同旁內角 平行線的判定 平行線 平行線的性質 尺規(guī)作圖一、余角與補角1、如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱為互余，稱其中一個角是另一個角的余角。2、如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角，簡稱為互補，稱其中一個角是另一個角的補角。3、互余和互補是指兩角和為直角或兩角和為平角，它們只與角的度數有關，與角的位置無關。4、余角和補角的性質：同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等。5、余角和補角的性質用數學語言可表示為：（1）則(同角的余角（或補角）相等)。（2）且則(等角的余角（或補角）相等)。6、余角和補角的性質是證明兩角相等的一個重要方法。二、對頂角1、兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角是對頂角。2、一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。3、對頂角的性質：對頂角相等。4、對頂角的性質在今后的推理說明中應用非常廣泛，它是證明兩個角相等的依據及重要橋梁。5、對頂角是從位置上定義的，對頂角一定相等，但相等的角不一定是對頂角。三、同位角、內錯角、同旁內角1、兩條直線被第三條直線所截，形成了8個角。2、同位角：兩個角都在兩條直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫做同位角。3、內錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對角叫做內錯角。4、同旁內角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫同旁內角。5、這三種角只與位置有關，與大小無關，通常情況下，它們之間不存在固定的大小關系。四、六類角1、補角、余角、對頂角、同位角、內錯角、同旁內角六類角都是對兩角來說的。2、余角、補角只有數量上的關系，與其位置無關。3、同位角、內錯角、同旁內角只有位置上的關系，與其數量無關。4、對頂角既有數量關系，又有位置關系。五、平行線的判定方法1、同位角相等，兩直線平行。2、內錯角相等，兩直線平行。3、同旁內角互補，兩直線平行。4、在同一平面內，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。5、在同一平面內，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行。六、平行線的性質1、兩直線平行，同位角相等。2、兩直線平行，內錯角相等。3、兩直線平行，同旁內角互補。4、平行線的判定與性質具備互逆的特征，其關系如下：七、尺規(guī)作線段和角1、在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。2、尺規(guī)作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。3、尺規(guī)作圖中直尺的功能是：（1）在兩點間連接一條線段；（2）將線段向兩方延長。4、尺規(guī)作圖中圓規(guī)的功能是：（1）以任意一點為圓心，任意長為半徑作一個圓；（2）以任意一點為圓心，任意長為半徑畫一段?。?、熟練掌握以下作圖語言：（1）作射線××；（2）在射線上截取××=××；（3）在射線××上依次截取××=××=××；（4）以點×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點×；（5）分別以點×、點×為圓心，以××、××為半徑作弧，兩弧相交于點×；（6）過點×和點×畫直線××（或畫射線××）；（7）在∠×××的外部（或內部）畫∠×××=∠×××；6、在作較復雜圖形時，涉及基本作圖的地方，不必重復作圖的詳細過程，只用一句話概括敘述就可以了。（1）畫線段××=××；（2）畫∠×××=∠×××；第三章生活中的數據 單位換算 科學記數法 近似數 生活中的數據 精確數 有效數字 精確度 統計圖（象形統計圖）一、單位換算1、長度單位：（1）百萬分之一米又稱微米，即1微米=10-6米。（2）10億分之一米又稱納米，即1納米=10-9米。（3）1微米=103納米。（4）1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109納米。2、面積單位（1）10-6千米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米2=1012微米2=103、質量單位（1）1噸=103千克=二、科學計數法表示絕對值小于1的較小數據1、用科學計數法表示絕對值小于1的較小數據時，也可以表示為a×10n的形式，其中1≤〡a〡<10,n為負整數，n等于這個數的第一個不為零的數字前面所有零的個數（包括小數點前面的一個零）的相反數。三、近似數與精確數1、精確數是指一個物體或描述一事件的真實數值。2、近似數是指用測量或統計的方法、四舍五入、估計等得到的數。3、近似數產生的原因有：（1）由于測量工具和測量方法的局限性不可能得到物體的準確值；（2）有些事件也不可能或沒有必要得出它的精確值。4、近似數a的真值的范圍大于或等于a與它的最末位的半個單位的差而小于a與它的最末位的半個單位的和。例如近似數1.60的真值范圍為大于或等于1.595而小于1.605。四、有效數字1、對于一個近似數，從左邊第一個不為零的數字起，到精確到的數位為止，所有的數字都叫這個數的有效數字。2、對于科學計數法型的近似數，由a×10n（1≤〡a〡<10）中的a來確定，a的有效數字就是這個近似數的有效數字。與×10n無關。3、對帶有記數單位的近似數，由數字來確定，與單位無關。五、近似數的精確度1、近似數的精確度是近似數精確的程度。2、近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。3、精確度是由該近似數的最后一位有效數字在該數中所處的位置決定的。4、對于單獨一個近似數，根據最后一位有效數字在該數中所處的位置直接確定精確度。5、對用科學記數法表示的數應注意將其還原為原來的數后，再確定其精確度。6、對帶單位的近似數，也要還原為原來的數后再確定其精確度。7、對近似數進行取舍時需要注意一般形式與科學記數法形式。六、統計圖（表）1、條形統計圖：能清楚地表示出每個項目的具體數目。2、折線統計圖：能清楚地反映事物的變化情況。3、扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。4、象形統計圖：能直觀地反映數據之間的意義。5、從統計圖中獲取更多的有用信息，應做到以下幾步：（1）審清統計圖橫軸和縱軸代表的意義，若是象形統計圖則要看準每個形象圖標代表什么意義；（2）把各部分的數據找出來；（3）以圖中讀出的信息作為參考（已知），推測相關量的變化趨勢或規(guī)律；（4）對需要計算后回答的信息要準確地進行計算。6、制作象形統計圖（1）象形統計圖比一般的統計圖更直觀、更簡潔生動，極富有個性和情感，但準確性差一些。（2）制作象形統計圖沒有固定的格式，需要具有較強的想像力和創(chuàng)造力。（3）制作象形統計圖： 一是要明確制作的統計圖的特點； 二是要結合具體問題，分析數據特點和規(guī)律，通過設計簡明、直觀、形象的統計圖，加深對問題的理解。第四章概率 必然事件 事件 不可能事件 不確定事件 概率 等可能性 游戲的公平性 概率的定義 概率 幾何概率 設計概率模型一、事件1、事件分為必然事件、不可能事件、不確定事件。2、必然事件：事先就能肯定一定會發(fā)生的事件。也就是指該事件每次一定發(fā)生，不可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能是100%（或1）。3、不可能事件：事先就能肯定一定不會發(fā)生的事件。也就是指該事件每次都完全沒有機會發(fā)生，即發(fā)生的可能性為零。4、不確定事件：事先無法肯定會不會發(fā)生的事件，也就是說該事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能性在0和1之間。5、三種事件都是相對于事件發(fā)生的可能性來說的，若事件發(fā)生的可能性為100%，則為必然事件；若事件發(fā)生的可能性為0，則為不可能事件；若事件不一定發(fā)生，即發(fā)生的可能性在0∽1之間，則為不確定事件。6、簡單地說，必然事件是一定會發(fā)生的事件；不可能事件是絕對不可能發(fā)生的事件；不確定事件是指有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件。7、表示事件發(fā)生的可能性的方法通常有三種：（1）用語言敘述可能性的大小。（2）用圖例表示。（3）用概率表示。二、等可能性1、等可能性：是指幾種事件發(fā)生的可能性相等。2、游戲規(guī)則的公平性：就是看游戲雙方的結果是否具有等可能性。（1）首先要看游戲所出現的結果的兩種情況中有沒有必然事件或不可能事件，若有一個必然事件或不可能事件，則游戲是不公平的；（2）其次如果兩個事件都為不確定事件，則要看這兩個事件發(fā)生的可能性是否相同；即看雙方獲勝的可能性是否相同，只有雙方獲勝的可能性相同，游戲才是公平的。（3）游戲是否公平，并不一定是游戲結果的兩種情況發(fā)生的可能性都是二分之一，只要對游戲雙方獲勝的事件發(fā)生的可能性一樣即可。三、概率1、概率：是反映事件發(fā)生的可能性的大小的量，它是一個比例數，一般用P來表示，P（A）=事件A可能出現的結果數/所有可能出現的結果數。2、必然事件發(fā)生的概率為1，記作P（必然事件）=13、不可能事件發(fā)生的概率為0，記作P（不可能事件）=0；4、不確定事件發(fā)生的概率在0∽1之間，記作0<P（不確定事件）<1。5、概率是對“可能性”的定量描述，給人以更直接的感覺。6、概率并不提供確定無誤的結論，這是由不確定現象造成的。7、概率的計算：（1）直接數數法：即直接數出所有可能出現的結果的總數n，再數出事件A可能出現的結果數m，利用概率公式直接得出事件A的概率。（2）對于較復雜的題目，我們可采用“列表法”或畫“樹狀圖法”。四、幾何概率1、事件A發(fā)生的概率等于此事件A發(fā)生的可能結果所組成的面積（用SA表示）除以所有可能結果組成圖形的面積（用S全表示），所以幾何概率公式可表示為P（A）=SA/S全，這是因為事件發(fā)生在每個單位面積上的概率是相同的。2、求幾何概率：（1）首先分析事件所占的面積與總面積的關系；（2）然后計算出各部分的面積；（3）最后代入公式求出幾何概率。五、設計概率模型（游戲或事件）1、設計符合要求的簡單概率模型（游戲或事件）是對概率計算的逆向運用。2、設計通常分四步：（1）首先分析設計應符合什么條件；（2）其次確定選用什么圖形表示更合理；（3）然后再按一定要求和操作經驗來設計模型；（4）最后再通過計算或其他方法來驗證設計的模型是否符合條件。第五章三角形 三角形三邊關系 三角形 三角形內角和定理 角平分線 三條重要線段 中線 高線 全等圖形的概念 全等三角形的性質 SSS 三角形 SAS 全等三角形 全等三角形的判定 ASA AAS HL（適用于RtΔ） 全等三角形的應用 利用全等三角形測距離 作三角形一、三角形概念1、不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，稱為三角形，可以用符號“Δ”表示。2、頂點是A、B、C的三角形，記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”。3、組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，即邊AB、BC、AC，有時也用a，b，c來表示，頂點A所對的邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b，c來表示；4、∠A、∠B、∠C為ΔABC的三個內角。二、三角形中三邊的關系1、三邊關系： 三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。 用字母可表示為a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a。2、判斷三條線段a,b,c能否組成三角形：（1）當a+b>c,a+c>b,b+c>a同時成立時，能組成三角形；（2）當兩條較短線段之和大于最長線段時，則可以組成三角形。3、確定第三邊（未知邊）的取值范圍時，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即.三、三角形中三角的關系1、三角形內角和定理：三角形的三個內角的和等于1800。2、三角形按內角的大小可分為三類：（1）銳角三角形，即三角形的三個內角都是銳角的三角形；（2）直角三角形，即有一個內角是直角的三角形，我們通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。注：直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余。（3）鈍角三角形，即有一個內角是鈍角的三角形。3、判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數。4、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。5、任意一個三角形都具備六個元素，即三條邊和三個內角。都具有三邊關系和三內角之和為1800的性質。6、三角形內角和定理包含一個等式，它是我們列出有關角的方程的重要等量關系。四、三角形的三條重要線段1、三角形的三條重要線段是指三角形的角平分線、中線和高線。2、三角形的角平分線：（1）三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。（2）任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內一點。3、三角形的中線：（1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。（2）三角形有三條中線，它們相交于三角形內一點。4、三角形的高線：（1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。區(qū)別相同中線平分對邊三條中線交于三角形內部（1）都是線段（2）都從頂點畫出（3）所在直線相交于一點角平分線平分內角三條角平分線交于三角表內部高線垂直于對邊（或其延長線）銳角三角形：三條高線都在三角形內部直角三角形：其中兩條恰好是直角邊鈍角三角形：其中兩條在三角表外部五、全等圖形1、兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形。2、全等圖形的性質：全等圖形的形狀和大小都相同。3、全等圖形的面積或周長均相等。4、判斷兩個圖形是否全等時，形狀相同與大小相等兩者缺一不可。5、全等圖形在平移、旋轉、折疊過程中仍然全等。6、全等圖形中的對應角和對應線段都分別相等。六、全等分割1、把一個圖形分割成兩個或幾個全等圖形叫做把一個圖形全等分割。2、對一個圖形全等分割：（1）首先要觀察分析該圖形，發(fā)現圖形的構成特點；（2）其次要大膽嘗試，敢于動手，必要時可采用計算、交流、討論等方法完成。七、全等三角形1、能夠重合的兩個三角形是全等三角形，用符號“≌”連接，讀作“全等于”。2、用“≌”連接的兩個全等三角形，表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。3、全等三角形的性質：全等三角形的對應邊、對應角相等。這是今后證明邊、角相等的重要依據。4、兩個全等三角形，準確判定對應邊、對應角，即找準對應頂點是關鍵。八、全等三角形的判定1、三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。2、兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。3、兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS”。4、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。5、注意以下內容（1）三角形全等的判定條件中必須是三個元素，并且一定有一組邊對應相等。（2）三邊對應相等，兩邊及夾角對應相等，一邊及任意兩角對應相等，這樣的兩個三角形全等。（3）兩邊及其中一邊的對角對應相等不能判定兩三角形全等。6、熟練運用以下內容（1）熟練運用三角形判定條件，是解決此類題的關鍵。（2）已知“SS”，可考慮A：第三邊，即“SSS”；B：夾角，即“SAS”。（3）已知“SA”，可考慮A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夾角的另一邊，即“SAS”。（4）已知“AA”，可考慮A：任意一邊，即“AAS”或“ASA”。7、三角形的穩(wěn)定性：根據三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性。九、作三角形1、作圖題的一般步驟：（1）已知，即將條件具體化；（2）求作，即具體敘述所作圖形應滿足的條件；（3）分析，即尋找作圖方法的途徑（通常是畫出草圖）；（4）作法，即根據分析所得的作圖方法，作出正式圖形，并依次敘述作圖過程；（5）證明，即驗證所作圖形的正確性（通常省略不寫）。2、熟練以下三種三角形的作法及依據。（1）已知三角形的兩邊及其夾角，作三角形。（2）已知三角形的兩角及其夾邊，作三角形。（3）已知三角形的三邊，作三角形。十、利用三角形全等測距離1、利用三角形全等測距離，實際上是利用已有的全等三角形，或構造出全等三角形，運用全等三角形的性質（對應邊相等），把較難測量或無法測量的距離轉化成已知線段或較容易測量的線段的長度，從而得到被測距離。2、運用全等三角形解決實際問題的步驟：（1）先明確實際問題應該用哪些幾何知道解決；（2）根據實際問題抽象出幾何圖形；（3）結合圖形和題意分析已知條件；（4）找到解決問題的途徑。十一、直角三角形全等的條件1、在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。2、“HL”是直角三角形特有的判定條件，對非直角三角形是不成立的；3、書寫時要規(guī)范，即在三角形前面必須加上“Rt”字樣。十二、分析-綜合法1、我們在平時解幾何題時，采用的解題方法通常有兩種，綜合法與分析法。2、綜合法：從問題的條件出發(fā)，通過分析條件，依據所學知識，逐步探索，直到得出問題的結論。3、分析法：從問題的結論出發(fā)，不斷尋找使結論成立的條件，直至已知條件。4、在具體解題中，通常是兩種方法結合起來使用，既運用綜合法，又運用分析法。第六章變量之間的關系 自變量 變量的概念 因變量 變量之間的關系 表格法 關系式法 變量的表達方法 速度時間圖象 圖象法 路程時間圖象一、變量、自變量、因變量1、在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。2、如果一個變量y隨另一個變量x的變化而變化，則把x叫做自變量，y叫做因變量。3、自變量與因變量的確定：（1）自變量是先發(fā)生變化的量；因變量是后發(fā)生變化的量。（2）自變量是主動發(fā)生變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量。（3）利用具體情境來體會兩者的依存關系。二、表格1、表格是表達、反映數據的一種重要形式，從中獲取信息、研究不同量之間的關系。（1）首先要明確表格中所列的是哪兩個量；（2）分清哪一個量為自變量，哪一個量為因變量；（3）結合實際情境理解它們之間的關系。2、繪制表格表示兩個變量之間關系（1）列表時首先要確定各行、各列的欄目；（2）一般有兩行，第一行表示自變量，第二行表示因變量；（3）寫出欄目名稱，有時還根據問題內容寫上單位；（4）在第一行列出自變量的各個變化取值；第二行對應列出因變量的各個變化取值。（5）一般情況下，自變量的取值從左到右應按由小到大的順序排列，這樣便于反映因變量與自變量之間的關系。三、關系式1、用關系式表示因變量與自變量之間的關系時，通常是用含有自變量（用字母表示）的代數式表示因變量（也用字母表示），這樣的數學式子（等式）叫做關系式。2、關系式的寫法不同于方程，必須將因變量單獨寫在等號的左邊。3、求兩個變量之間關系式的途徑：（1）將自變量和因變量看作兩個未知數，根據題意列出關于未知數的方程，并最終寫成關系式的形式。（2）根據表格中所列的數據寫出變量之間的關系式；（3）根據實際問題中的基本數量關系寫出變量之間的關系式；（4）根據圖象寫出與之對應的變量之間的關系式。4、關系式的應用：（1）利用關系式能根據任何一個自變量的值求出相應的因變量的值；（2）同樣也可以根據任何一個因變量的值求出相應的自變量的值；（3）根據關系式求值的實質就是解一元一次方程（求自變量的值）或求代數式的值（求因變量的值）。四、圖象1、圖象是刻畫變量之間關系的又一重要方法，其特點是非常直觀、形象。2、圖象能清楚地反映出因變量隨自變量變化而變化的情況。3、用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸（又稱橫軸）上的點表示自變量，用豎直方向的數軸（又稱縱軸）上的點表示因變量。4、圖象上的點：（1）對于某個具體圖象上的點，過該點作橫軸的垂線，垂足的數據即為該點自變量的取值；（2）過該點作縱軸的垂線，垂足的數據即為該點相應因變量的值。（3）由自變量的值求對應的因變量的值時，可在橫軸上找到表示自變量的值的點，過這個點作橫軸的垂線與圖象交于某點，再過交點作縱軸的垂線，縱軸上垂足所表示的數據即為因變量的相應值。（4）把以上作垂線的過程過來可由因變量的值求得相應的自變量的值。5、圖象理解（1）理解圖象上某一個點的意義，一要看橫軸、縱軸分別表示哪個變量；（2）看該點所對應的橫軸、縱軸的位置（數據）（3）從圖象上還可以得到隨著自變量的變化，因變量的變化趨勢。五、速度圖象1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示速度，哪一條軸（通常是橫軸）表示時間；2、準確讀懂不同走向的線所表示的意義：（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表速度增加；（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表勻速行駛或靜止；（3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表速度減小。六、路程圖象1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示路程，哪一條軸（通常是橫軸）表示時間；2、準確讀懂不同走向的線所表示的意義：（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表勻速遠離起點（或已知定點）；（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表靜止；（3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表反向運動返回起點（或已知定點）。七、三種變量之間關系的表達方法與特點：表達方法特點表格法多個變量可以同時出現在同一張表格中關系式法準確地反映了因變量與自變量的數值關系圖象法直觀、形象地給出了因變量隨自變量的變化趨勢第七章 生活中的軸對稱 軸對稱圖形 軸對稱分類 軸對稱 角平分線 軸對稱實例 線段的垂直平分線 等腰三角形 等邊三角形生活中的軸對稱 軸對稱的性質 軸對稱的性質 鏡面對稱的性質 圖案設計 軸對稱的應用 鑲邊與剪紙一、軸對稱圖形1、如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。2、理解軸對稱圖形要抓住以下幾點：（1）指一個圖形；（2）存在一條直線（對稱軸）；（3）圖形被直線分成的兩部分互相重合；（4）軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的則存在多條；（5）線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對稱圖形；二、軸對稱1、對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸?？梢哉f成：這兩個圖形關于某條直線對稱。2、理解軸對稱應注意：（1）有兩個圖形；（2）沿某一條直線對折后能夠完全重合；（3）軸對稱的兩個圖形一定是全等形，但兩個全等的圖形不一定是軸對稱圖形；（4）對稱軸是直線而不是線段；軸對稱圖形軸對稱區(qū)別是一個圖形自身的對稱特性是兩個圖形之間的對稱關系對稱軸可能不止一條對稱軸只有一條共同點沿某條直線對折后都能夠互相重合如果軸對稱的兩個圖形看作一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形分成兩部分（兩個圖形），那么這兩部分關于這條對稱軸成軸對稱。三、角平分線的性質1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。2、性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。四、線段的垂直平分線1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。2、性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。五、等腰三角形1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角；4、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。5、等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸（等邊三角形除外），其底邊上的高或頂角的平分線，或底邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸。6、等腰三角形的三條重要線段不是它的對稱軸，它們所在的直線才是等腰三角形的對稱軸。7、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一”。8、“三線合一”是等腰三角形所特有的性質，一般三角形不具備這一重要性質。9、“三線合一”是等腰三角形特有的性質，是指其頂角平分線，底邊上的高和中線，這三線，并非其他。10、等腰三角形的兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角”。11、判定一個三角形是等腰三角形常用的兩種方法：（1）兩條邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等相等，簡寫為“等角對等邊”。六、等邊三角形1、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形，是最特殊的三角形。2、等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形的所有性質。3、等邊三角形有三條對稱軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對稱軸。4、等邊三角形的三邊都相等，三個內角都是600。圖形定義性質等腰三角形有兩邊相等的三角形1、兩腰相等，兩底角相等。2、頂角=1800-2×底角。底角=（1800-頂角）/2。3、頂角的平分線、底邊上的中線和高“三線合一”。4、軸對稱圖形，有一條對稱軸。等邊三角形（又叫正三角形）三邊都相等的三角形1、三邊都相等，三內角相等，且每個內角都等于600。2、具有等腰三角形的所有性質。3、軸對稱圖形，有三條對稱軸。七、軸對稱的性質1、兩個圖形沿一條直線對折后，能夠重合的點稱為對應點（對稱點），能夠重合的線段稱為對應線段，能夠重合的角稱為對應角。2、關于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形。3、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對應點所連的線段被對稱軸垂直平分。4、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對應線段、對應角都相等。5、類似地，軸對稱圖形的性質有：（1）軸對稱圖形對應點所連的線段被對稱軸垂直平分。（2）軸對稱圖形的對應線段、對應角相等。（3）根據軸對稱圖形的性質可求作軸對稱圖形的對應點、對應線段或對應角，并由此能補全軸對稱圖形。八、圖案設計1、作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形，實際上是軸對稱圖形的性質的靈活運用。2、作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形的步驟:（1）首先要確定一個簡單平面圖形上的幾個特殊點；（2）然后利用軸對稱的性質，作出其相應的對稱點（對應點所連的線段被對稱軸垂直平分）。（3）分別連接其對稱點，則可得其對稱圖形。3、表達方式（以點M為例）：（1）過點M作對稱軸的垂線，垂足為A；（2）延長MA到M’到，使M’A=MA，則點M’就是點M關于直線的對稱點。（3）在復雜的作圖中，也可以敘述為：作出點M關于直線的對稱點M’.4、在運用軸對稱設計圖案時，就注意以下幾點：（1）要有明確的設計意圖；（2）創(chuàng)意要新穎獨特；（3）設計出的圖案要符合要求；（4）能清楚地表達自己的設計意圖和制作過程。5、圖案的設計除采用對稱的手段外，通常還綜合采用旋轉、倒置、重復等手段和形式。6、設計的圖案要美觀、大方，積極向上，反映時代特色。九、鏡面對稱1、鏡面對稱的有關性質：（1）任何一個平面圖形（物體）在鏡子中的像與它是可以重合的。因此，一個軸對稱圖形在鏡子中的像仍是軸對稱圖形。（2）若一個平面圖形正對鏡面，則其左（右）側在鏡中的像是其右（左）側；（3）若一個平面圖形（物體）垂直于鏡面擺放，則靠近鏡面的部分，其像也靠近鏡面；2、關于數字0、1、3、8在鏡面中像的兩個結論：（1）如果寫數字的紙條垂直于鏡面擺放，則紙條上寫的0、1、3、8所成的像與原來的數字完全一樣。（2）如果紙條正對鏡面擺放，則紙條上寫的0、1、8這三個數字在鏡中的像和原來的數字完全一樣。3、像與物體到鏡面的距離相等。4、像與物體的對應點連線被鏡面垂直平分。5、由鏡中的時間來判斷真實時間是近幾年來中考的一個熱點。時間的表示有用一般數字表示的，也有直接用鐘表來表示的。在判斷時，大家要注意靈活利用鏡面對稱的知識來加以解決。北師大版《數學》（八年級上冊）知識點總結勾股定理1、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關系，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股數：滿足的三個正整數，稱為勾股數。實數一、實數的概念及分類1、實數的分類 正有理數有理數零有限小數和無限循環(huán)小數實數負有理數正無理數無理數無限不循環(huán)小數負無理數2、無理數：無限不循環(huán)小數叫做無理數。在理解無理數時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數，如等；（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如+8等；（3）有特定結構的數，如0.1010010001…等；（4）某些三角函數值，如sin60o等二、實數的倒數、相反數和絕對值1、相反數實數與它的相反數時一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、絕對值在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。（|a|≥0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。3、倒數如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。4、數軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。5、估算三、平方根、算數平方根和立方根1、算術平方根：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x就叫做a的算術平方根。特別地，0的算術平方根是0。表示方法：記作“”，讀作根號a。性質：正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2=a，那么這個數x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數a的平方根記做“”，讀作“正、負根號a”。性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。開平方：求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。注意的雙重非負性：03、立方根一般地，如果一個數x的立方等于a，即x3=a那么這個數x就叫做a的立方根（或三次方根）。表示方法：記作性質：一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。四、實數大小的比較1、實數比較大?。赫龜荡笥诹?，負數小于零，正數大于一切負數；數軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大；兩個負數，絕對值大的反而小。2、實數大小比較的幾種常用方法（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。（2）求差比較：設a、b是實數，（3）求商比較法：設a、b是兩正實數，（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則。（5）平方法：設a、b是兩負實數，則。五、算術平方根有關計算（二次根式）1、含有二次根號“”；被開方數a必須是非負數。2、性質：（1）（2）（3）（）（4）（）3、運算結果若含有“”形式，必須滿足：（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式六、實數的運算（1）六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實數的運算順序先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。（3）運算律加法交換律加法結合律乘法交換律乘法結合律乘法對加法的分配律圖形的平移與旋轉一、平移1、定義在平面內，將一個圖形整體沿某方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。2、性質平移前后兩個圖形是全等圖形，對應點連線平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。二、旋轉1、定義在平面內，將一個圖形繞某一定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。2、性質旋轉前后兩個圖形是全等圖形，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線所成的角等于旋轉角。四邊形性質探索一、四邊形的相關概念1、四邊形在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。2、四邊形具有不穩(wěn)定性3、四邊形的內角和定理及外角和定理四邊形的內角和定理：四邊形的內角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。推論：多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。6、設多邊形的邊數為n，則多邊形的對角線共有條。從n邊形的一個頂點出發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形。二、平行四邊形1、平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積S平行四邊形=底邊長×高=ah三、矩形1、矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四個角都是直角（3）矩形的對角線相等且互相平分（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。3、矩形的判定（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形=長×寬=ab四、菱形1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半五、正方形（3~10分）1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個角都是直角（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設正方形邊長為a，對角線長為bS正方形=六、梯形（一）1、梯形的相關概念一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。2、梯形的判定（1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。（2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。（3）等腰梯形的對角線相等。（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）（四）梯形的面積（1）如圖，（2）梯形中有關圖形的面積：①；②；③七、有關中點四邊形問題的知識點：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；八、中心對稱圖形1、定義在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。2、性質（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關系圖：第五章位置的確定一、在平面內，確定物體的位置一般需要兩個數據。二、平面直角坐標系及有關概念1、平面直角坐標系在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸，組成平面直角坐標系。其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統稱坐標軸。它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。2、為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點（坐標軸上的點），不屬于任何一個象限。3、點的坐標的概念對于平面內任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數對（a，b）叫做點P的坐標。點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標。平面內點的與有序實數對是一一對應的。4、不同位置的點的坐標的特征（1）、各象限內點的坐標的特征點P(x,y)在第一象限點P(x,y)在第二象限P(x,y)在第三象限點P(x,y)在第四象限（2）、坐標軸上的點的特征點P(x,y)在x軸上，x為任意實數點P(x,y)在y軸上，y為任意實數點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）即原點（3）、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數（4）、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。（5）、關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征點P與點p’關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）點P與點p’關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）點P與點p’關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P’（-x，-y）(6)、點到坐標軸及原點的距離點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于（2）點P(x,y)到y軸的距離等于（3）點P(x,y)到原點的距離等于三、坐標變化與圖形變化的規(guī)律：坐標（x，y）的變化圖形的變化x×a或y×a被橫向或縱向拉長（壓縮）為原來的a倍x×a，y×a放大（縮小）為原來的a倍x×（-1）或y×（-1）關于y軸或x軸對稱x×（-1），y×（-1）關于原點成中心對稱x+a或y+a沿x軸或y軸平移a個單位x+a，y+a沿x軸平移a個單位，再沿y軸平移a個單第六章一次函數一、函數：一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。二、自變量取值范圍使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。三、函數的三種表示法及其優(yōu)缺點（1）關系式（解析）法兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關系式（解析）法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。（3）圖象法用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。四、由函數關系式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。五、正比例函數和一次函數1、正比例函數和一次函數的概念一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。特別地，當一次函數中的b=0時（即）（k為常數，k0），稱y是x的正比例函數。2、一次函數的圖像:所有一次函數的圖像都是一條直線3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：一次函數的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的直線。k的符號b的符號函數圖像圖像特征k>0b>0y0x圖像經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y0x圖像經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。K<0b>0yx圖像經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y0x圖像經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當b=0時，一次函數變?yōu)檎壤瘮?，正比例函數是一次函數的特例?、正比例函數的性質一般地，正比例函數有下列性質：（1）當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。5、一次函數的性質一般地，一次函數有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小6、正比例函數和一次函數解析式的確定確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式（k0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法。7、一次函數與一元一次方程的關系：任何一個一元一次方程都可轉化為：kx+b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．而一次函數解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數，k≠0）．當函數值為0時，即kx+b=0就與一元一次方程完全相同．結論：由于任何一元一次方程都可轉化為kx+b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉化為：當一次函數值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，這相當于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值．第七章二元一次方程組1、二元一次方程含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。3、二元一次方程組含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。4二元一次方程組的解二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。5、二元一次方程組的解法（1）代入（消元）法（2）加減（消元）法6、一次函數與二元一次方程（組）的關系：（1）一次函數與二元一次方程的關系：直線y=kx+b上任意一點的坐標都是它所對應的二元一次方程kx-y+b=0的解（2）一次函數與二元一次方程組的關系：二元一次方程組的解可看作兩個一次函數和的圖象的交點。當函數圖象有交點時，說明相應的二元一次方程組有解；當函數圖象（直線）平行即無交點時，說明相應的二元一次方程組無解。第八章數據的代表1、刻畫數據的集中趨勢（平均水平）的量：平均數、眾數、中位數2、平均數（1）平均數：一般地，對于n個數我們把叫做這n個數的算術平均數，簡稱平均數，記為。（2）加權平均數：3、眾數一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾