文科高考數(shù)學知識點總結(jié)高中數(shù)學第一章-集合考試知識要點一、知識結(jié)構(gòu):本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法(集合化簡)、簡易邏輯三部分:二、知識回顧:(一)集合1.基本概念:集合、元素;有限集、無限集;空集、全集;符號的使用.2.集合的表示法:列舉法、描述法、圖形表示法.集合元素的特征:確定性、互異性、無序性.集合的性質(zhì):?任何一個集合是它本身的子集，記為;?空集是任何集合的子集，記為;?空集是任何非空集合的真子集;，同時，那么A=B.如果如果，，那么[注]:?Z={整數(shù)}(?)Z={全體整數(shù)}(?)?已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集(.?)(例:S=N;，則CsA={0})?空集的補集是全集.第1頁共59頁?若集合A=集合B，則，(CAB)=D(注:).3.?{(x，y)|xy=0，x?R，y?R}坐標軸上的點集.?{(x，y)|xy,0，x?R，y?二、四象限的點集.?{(x，y)|xy,0，x?R，y?R}一、三象限的點集.[注]:?對方程組解的集合應(yīng)是點集.例:解的集合{(2，1)}.?點集與數(shù)集的交集是(例:A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}則A?B)4.?n個元素的子集有2n個.?n個元素的真子集有2n,1個.?n個元素的非空真子集有2,2個.5.??一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.?一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.例:?若，則或應(yīng)是真命題.解:逆否:a=2且b=3，則a+b=5，成立，所以此命題為真.?且解:逆否:x+y=3且或故是且的既不是充分，又不是必要條件.?小范圍推出大范圍;大范圍推不出小范圍.3.例:若，或4.集合運算:交、并、補.交:且并:或補:且5.主要性質(zhì)和運算律(1)包含關(guān)系:(2)等價關(guān)系:(3)集合的運算律:交換律:結(jié)合律分配律0-1律:第2頁共59頁等冪律:求補律:A?CUA=φA?反演律:CU(A?B)=(CUA)?(CUB)CU(A?B)=(CUA)?(CUB)6.有限集的元素個數(shù)定義:有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(φ)=0.基本公式:rd(C)(3-card(A)(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根軸法(零點分段法)?將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化―+‖;(為了統(tǒng)一方便)?求根，并在數(shù)軸上表示出來;?由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(為什么,);?若不等式(x的系數(shù)化―+‖后)是―>0‖,則找―線‖在x軸上方的區(qū)間;若不等―線‖在x軸下方的區(qū)間.式是―<0‖,則找x(自右向左正負相間)則不等式n的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號確定.特例?一元一次不等式ax>b解的討論;2第3頁共59頁2.分式不等式的解法(1)標準化:移項通分化為f(x)g(x)>0(或f(x)g(x)<0);f(x)g(x)?0(或f(x)g(x)?0)的形式，(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式3.含絕對值不等式的解法(1)公式法:與型的不等式的解法.(2)定義法:用―零點分區(qū)間法‖分類討論.(3)幾何法:根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)(1)根的―零分布‖:根據(jù)判別式和韋達定理分析列式解之.(2)根的―非零分布‖:作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.(三)簡易邏輯1、命題的定義:可以判斷真假的語句叫做命題。2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復合命題:―或‖、―且‖、―非‖這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞;不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題;由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞―或‖、―且‖、―非‖構(gòu)成的命題是復合命題。構(gòu)成復合命題的形式:p或q(記作―p?q‖);p且q(記作―p?q‖);非p(記作―?q‖)。3、―或‖、―且‖、―非‖的真值判斷(1)―非p‖形式復合命題的真假與F的真假相反;(2)―p且q‖形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假;(3)―p或q‖形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真(4、四種命題的形式:原命題:若P則q;逆命題:若q則p;否命題:若?P則?q;逆否命題:若?q則?p。(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題;(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題;(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題(第4頁共59頁否命題若?p則?q互否原命題若p則q互逆否逆命題若q則p互逆否命題若?q則?p2逆互5、四種命題之間的相互關(guān)系:一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系:(原命題逆否命題)?、原命題為真，它的逆命題不一定為真。?、原命題為真，它的否命題不一定為真。?、原命題為真，它的逆否命題一定為真。6、如果已知那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。若且則稱p是q的充要條件，記為p?q.7、反證法:從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出(與已知、公理、定理?)矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。高中數(shù)學第二章-函數(shù)考試和性質(zhì)((5)理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì);掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)((6)能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題(一、本章知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu):函數(shù)體函研質(zhì)二次函數(shù)數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)?02.函數(shù)知識要點二、知識回顧:第5頁共59頁(一)映射與函數(shù)1.映射與一一映射2.函數(shù)函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).3.反函數(shù)反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，得到若對于y在C中的任何一個值，通過，x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作習慣上改寫成(二)函數(shù)的性質(zhì)?函數(shù)的單調(diào)性定義:對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,?若當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù);?若當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).2.函數(shù)的奇偶性共59頁第6頁正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個問題:(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)或是定義域上的恒等式。2(奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。3.奇函數(shù)在對稱區(qū)間同增同減;偶函數(shù)在對稱區(qū)間增減性相反.，反之亦成立。4(如果f(x)是偶函數(shù)，則若奇函數(shù)在時有意義，則。7.奇函數(shù)，偶函數(shù):?偶函數(shù):設(shè)(a,b)為偶函數(shù)上一點，則()也是圖象上一點.偶函數(shù)的判定:兩個條件同時滿足?定義域一定要關(guān)于y軸對稱，例如:在上不是偶函數(shù).?滿足，或，若時，?奇函數(shù):(x)設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點，則()也是圖象上一點.奇函數(shù)的判定:兩個條件同時滿足?定義域一定要關(guān)于原點對稱，例如:在上不是奇函數(shù).?滿足，或，若時，f(x)()8.對稱變換:?y=f(x)(x)?y=f(x)?y=f(x)()9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法:對帶根號的一定要分子有理化，例如:()在進行討論.1212y軸對稱x軸對稱原點對稱10.外層函數(shù)的定義域是.解:f(x)的值域是f(f(x))的定義域B，f(x)的值域，故，而，故11.常用變換:?f(y).第7頁共59頁f(y)f(x)證:?f(xyxy證:12.?熟悉常用函數(shù)圖象:例:關(guān)于y軸對稱.|x|?|x|?2關(guān)于x軸對稱.?熟悉分式圖象:例:y定義域值域值域(三)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)前的系數(shù)之比.且的圖象和性質(zhì)x第8頁共59頁a對數(shù)運算:logloglog換底公式:log推論:logn(以上且)第9頁共59頁注?:當a,b?:當時，是偶數(shù)時且時，取―+‖，當n時，，而，故取‖—‖.2例如:中x,0而logax2中x?R).(a?當a)與互為反函數(shù)時，則相反時，的a值越大，越靠近x軸;當(四)方法總結(jié)?.相同函數(shù)的判定方法:定義域相同且對應(yīng)法則相同.?對數(shù)運算:loglogloga換底公式:log推論:logn(以上且)注?:當a,b?:當時，是偶數(shù)時且時，取―+‖，當n時，Mn，而，故取―—‖.例如:中x,0而logax2中x?R).?(a當)與互為反函數(shù)時，則相反時，的a值越大，越靠近x軸;當?.函數(shù)表達式的求法:?定義法;?換元法;?待定系數(shù)法.?.反函數(shù)的求法:先解x,互換x、y，注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).?.函數(shù)的定義域的求法:布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為?分母不為0;?偶次根式中被開方數(shù)不小于0;?對數(shù)的第10頁共59頁真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1;?零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零;?實際問題要考慮實際意義等.(二次或四次);?―判別式法‖;?反函數(shù)法;??.函數(shù)值域的求法:?配方法換元法;?不等式法;?函數(shù)的單調(diào)性法.?.單調(diào)性的判定法:?設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間數(shù)列考試知識要點第12頁共59頁?看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:?為常數(shù))??為常數(shù)).?看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:?為常數(shù),且2?，?注?:，是a、b、c成等比的雙非條件，即(ac,0)?為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.iv且ac為、b、c等比數(shù)列.a、b、c等比數(shù)列的充要.注意:任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項，除非有ac,0，則等比中項一定有兩為非零常數(shù)).個.??正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}()成等比數(shù)列.?數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關(guān)系:an[注]:?(d可為零也可不為零?為等差數(shù)列充要條件(即常數(shù)列也是等差數(shù)列)?若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件).?等差{an}前n項和?d2為等差可以為零也可不為零?的充要條件?若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件;若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.?非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.(不是非零，即不可能有等比數(shù)列)((2.?等差數(shù)列依次每k項的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍;?若等差數(shù)列的項數(shù)為，則S偶奇S奇偶;第13頁共59頁?若等差數(shù)列的項數(shù)為，則，且S奇偶，S奇代入n到得到所求項數(shù)S偶.3.常用公式:?1+2+3?+n=?62?259[注]:熟悉常用通項:9，99，999，;5，55，555，n4.等比數(shù)列的前n項和公式的常見應(yīng)用題:?生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為a，年增長率為r，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為其中第n年產(chǎn)量為，且過n年后總產(chǎn)量為:n.?銀行部門中按復利計算問題.例如:一年中每月初到銀行存a元，利息為r，每月利息按復利計算，則每月的a元過n個月后便成為元.因此，第二年年初可存款:12121110].?分期付款應(yīng)用題:a為分期付款方式貸款為a元;m為m個月將款全部付清;r為年利率.mmrmmm5.數(shù)列常見的幾種形式:?(p、q為二階常數(shù))用特證根方法求解.具體步驟:?寫出特征方程(x2對應(yīng)，x對應(yīng))，并設(shè)二根x1,x2?若nn可設(shè)，若可設(shè);?由初始值a1,a2確定c1,c2.?(P、r為常數(shù))用?轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列;?逐項選代;?消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為的形式，再用特征根方法求an;?(公式法)，c1,c2由a1,a2確定.?轉(zhuǎn)化等差，等比:)P.r?選代法:第14頁共59頁P.?用特征方程求解:相減，().?由選代法推導結(jié)果:，，()P.6.幾種常見的數(shù)列的思想方法:?等差數(shù)列的前n項和為Sn，在d兩種方法:時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有d2d2一是求使，成立的n值;二是由Sn2)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.?如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前n項和可依照等比數(shù)列前n項和的推倒導方法:錯位相減求和.例如:12,31412n,...?兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法:(1)定義法:對于n?2的任意自然數(shù),驗證)為同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。23.在等差數(shù)列,an,中,有關(guān)Sn的最值問題:(1)當a1>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得sm取最大值.(2)當a1<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得sm取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。(三)、數(shù)列求和的常用方法1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項相消法:適用于其中{an}是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù);部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。3.錯位相減法:適用于其中{an}是等差數(shù)列，是各項不為0的等比數(shù)列。4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導方法.5.常用結(jié)論第15頁共59頁1)22)1+3+5+...+(2n-1)=n2)4)5)11)高中數(shù)學第四章-三角函數(shù)考試知識要點頁共59頁第161.?與(,360?)終邊相同的角的集合(角與角的終邊重合):?終邊在x軸上的角的集合:?終邊在y軸上的角?終邊在坐標軸上的角的集合:的集合:?終邊在y?終邊在y=x軸上的角的集合:軸上的角的集合:SIN\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域?若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系:?若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與角的關(guān)系:?若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系:?角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系:角度與弧度的互換關(guān)系:0?=57?18′注意:正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.、弧度與角度互換公式:1rad,180??57.30?=57?18ˊ(1?,180?0.01745(rad)3、弧長公式:扇形面積公式:s扇形121224、三角函數(shù):設(shè)是一個任意角，在的終邊上任取(異于原點的)一點P(x,y)P與原點的距離為r，則xr;yx;xy;rx;.csc5正弦、余割余弦、正割正切、余切6、三角函數(shù)線正弦線:MP;余弦線:OM;正切線:AT.16.幾個重要結(jié)論:第17頁共(3)若o<x<,則sinx<x<tanx28、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:2222229、誘導公式:把的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為:―奇變偶不變，符號看象限‖三角函數(shù)的公式:(一)基本關(guān)系公式組一sinx?cscx=1tanx=sinxcosx公式組二公式組三sinx+cosx=122x=cosx?secx=11+tanx=secxsinxtanx?cotx=11+cotx=cscx22公式組四公式組五公式組六(二)角與角之間的互換公式組一公式組二22222第18頁共59頁2222tan11212公式組三公式組四公式組五2tan222cos(1212122sin(tan(2222si12cossincos(tan(sin(1212122tan2222cossinsin15,sin75.第19頁共59頁反.一般地，若在[a,b]上遞增(減)，則在[a,b]上遞減(增).?sinx與y的周期是?或yx2()的周期.的周期為(T，如圖，翻折無效).2?的對稱軸方程是x對稱軸方程是x(原點對稱()，對稱中心();y的)，對稱中心(;)(的對稱中心.,0)tan?當2;2?y與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則212?函數(shù)在R上為增函數(shù).(×)[只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯誤的].?定義域關(guān)于原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.(奇偶性的兩個條件:一是定義域關(guān)于原點對稱(奇偶都要)，二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù):)奇偶性的單調(diào)性:奇同偶反.例如:是奇函數(shù)，義域不關(guān)于原點對稱)第20頁共59頁13f(x)，奇函數(shù):是非奇非偶.(定奇函數(shù)特有性質(zhì):若的定義域，則f(x)一定有質(zhì))(0的定義域，則無此性?x不是周期函數(shù);為周期函數(shù)(T是周期函數(shù)(如圖);為周期函數(shù)(12的周期為(如圖)，并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如:y=|cos2x+1/2|圖象?22ba有11、三角函數(shù)圖象的作法:,)、幾何法:,)、描點法及其特例——五點作圖法(正、余弦曲線)，三點二線作圖法(正、余切曲線).,)、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象(三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等(函數(shù)y,Asin(ωx，φ)的振幅|A|，周期T，頻率f1T，相位初相(即當x,0時的相位)((當A,0，ω,0時以上公式可去絕對值符號)，由y,sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長(當|A|,1)或縮短(當0,|A|,1)到原來的|A|倍，得到y(tǒng),Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換((用y/A替換y)由y,sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長(0,|ω|,1)或縮短(|ω|,1)到原來的|1|倍，得到y(tǒng),sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換((用ωx替換x)由y,sinx的圖象上所有的點向左(當φ,0)或向右(當φ,0)平行移動,φ,個單位，得到y(tǒng),sin(x，φ)的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移((用x，φ替換x)由y,sinx的圖象上所有的點向上(當b,0)或向下(當b,0)平行移動,b,個單位，得到y(tǒng),sinx，b的圖象叫做沿y軸方向的平移((用y+(-b)替換y)由y,sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y,Asin(ωx，φ)(A,0，ω,0)(x?R)的圖象，要特別注意:當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。4、反三角函數(shù):函數(shù)y,sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y,arcsinx，它的定義域是,,第21頁共59頁(1，1,，值域是,2,0，π,)的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y,arccosx，函數(shù)y,cosx，(x?它的定義域是,,1，1,，值域是,0，π,(函數(shù)y,tanx，2的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y,arctanx，它的定義域是(,?，，?)，值域是(函數(shù)y,ctgx，,x?(0，π),的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y,arcctgx，它的定義域是(,?，，?)，值域是(0，π)(II.競賽知識要點一、反三角函數(shù).1.反三角函數(shù):?反正弦函數(shù)是奇函數(shù)，故，(一定要注明定義域，若，沒有x與y一一對應(yīng)，故無反函數(shù))注:，，2?反余弦函數(shù)非奇非偶，但有，注:?，，?是偶函數(shù)，非奇非偶，而和為奇函數(shù).?反正切函數(shù):，定義域，值域(注:，，x2,2)，是奇函數(shù)，?反余切函數(shù):，定義域，值域(偶.，2,2)，x是非奇非注:?，?與互為奇函數(shù)，y非奇非同理為奇而y但與偶滿足?正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集:a的取值范圍解集?sina的取值范圍解集的解集?的解集a,,第22頁共59頁a,,?tan?cot的解集:的解集:高中數(shù)學第五章-平面向量考試知識要點1.本章知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)2.向量的概念(1)向量的基本要素:大小和方向向量的表示:幾何表示法AB;字母表示:a;坐標表示法a,,,，,j,(,，,)(3)向量的長度:即向量的大小，記作,a,(4)特殊的向量:零向量a,,a,,單位向量aO為單位向量,aO,,相等的向量:大小相等，方向相同,1，,1),(,2，,2)第23頁共59頁(6)相反向量:a=--(7)平行向量(共線向量):方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a?b.平向量的運算行向量也稱為共線向量(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對實數(shù)λ1，λ2，使a,λ1e1，(2)兩個向量平行的充要條件a?,,x2y1,兩個向量垂直的充要條件a?,，y1y2,第24頁共59頁1圖(4)線段的定比分點公式設(shè)點P分有向線段P1P2所成的比為λ，即P1P,λPP2，則OP,1，線段的定比分點的向量公式線段定比分點的坐標公式當λ,1時，得中點公式:,(OP1，OP2)或(5)平移公式設(shè)點P(x，y)按向量a,(,，,)平移后得到點P′(x′，y′)，則OP,OP+a或曲線y,f(x)按向量a,(,，,)平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為:y,,,f(x,,)(6)正、余弦定理正弦定理:a余弦定理:a2,b2，c2,2bccosA，b2,c2，a2,2cacosB，c,a，b,(7)三角形面積計算公式:設(shè)?ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長為P，外接圓、?S?=Pr?S?=abc/4R?S?=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA?S?海倫公式]?S?=1/2(b+c-a)ra[如下圖]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb[注]:到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是DEraFbaCB共59頁第25頁圖2中的I為S?ABC的一個旁心，S?=1/2(b+c-a)ra附:三角形的五個―心‖;重心:三角形三條中線交點.外心:三角形三邊垂直平分線相交于一點.?(a+c-b)?(a+b-c)綜合上述:由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊(如圖4).特例:已知在Rt?ABC，c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=?在?ABC中，有下列等式成立tan證明:因為2(如圖3)..所以，所以2，結(jié)論～?在?ABC中，D是BC上任意一點，則AD2AC2.證明:在?ABCD中，由余弦定理，有?在?ABC中，由余弦定理有cos可得，AD2222?，?代入?，化簡AAC22(斯德瓦定理)2圖5?若AD是BC上的中線，ma?若AD是?A的平分線，ta?若AD是BC上的高，ha??ABC的判定:2b22;B，其中pDC，其中p為半周長.?ABC為直角??A+?22222c,?ABC為鈍角??A+?B,,?ABC為銳角??A+?B,2ab2222c22附:證明:cosC，得在鈍角?ABC中，?平行四邊形對角線定理:對角線的平方和等于四邊的平方和.第26頁共59頁空間向量1(空間向量的概念:2(空間向量的運算定義:與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下運算律:?加法交換律:?加法結(jié)合律:?數(shù)乘分配律:表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量(a平行于b記作a//b(當我們說向量a、b共線(或a//b)時，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線(4(共線向量定理及其推論:共線向量定理:空間任意兩個向量a、b(b?0)，a//b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a,λb.推論:如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那么對于任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式(其中向量a叫做直線l的方向向量.5(向量與平面平行:已知平面和向量a，作，如果直線OA平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作:(6(共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實數(shù)x,y使第27頁共59頁推論:空間一點P位于平面MAB??式叫做平面MAB如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使推論:設(shè)O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z，使已知兩非零向量a,b，在空間任取一點，作，則叫做向量a與的夾角，記作;且規(guī)定，顯然有;若，則稱a與b互相垂直，記作:9(向量的模:設(shè)，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作:|a|.(向量的數(shù)量積:(已知向量和軸l，e是l上與l同方向的單位向量，作點A在l上的射影，作點B在l上的射影，則叫做向量AB在軸l上或在e上的正射影.可以證明的長度(11(空間向量數(shù)量積的性質(zhì):(1)((2)((3)(12(空間向量數(shù)量積運算律:(1)((2)(交換律)(3)(分配律)(空間向量的坐標運算一(知識回顧:(1)空間向量的坐標:空間直角坐標系的x軸是橫軸(對應(yīng)為橫坐標)，y軸是縱軸(對應(yīng)為縱軸)，z軸是豎軸(對應(yīng)為豎坐標).第28頁共59頁?令，則a1b1a?b212223(2b32a12a22a32b12b2?空間兩點的距離公式:(2)法向量:若向量a所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量a叫做平面的法向量.(3)用向量的常用方法:?利用法向量求點到面的距離定理:如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面?利用法向量求二面角的平面角定理:設(shè)n1,n2分別是二面角中平面的法向量，則n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小(n1,n2方向相同，則為補角，n1,n2反方，則為其夾角).?證直線和平面平行定理:已知直線平面，，且CDE三點不共線，則a?的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使(常設(shè).AB求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交).第29頁共59頁高中數(shù)學第六章-不等式考試知識要點1.不等式的基本概念(1)不等(等)號的定義:(2)不等式的分類:絕對不等式;條件不等式;矛盾不等式.(3)同向不等式與異向不等式.(4)同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)(1)(對稱性)(2)(傳遞性)(3)(加法單調(diào)性)(4)(同向不等式相加)(5)(異向不等式相減)(6)(7)(乘法單調(diào)性)(8)(同向不等式相乘)d(異向不等式相除)b(倒數(shù)關(guān)系)(11)且(平方法則)且(開方法則)(12)3.幾個重要不等式(1)若則(2)若a、則或a2(3)如果a,b都是正數(shù)，那么(當僅當a=b時取等號)2.(當僅當a=b時取等號)極值定理:若則:1如果P是定值,那么當x=y時，S的值最小;?2如果S是定值,那么當x=y時，P的值最大.?利用極值定理求最值的必要條件:一正、二定、三相等.(4)若a、b、則時取等號)第30頁共59頁(5)若則b(當僅當22a=b時取等號)時，|或(7)若a、則5.不等式證明的幾種常用方法比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法(1)整式不等式的解法(根軸法).步驟:正化，求根，標軸，穿線(偶重根打結(jié))，定解.特例?一元一次不等式ax>b解的討論;?一元二次不等式ax2+bx+c>0(a?0)解的討論.(2)分式不等式的解法:先移項通分標準化，則f(x)(3)無理不等式:轉(zhuǎn)化為有理不等式求解定義域或(4).指數(shù)不等式:轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式aaf(x)f(x(5)對數(shù)不等式:轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式(6)含絕對值不等式1應(yīng)用分類討論思想去絕對值;?2應(yīng)用數(shù)形思想;?3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化?不同時為0)或或注:常用不等式的解法舉例(x為正數(shù)):?2?第31頁共59頁，?類似于x|(x與1x同號，故取等高中數(shù)學第七章-直線和圓的方程考試知識要點一、直線方程.1.直線的傾斜角:一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是注:?當或時，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.?每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.2.直線方程的幾種形式:點斜式、截距式、兩點式、斜切式.特別地，當直線經(jīng)過兩點(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為時，x直線方程是:注:若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.附:直線系:對于直線的斜截式方程，當k,b均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果k,b變化時，對應(yīng)的直線也會變化.?當b為定植，k變化時，它們表示過定點(0，b)的直線束.?當k為定值，b變化時，它們表示一組平行直線.3.?兩條直線平行:l1?兩條直線平行的條件是:?l1和l2是兩條不重合的直線.?在l1和l2的斜率第32頁共59頁前提‖都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個,都會導致結(jié)論的錯誤.(一般的結(jié)論是:對于兩條直線l1,l2，它們在y軸上的縱截距是b1,b2，則l1?，且或l1,l2的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且)推論:如果兩條直線l1,l2的傾斜角為2則l1??兩條直線垂直:兩條直線垂直的條件:?設(shè)兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有這里的前提是l1,l2的斜率都存在.?，且l2的斜率不存在或，且l1的斜率不存在.(即是垂直的充要條件)4.直線的交角:?直線l1到l2的角(方向角);直線l1到l2的角，是指直線l1繞交點依逆時，它的范圍是，當時針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合時所轉(zhuǎn)動的角2.?兩條相交直線l1與l2的夾角:兩條相交直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四個角中最小的正角，又稱為l1和l2所成的角，它的取值范圍是，當，則有.5.過兩直線的交點的直線系方程為參數(shù)，不包括在定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).則第33頁共59頁特例，中點坐標公式;重要結(jié)論，三角形重心坐標公式。3.直線的傾斜角(,180?)、斜率4.過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式:當(即直線和x軸垂直)時，直線的傾斜角,，沒有斜率?兩條平行線間的距離公式:設(shè)兩條平行直22線，它們之間的距離為d，則有注;直線系方程1.與直線:Ax+By+C=0平行的直線系方程是:Ax+By+m=0.(m?R,C?m).2.與直線:Ax+By+C=0垂直的直線系方程是:Bx-Ay+m=0.(m?R)3.過定點(x1,y1)的直線系方程是:A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)4.過直線l1、l2交點的直線系方程:(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ注:該直線系不含l2.?R)7.關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱:?關(guān)于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.?關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì):若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.?點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上(方程?)，過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直(方程?)??可解得所求對稱點.注:?曲線、直線關(guān)于一直線()對稱的解法:y換x，x換y.例:曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x–2對稱曲線方程是f(y+2,x–2)=0.?曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線方程是f(a–x,2b–y)=0.二、圓的方程.1.?曲線與方程:在直角坐標系中，如果某曲線C上的與一個二元方程的實數(shù)建立了如下關(guān)系:?曲線上的點的坐標都是這個方程的解.?以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線方程;這條曲線叫做方程的曲線(圖形).?曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點M(x,y)其坐標與方程的一種關(guān)系，曲線上任一點(x,y)是方程的解;反過來，滿足方程的解所對應(yīng)的點是曲線上的點.注:如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02.圓的標準方程:以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程是特例:圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程是:第34頁共59頁注:特殊圓的方程:?與x軸相切的圓方程?與y軸相切的圓方程圓心(a,b)或圓心(a,b)或?與x軸y軸都相切的圓方程3.圓的一般方程:圓心當時，方程表示一個圓，其中圓心2，半徑222.當時，方程表示一個點當時，方程無圖形(稱虛圓).注:?圓的參數(shù)方程:(為參數(shù)).?方程表示圓的充要條件是:且且?圓的直徑或方程:已知(用向量可征).4.點和圓的位置關(guān)系:給定點M(x0,y0)及圓?M在圓C直線l:;圓心C(a,b)到直線l的距離d?時，l與C相切;相減為公切線方程附:若兩圓相切，則?時，l與C相交;附:公共弦方程:設(shè)有兩個交點，則其公共弦方程為?時，l與C相離.第35頁共59頁附:若兩圓相離，則相減為圓心O1O2的連線的中與線方程.由代數(shù)特征判斷:方程組用代入法，得關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為，則:與C相切;l與C相交;與C相離注:若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.6.圓的切線方程:圓的斜率為的切線方程是過圓上一點P(x0,y0)的切線方程為:?一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特別地，過圓上一點P(x0,y0)的切線方程為?若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.BC)7.求切點弦方程:方法是構(gòu)造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖:ABCD四類共圓.已知的方程?又以ABCD為圓為方程為2…?422…?，所以BC的方程即?代?，??相切即為所求.三、曲線和方程1.曲線與方程:在直角坐標系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系:1)曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解(純粹性);2)方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上(完備性)。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。2.求曲線方程的方法:.1)直接法:建系設(shè)點，列式表標,簡化檢驗;2)參數(shù)法;3)定義法，4)待定系數(shù)法.第36頁共59頁高中數(shù)學第八章-圓錐曲線方程考試一、橢圓方程.1.橢圓方程的第一定義:PFPFPF111?08.圓錐曲線方程知識要點222方程為橢圓無軌跡,為端點的線段??橢圓的標準方程:i.中心在原點，焦點在x軸上:ya22xa22yb22.ii.中心在原點，焦點在y軸上:xb222?一般方程:2.?橢圓的標準參數(shù)方程:xa22yb22的參數(shù)方程為(一象限應(yīng)是屬于2).??頂點:或?軸:對稱軸:x軸，y軸;長軸長2a，短軸長2b.?焦點:或?焦距:a222.?準線:a2c或c離心率:.?xa22焦點半徑:?yb22i.設(shè)P(x0,y0)為橢圓上的一點，F(xiàn)1,F2由橢圓方程的第二定義可以推出.ii.設(shè)P(x0,y0)為橢圓xb22ya22上的一點，F(xiàn)1,F2,PF2由橢圓方程的第二定義可以推出.由橢圓第二定義可知:a2c2a2c歸結(jié)起來為,左加右減‖.注意:橢圓參數(shù)方程的推導:得方程的軌跡為橢圓.?通徑:垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標:d22b2a)和(c,b2a)第37頁共59頁2222?共離心率的橢圓系的方程:橢圓程xa22xayb的離心率是ca22，方y(tǒng)b22是大于0的參數(shù)，的離心率也是eca我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.?若P是橢圓:btan2xa22yb22上的點.F1,F2為焦點，若，則的面積為22(用余弦定理與PF1可得).若是雙曲線，則面積為2.二、雙曲線方程.1.雙曲線的第一定義:PFPFPF111222222方程為雙曲線無軌跡F1,F2的一個端點的一條射線N的軌跡是橢圓??雙曲線標準方程:22xa22yb22ya22xb22.一般方程:??i.焦點在x軸上:頂點:焦點:準線方程xxa22a2c漸近線方程:xayb或yb22ii.焦點在y軸上:頂點:焦點:準線方程:yyaxbya22a2c.漸近線方程:或xb22，參數(shù)方程:或.2ac2?軸x,y為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.?離心率e準線的距離);通徑程xa22ca.?準線距2ba22.?參數(shù)關(guān)系ca.?焦點半徑公式:對于雙曲線方y(tǒng)b22(F1,F分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點)―長加短減‖原則:MFMF12構(gòu)成滿足MF122(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半第38頁共MFMF122?等軸雙曲線:雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y，離心率2.?共軛雙曲線:以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.xa22yb22與xa22yb2222互為共軛雙曲線，yb22xa22yb22.?共漸近線的雙曲線系方程:漸近線為xa的漸近線方程為22xa22y22如果雙曲線的時，它的雙曲線方程可設(shè)為yb22.例如:若雙曲線一條漸近線為y解:令雙曲線的方程為:x2212x且過12)4，代入12)得x28y22?直線與雙曲線的位置關(guān)系:區(qū)域?:無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條;區(qū)域?:即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條;區(qū)域?:2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條;區(qū)域?:即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條;區(qū)域?:即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.小結(jié):過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.(2)若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.?若P在雙曲線離比為m:n.PF1xa22yb22，則常用結(jié)論1:P到焦點的距離為m=n，則P到兩準線的距簡證:d1d2ePFe2=mn.常用結(jié)論2:從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程.3.設(shè)，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì):第39頁共59頁22b2aP2頂點(注:?).?則焦點半徑則焦點半徑為PFP2.?通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.?(或)的參數(shù)方程為22(或2)(t為參數(shù)).四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義:平面第40頁共59頁1.橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的其他形式及相應(yīng)性質(zhì).2.等軸雙曲線3.共軛雙曲線5.方程y2=ax與x2=ay的焦點坐標及準線方程.6.共漸近線的雙曲線系方程.第41頁共59頁高中數(shù)學第九章-立體幾何考試內(nèi)容平面及其基本性質(zhì)(平面圖形直觀圖的畫法(平行直線(對應(yīng)邊分別平行的角(異面直線所成的角(異面直線的公垂線(異面直線的距離(直線和平面平行的判定與性質(zhì)(直線和平面垂直的判定與性質(zhì)(點到平面的距離(斜線在平面上的射影(直線和平面所成的角(三垂線定理及其逆定理(平行平面的判定與性質(zhì)(平行平面間的距離(二面角及其平面角(兩個平面垂直的判定與性質(zhì)(多面體(正多面體(棱柱(棱錐(球(考試要求(1)掌握平面的基本性質(zhì)，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖;能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系((2)掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離((3)掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理;掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理;掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念掌握三垂線定理及其逆定理((4)掌握兩個平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握二面角、二面角的平面角、兩個平行平面間的距離的概念，掌握兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理((5)會用反證法證明簡單的問題((6)了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念((7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會畫直棱柱的直觀圖((8)了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會畫正棱錐的直觀圖((9)了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式(9(B)(直線、平面、簡單幾何體考試內(nèi)容:平面及其基本性質(zhì)(平面圖形直觀圖的畫法(平行直線(直線和平面平行的判定與性質(zhì)(直線和平面垂直的判定(三垂線定理及其逆定理(兩個平面的位置關(guān)系(空間向量及其加法、減法與數(shù)乘(空間向量的坐標表示(空間向量的數(shù)量積(直線的方向向量(異面直線所成的角(異面直線的公垂線(異面直線的距離(直線和平面垂直的性質(zhì)(平面的法向量(點到平面的距離(直線和平面所成的角(向量在平面內(nèi)的射影(平行平面的判定和性質(zhì)(平行平面間的距離(二面角及其平面角(兩個平面垂直的判定和性質(zhì)(多面體(正多面體(棱柱(棱錐(球(考試要求:(1)掌握平面的基本性質(zhì)。會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖:能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形.能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系((2)掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理;理解直線和平面垂直的概念.掌握直線和平面垂直的判定定理;掌握三垂線定理及其逆定理(第42頁共59頁(3)理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘((4)了解空間向量的基本定理;理解空間向量坐標的概念.掌握空間向量的坐標運算((5)掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì):掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式;掌握空間兩點間距離公式((6)理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面知識要點一、平面.1.經(jīng)過不在同一條直線上的三點確定一個面.注:兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面(直線與直線所成角)112(斜線與平面成角2方向相同)相同方向不第43頁共59頁(直線與平面所成角)(向量與向量所成角推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角(或直角)相等.5.兩異面直線的距離:公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況:相交(共面)垂直和異面垂直.則過l1,l2外一點P，過點P且與l1,l2都平行平面有一個或沒有，但與l1,l2l1,l2是異面直線，距離相等的點在同一平面O的射影在這個角的平分線上四、平面平行與平面垂直.1.空間兩個平面的位置關(guān)系:相交、平行.2.平面平行判定定理:如果一個平面θ6.兩異面直線任意兩點間的距離公式:l鈍取減，綜上，都取加則必有m2PBAO22(為銳角取加，為)θ1θ2圖27.?最小角定理:(為最小角，如圖)?最小角定理的應(yīng)用(?PBN為最小角)圖1簡記為:成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.五、棱錐、棱柱.1.棱柱.??直棱柱側(cè)面積:(C為底面周長，h是高)該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.?斜棱住側(cè)面積:(C1是斜棱柱直截面周長，l是斜棱柱的側(cè)棱長)該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.?{四棱柱平行六面體直平行六面體長方體}正四棱柱正方體}.{直四棱柱平行六面體}={直平行六面體}.?棱柱具有的性質(zhì):?棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等;直棱柱的各個側(cè)面都是矩形;正((((((((棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.(((((?棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.((?過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.第45頁共59頁注:?棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱.(?)(直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖)?(直棱柱定義)棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.?平行六面體:定理一:平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.((((((((((((([注]:四棱柱的對角線不一定相交于一點.定理二:長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.推論一:長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則推論二:長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則[注]:?有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.(?)(斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形)?各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(?)(應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行)(?對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體(.?)(只能推出對角線相等，推不出底面為矩形)?棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.(兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件)2.棱錐:棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.[注]:?一個棱錐可以四各面都為直角三角形.?一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐;所以V棱柱棱柱.??正棱錐定義:底面是正多邊形;頂點在底面的射影為底面的中心.[注]:i.正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.(不是等邊三角形)ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正?側(cè)棱與底棱不一定相等iii.正棱錐定義的推論:若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形(即側(cè)棱相等);底面為正多邊形.?正棱錐的側(cè)面積:S2Ch(底面周長為C，斜高為h’)S底?棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式:S側(cè)附:c以知c?l，cos(側(cè)面與底面成的二面角為)，為二面角1?，????則?，得S側(cè)底注:S為任意多邊形的面積(可分別多個三角形的方法).?棱錐具有的性質(zhì):第46頁共59頁?正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高).?正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.?特殊棱錐的頂點在底面的射影位置:?棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.?棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.?棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.?棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.?三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.?三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.?每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑;?每個四面體都有內(nèi)切球，球心I是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.[注]:i.各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.(?)(各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等)ii.簡證:AB?CD，AC??AD.令AB得BCBD，已知DAEFO’BGC則iii.空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形.iv.若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形.簡證:取AC中點O’，則平面易知EFGH為平行四邊形為長方形.若對角線等，則EF3.球:?球的截面是一個圓面.?球的表面積公式:?球的體積公式:V90?為正方形.3.O?緯度、經(jīng)度:?緯度:地球上一點P的緯度是指經(jīng)過P點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).?經(jīng)度:地球上A,B兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當經(jīng)過點A的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是B點的經(jīng)度.附:?圓柱體積:r2h(r為半徑，h為高)?圓錐體積:V?錐形體積:V第47頁共59頁2(r為半徑，h為高)O(S為底面積，h為高)R4.?[當時，不成立]?向量a,b,c共面即它們所在直線共面.(?)[可能異面]?若a?b，則存在小任一實數(shù)，使(?)[與不成立]?若a為非零向量，則(?)[這里用到之積仍為向量](2)共線向量定理:對空間任意兩個向量，a?b的充要條件是存在實數(shù)(具有唯一性)，使(3)共面向量:若向量a使之平行于平面或a在第48頁共59頁中Q是?BCD的重心，則向量AQ13用AQ即證.3.(1)空間向量的坐標:空間直角坐標系的x軸是橫軸(對應(yīng)為橫坐標)，y軸是縱軸(對應(yīng)為縱軸)，z軸是豎軸(對應(yīng)為豎坐標).?令，則a?b21a1b1a2b2a3b32223(2a12a22a32b12b22b3?空間兩點的距離公式:(2)法向量:若向量a所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量a叫做平面的法向量.(3)用向量的常用方法:?利用法向量求點到面的距離定理:如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面?利用法向量求二面角的平面角定理:設(shè)n1,n2分別是二面角中平面的法向量，則n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小(n1,n2方向相同，則為補角，n1,n2反方，則為其夾角).?證直線和平面平行定理:已知直線平面，，且CDE三點不共線，則a?的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.(常設(shè)AB求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交).二、空間正余弦定理.空間正弦定理:sin?ABD/sin?A-BC-D=sin?ABC/sin?A-BD-C=sin?CBD/sin?C-BA-D第49頁共59頁空間余弦定理:cos?ABD=cos?ABCcos?CBD+sin?ABCsin?CBDcos?A-BC-D立體幾何知識要點一、知識提綱(一)空間的直線與平面?平面的基本性質(zhì)?三個公理及公理三的三個推論和它們的用途(?斜二測畫法(?空間兩條直線的位置關(guān)系:相交直線、平行直線、異面直線(?公理四(平行線的傳遞性)(等角定理(?異面直線的判定:判定定理、反證法(?異面直線所成的角:定義(求法)、范圍(?直線和平面平行直線和平面的位置關(guān)系、直線和平面平行的判定與性質(zhì)(?直線和平面垂直?直線和平面垂直:定義、判定定理(?三垂線定理及逆定理(5.平面和平面平行兩個平面的位置關(guān)系、兩個平面平行的判定與性質(zhì)(6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理((二)直線與平面的平行和垂直的證明思路(見附圖)(三)夾角與距離7.直線和平面所成的角與二面角?平面的斜線和平面所成的角:三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平面所成的角、直線和平面所成的角(?二面角:?定義、范圍、二面角的平面角、直二面角(?互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理(8.距離?點到平面的距離(?直線到與它平行平面的距離(?兩個平行平面的距離:兩個平行平面的公垂線、公垂線段(?異面直線的距離:異面直線的公垂線及其性質(zhì)、公垂線段((四)簡單多面體與球9.棱柱與棱錐?多面體(?棱柱與它的性質(zhì):棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性質(zhì)(?平行六面體與長方體:平行六面體、直平行六面體、長方體、正四棱柱、正方體;平行六面體的性質(zhì)、長方體的性質(zhì)(?棱錐與它的性質(zhì):棱錐、正棱錐、棱錐的性質(zhì)、正棱錐的性質(zhì)(?直棱柱和正棱錐的直觀圖的畫法(10.多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)?簡單多面體的歐拉公式(?正多面體(11.球第50頁共59頁?球和它的性質(zhì):球體、球面、球的大圓、小圓、球面距離(?球的體積公式和表面積公式(二、常用結(jié)論、方法和公式1.從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若?AOB=?AOC，則點A在平面?BOC上的射影在?BOC的平分線上;2.已知:直二面角M,AB,N中，，??，異面直線AE與BF所成的角為，則3.立平斜公式:如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，BC和AB的射影BA1成，設(shè)?則;4.異面直線所成角的求法:(1)平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線;(2)補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系;5.直線與平面所成的角斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵;6.二面角的求法(1)定義法:直接在二面角的棱上取一點(特殊點)，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性;(2)三垂線法:已知二面角其中一個面內(nèi)一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角;(3)垂面法:已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直;(4)射影法:利用面積射影公式S射,S原其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫出平面角;特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法(尤其要考慮射影法)。7.空間距離的求法(1)兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進行計算;(2)求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解;(3)求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作，因此，確定已知面的垂面是關(guān)鍵;二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解;8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)底;9.已知:長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為則有BC1c第51頁共59頁10.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長;12.柱體的體積公式:柱體(棱柱、圓柱)的體積公式是V柱體=Sh.其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.13.直棱柱的側(cè)面積和全面積S直棱柱側(cè)表示底面周長，表示側(cè)棱長)14(棱錐的體積:V棱錐=43S棱柱全=S底+S側(cè)13Sh，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。15.球的體積公式，表面積公式;掌握球面上兩點A、B間的距離求法:(1)計算線段AB的長，(2)計算球心角?AOB的弧度數(shù);(3)用弧長公式計算劣弧AB的長;高中數(shù)學第十章-排列組合二項定理考試(解:m種)二、排列.對排列定義的理解.1.?定義:從n個不同的元素中任取m(m?n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同((((((元素中取出m個元素的一個排列.?相同排列.如果;兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.?排列數(shù).第52頁共59頁n從n個不同元素中取出m(m?n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的m一個排列.從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號An表示.?排列數(shù)公式:m注意:規(guī)定0!=1mmmnm0n規(guī)定2.含有可重元素的排列問題.((((((對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是:設(shè)重集S有k個不同元素a1，a2,…...an其中限重復數(shù)為n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,則S的排列個數(shù)等于n!n1!n2!...nk!.例如:已知數(shù)字3、2、2，求其排列個數(shù)n數(shù),其排列個數(shù)n又例如:數(shù)字5、5、5、求其排列個三、組合.1.?組合:從n個不同的元素中任取m(m?n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.?組合數(shù)公式:mnAAmnmmm!m?兩個公式:?mn;?C?從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出n-m個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.(或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有Cm)?根據(jù)組合定義與加法原理得;在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有CCmn，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有種，依分類原理有C.?排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系:都是從n個不同元素中取出m個元素.區(qū)別:前者是,排成一排‖，后者是,并成一組‖，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.??幾個常用組合數(shù)公式第53頁共59頁2413mmmm012nn5kkC?常用的證明組合等式方法例.i.裂項求和法.如:(利用1n!)ii.導數(shù)法.iii.數(shù)學歸納法.iv.倒序求和法.v.遞推法(即用Cm遞推)如:33334.vi.構(gòu)造二項式.如:證明:這里構(gòu)造二項式其中xn的系數(shù)，左邊為n10212n2n2，而右邊n212n2n2n四、排列、組合綜合.1.I.排列、組合問題幾大解題方法及題型:?直接法.?排除法.?捆綁法:在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們,局部‖的排列.它主要用于解決,元素相鄰問題‖，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某個元素必相鄰的排列有個.其中是一個,整體排列‖，而Amm則是,局部排列‖.2又例如?有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數(shù)為12?有n件不同商品，若其中A、B排在一起有?有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有注:??區(qū)別在于?是確定的座位，有A種;而?的商品地位相同，是從n件不同商品任22取的2個，有不確定性.?插空法:先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決,元素不相鄰問題‖.例如:n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少,(插空法)，當n–m+1?m,即時有意義.2共59頁第54頁?占位法:從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素;從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用,先特殊后一般‖的解題原則.?調(diào)序法:當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是:先將n個元素進行全排列有Ann種，個元素的全排列有Amm種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有AnAmmn種排列方法.例如:n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法,m解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n=n～/m～;解法二:(比例分配法)An/Am.n?平均法:若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有CnknnnAkk.例如:從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法,有C242!(平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了)又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少,(P1082)C20/2!注意:分組與插空綜合.例如:n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法,有，當n–m+1?m,即時有意義.2mm?隔板法:常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.例如:的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為x1,x2,x3,x4顯然，故(x1,x2,x3,x4)是方程的一組解.反之，方程的任何一組解(y1,y2,y3,y4)，對應(yīng)著惟一的一