PAGEPAGE1直接證明與間接證明____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________了解直接證明的一種基本方法──綜合法、分析法；了解間接證明的一種基本方法──反證法；(3)了解綜合法、分析法、反證法的思考過(guò)程與特點(diǎn),會(huì)用綜合法、分析法、反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題.類型一、直接證明：一.綜合法1.定義：_______________________________________________________________2.思維特點(diǎn)：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法3.框圖表示：(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論)二.分析法1.定義：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.思維特點(diǎn)：執(zhí)果索因步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法3.框圖表示：(用Q表示要證明的結(jié)論,Pn表示充分條件)4.分析法的書寫格式：例3求證:例3求證:證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以要證只需證展開(kāi)得只需證只需證因?yàn)轱@然成立，所以要證：??只要證：??只需證：????顯然成立上述各步均可逆所以,結(jié)論成立類型二、反證法：反證法：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________（2）反證法的一般步驟：a、反設(shè)：假設(shè)命題結(jié)論不成立（即假設(shè)結(jié)論的反面成立）；b、歸繆：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；c、下結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定命題成立。（3）應(yīng)用反證法的情形：①直接證明困難;②需分成很多類進(jìn)行討論．③結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無(wú)窮多個(gè)”類命題；④結(jié)論為“唯一”類命題；（4）關(guān)鍵在于歸繆矛盾：a、與已知條件矛盾；b、與公理、定理、定義矛盾；c、自相矛盾。題型一綜合法：例1已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：例2在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b，c,且A,B,C成等差數(shù)列,a,b，c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.練習(xí)：1、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.2、已知求證題型二分析法：例2若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc。練習(xí):在銳角中,求證:題型三反證法：例1、已知a是整數(shù)，2能整除，求證：2能整除a.例3、求證：是無(wú)理數(shù)。練習(xí)：已知，，求證：不能同時(shí)大于。1、已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：2、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：3、若實(shí)數(shù)，求證：已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤5、設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2013·陜西理，7)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定2．(2013·浙江理，3)已知x、y為正實(shí)數(shù)，則()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy3．設(shè)a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有()A．1≤ab≤eq\f(a2＋b2,2) B．a(chǎn)b<1<eq\f(a2＋b2,2)C．a(chǎn)b<eq\f(a2＋b2,2)<1 D．eq\f(a2＋b2,2)<1<ab4．設(shè)0<x<1，則a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一個(gè)是()A．a(chǎn) B．bC．c D．不能確定[點(diǎn)評(píng)]可用特值法：取x＝eq\f(1,2)，則a＝1，b＝eq\f(3,2)，c＝2.5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A、B、C的大小關(guān)系為()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A二、填空題7．已知a>0，b>0，m＝lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)，n＝lgeq\f(\r(a＋b),2)，則m與n的大小關(guān)系為_(kāi)_______．8．設(shè)a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，則a、b、c的大小關(guān)系為_(kāi)_______．9．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則實(shí)數(shù)a、b應(yīng)滿足的條件是________．三、解答題10．(2013·華池一中高三期中)已知n∈N*，且n≥2，求證：eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1).能力提升一、選擇題11．(2013·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對(duì)任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，則()A．3f(ln2)>2f(ln3) B．3f(ln2)<2f(ln3)C．3f(ln2)＝2f(ln3) D．3f(ln2)與2f(ln3)的大小不確定12．要使eq\r(3,a)－eq\r(3,b)<eq\r(3,a－b)成立，a、b應(yīng)滿足的條件是()A．a(chǎn)b<0且a>b B．a(chǎn)b>0且a>bC．a(chǎn)b<0且a<b D．a(chǎn)b>0且a>b或ab<0且a<b13．(2014·哈六中期中)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x、y滿足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)14．(2014·廣東梅縣東山中學(xué)期中)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且對(duì)任意m、n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；給出下列三個(gè)結(jié)論：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()個(gè)．A．3 B．2C．1 D．0二、填空題15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos(α－β)＝________.三、解答題16．已知a、b、c表示△ABC的三邊長(zhǎng)，m＞0，求證：eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).17．求證：eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).備用例題1：已知求證：備用例題2:已知，求證：cos－sin＝3(cos＋sin)．一、選擇題1．否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，正確的是()A．有一個(gè)解B．有兩個(gè)解C．至少有三個(gè)解D．至少有兩個(gè)解2．否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)的正確反設(shè)為()A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)B．a(chǎn)、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°4．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)5．命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是()A．a(chǎn)<bB．a(chǎn)≤bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)≥b6．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線7．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則三數(shù)a＋eq\f(1,b)，c＋eq\f(1,a)，b＋eq\f(1,c)中()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一個(gè)不大于－2D．至少有一個(gè)不小于－28．若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則()A．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行B．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直C．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交D．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面9．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)了”，四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝eq\f(xn(x\o\al(2,n)＋3),3x\o\al(2,n)＋1)(n＝1,2…)，試證“數(shù)列{xn}或者對(duì)任意正整數(shù)n都滿足xn<xn＋1，或者對(duì)任意正整數(shù)n都滿足xn>xn＋1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)，應(yīng)為()A．對(duì)任意的正整數(shù)n，都有xn＝xn＋1B．存在正整數(shù)n，使xn＝xn＋1C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1D．存在正整數(shù)n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0二、填空題11．命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是________．12．用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”，那么反設(shè)的內(nèi)容是________________．13．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.正確順序的序號(hào)排列為_(kāi)___________．14．用反證法證明質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)的過(guò)程如下：假設(shè)______________．設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.顯然，p不含因數(shù)p1、p2、…、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù)．這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、…、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設(shè)不成立．于是，質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)．三、解答題15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求證