2024屆眉山市重點(diǎn)中學(xué)高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．以下四個(gè)命題：①兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1；②在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數(shù)據(jù)的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．12．若雙曲線：（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程為（）A． B． C． D．3．已知為等差數(shù)列，若，，則()A．1 B．2 C．3 D．64．我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中，有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”這個(gè)問(wèn)題用今天的白話敘述為：有一位善于織布的女子，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這位女子每天分別織布多少？根據(jù)上述問(wèn)題的已知條件，若該女子共織布尺，則這位女子織布的天數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．15．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若圓錐軸截面面積為，母線與底面所成角為60°，則體積為()A． B． C． D．7．已知命題，，則是（）A．， B．，.C．， D．，.8．在中，，，，點(diǎn)滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．79．已知為等比數(shù)列，，，則（）A．9 B．－9 C． D．10．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為()A．或 B． C． D．或11．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知，且，則的值是____________．14．平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),己知A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為15．某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)班共有10人，分為甲、乙兩個(gè)小組，在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示，若甲組5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為81，乙組5名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為73，則x-y的值為_(kāi)_______．16．已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（1）求和的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于，與交于，求證：.18．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上最小值.19．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：.21．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值；（2）設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進(jìn)行判斷,

②根據(jù)相關(guān)指數(shù)的值的性質(zhì)進(jìn)行判斷,

③根據(jù)方差關(guān)系進(jìn)行判斷,

④根據(jù)點(diǎn)滿足回歸直線方程，但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，而回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，可進(jìn)行判斷.【詳解】①若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,故①正確;

②用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯(cuò)誤;

③若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因?yàn)辄c(diǎn)滿足回歸直線方程，但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，即，不一定成立，而回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯(cuò)誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性，擬合性檢驗(yàn)，兩個(gè)線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系，以及兩個(gè)變量的線性回歸方程，注意理解每一個(gè)量的定義，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

求出直線的斜率和方程，代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)，可得的方程組，求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，直線的斜率為，可得直線的方程為，把直線的方程代入雙曲線，可得，設(shè)，則，由的中點(diǎn)為，可得，解答，又由，即，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中解答中屬于運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)和聯(lián)立方程組，合理利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.3、B【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出．【詳解】∵{an}為等差數(shù)列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問(wèn)題.【詳解】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，在等比數(shù)列中，公比，前項(xiàng)和為，，，求的值．因?yàn)椋獾?，，解得．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計(jì)算，對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題很有幫助.5、C【解析】

化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】，故，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)和對(duì)應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、D【解析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由軸截面面積為可得半徑，再利用圓錐體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由已知，，解得，所以圓錐的體積.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積的計(jì)算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.7、B【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可得，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【詳解】在中，，，，點(diǎn)滿足，可得則==【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．9、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設(shè)等比數(shù)列的公比為,則當(dāng)時(shí),,∴；當(dāng)時(shí),,∴.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】試題分析：因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點(diǎn)：純虛數(shù)11、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，結(jié)合的取值范圍求出的值，由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，.將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得，得，，，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由于，且，則，得，則．14、【解析】

根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點(diǎn)共線，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果【詳解】因?yàn)?且α+β=1，所以A,B,C三點(diǎn)共線，因此點(diǎn)C的軌跡為直線AB:【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理以及直線點(diǎn)斜式方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.15、【解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念，求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為，解得；又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73，則；.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù)，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在第二象限，得，且，從而求出實(shí)數(shù)的范圍．【詳解】解：∵復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，∴，且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，解不等式，且是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）,；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可設(shè)．結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為．半徑，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的斜率為，則其方程為，由弦長(zhǎng)公式可得．聯(lián)立直線與拋物線的方程有．設(shè)，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得．則．即．詳解：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則．已知在直線上，故可設(shè)．因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)榕c軸相切，故半徑，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的斜率為，那么其方程為，則到的距離，所以．由消去并整理得：．設(shè)，則，那么．所以．所以，即．點(diǎn)睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．18、(Ⅰ)見(jiàn)解析；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，并且解出它的零點(diǎn)x=，再分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）分三種情況加以討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較，即可得到當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是-a；當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是ln2-2a．【詳解】函數(shù)的定義域

為．

因?yàn)?，令，可得?/p>

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述：可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

的最小值是當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，的最小值是當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．

又，

當(dāng)時(shí)，的最小值是；

當(dāng)時(shí)，的最小值為綜上所述，結(jié)論為當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是.【點(diǎn)睛】求函數(shù)極值與最值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小19、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，，則且為的中點(diǎn)，又∵為的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，故平面．（2）由平面，得，．以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，．取平面的一個(gè)法向量為，由，得：，令，得同理可得平面的一個(gè)法向量為∵平面平面，∴解得，得，又，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以，直線與平面所成角的正弦值是．20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）由已知可得，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，由，可求，時(shí)，由，可證，驗(yàn)證時(shí)，不等式也成立，即可得證.【詳解】（1）由可得，，即，所以，解得，（2）當(dāng)時(shí)，，,當(dāng)時(shí)，，綜上，由可得遞增，，時(shí)；所以，綜上：故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，利用放縮法證明不等式，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）要證明，只需證明即可；（2）有3個(gè)根，可轉(zhuǎn)化為有3個(gè)根，即與有3個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可.【詳解】（1）令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.（2）由已知，，依題意，有3個(gè)零點(diǎn)，即有3個(gè)根，顯然0不是其根，所以有3個(gè)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，作出的圖象，易得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.22、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1），分，，三種情況推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.【詳解】（1