八年級第一學(xué)期數(shù)學(xué)知識點(diǎn)匯編第一章三角形的初步認(rèn)識一、三角形的基本概念三角形:不在同一條直線上的三條線段首尾相接所組成的圖形。二、三角形的分類:1.按角分:銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形(定義，區(qū)別)。2.按邊分:不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。三、三角形的基本性質(zhì)1.三角形的三角形的一個外角等于和他不相鄰的兩個銳角三角形的三條高在三角形的14.全等三角形的判定條件SSS——三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;SAS——一個角和夾這個角的兩邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;ASA——兩個角和這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;AAS——兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。問題:為什么SSA不可以判定,HL——直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。用符號?表示兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上。(二)靈活運(yùn)用全等判定定理1、判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應(yīng)相等，因此在尋找全等的條件時，總是先尋找邊相等的可能性。2、要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。3、要善于靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€三角形全等。(1)已知條件中有兩角對應(yīng)相等，可找:?夾邊相等(ASA)?任一組等角的對邊相等(AAS)(2)已知條件中有兩邊對應(yīng)相等，可找?夾角相等(SAS)?第三組邊也相等(SSS)(3)已知條件中有一邊一角對應(yīng)相等，可找?任一組角相等(AAS或ASA)?夾等角的另一組邊相等(SAS)六、尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖:在幾何作圖中，我們把用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，簡稱尺規(guī)作圖。1.基本作圖作等量線段、作等量角、作線段的和差倍、作角的和差倍、2.作線段的中垂線、作角的平分線、中垂線角平分線在一起作、3.作三角形知三邊、知兩邊夾角、知兩角夾邊、知一邊及該邊上的高作法:有規(guī)定名稱時需格外注意字母的標(biāo)注注意務(wù)必考慮三角形的各要素(類比于三角形全等的判定條件)。七、定義、命題與證明1.定義:能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語的意義的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義。2.命題:定義:判斷某一件事情的句子結(jié)構(gòu):由條件和結(jié)論兩部分組成。句式改寫:如果??那么??分類:真命題通過推理的方式來判斷、人們經(jīng)過長期實(shí)踐公認(rèn)為正確的假命題通過舉反例(具備命題的條件但不具備命題的結(jié)論的實(shí)例)3.互逆命題原命題、逆命題互逆定理原定理、逆定理每個命題都有它的逆命題，但每個真命題的逆命題不一定是真命題。4.證明:從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、基本事實(shí)、定理(包括推論)、一步一步推得結(jié)論成立的推理過程。證明幾何命題的格式:(1)按題意畫出圖形(2)分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在已知中寫出條件，在求證中寫出結(jié)論(3)在證明中寫出推理過程。在解決幾何問題時，有時需要添加輔助線。添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常畫成虛線。2第二章特殊三角形一、圖形的軸對稱軸對稱圖形定義:一個沿著一條直線折疊后，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合圖形。對稱軸:定義、位置的確定、條數(shù)、對稱點(diǎn)、作圖、性質(zhì):對稱軸垂直平分連結(jié)兩個對稱點(diǎn)的線段圖形的軸對稱定義、性質(zhì):成軸對稱的兩個圖形是全等圖形。二、等腰三角形1(等腰三角形的性質(zhì):邊——等腰三角形兩腰相等;角——等腰三角形兩底角相等(即在同一個三角形中，等邊對等角);線——等腰三角形三線合一，這三線是指頂角的平分線、底邊上的高線、底邊上的中線，也就是說一條線段充當(dāng)三種身份;是常添的輔助線等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸有1條或3條。2(等腰三角形的判定:邊——有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;(注意:有兩腰相等的三角形是等腰三角形，這句話對嗎,)角——有兩30?角所對的直角邊等于斜邊的一半。2(直角三角形的判定:角——有一個角是直角的三角形是直角三角形;角——有兩個角互余的三角形是直角三角形;邊——較小兩邊的平方和等于最長邊的平方的三角形是直角三角形。邊——一條邊上的中線等于該邊長度的一半，那么該三角形是直角三角形，(但不能直接拿來判斷某三角形是直角三角形，但有助于解題。)3(直角三角形全等的判定:邊——斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。四、重點(diǎn)解讀1(學(xué)習(xí)特殊三角形，應(yīng)重點(diǎn)分清性質(zhì)與判定的區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言，根據(jù)邊角關(guān)系判斷一個圖形形狀通常用的是判定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關(guān)系3那就是性質(zhì);2(等腰三角形的腰是在已知一個三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一個三角形是等腰三角形時千萬不能將理由說成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角形”;3(直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來證明線段之間的相等關(guān)系，而且它也是今后研究直角三角形問題較為常用的輔助線，熟練掌握可以為解題帶來不少方便;4(勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關(guān)系，解題時應(yīng)注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母“c”就認(rèn)定是斜邊。不要，就認(rèn)為另一邊一定是5;一看到直角三角形兩邊長為3和45(“HL”是僅適用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知兩個三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當(dāng)然，以前學(xué)過的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法對于直角三角形全等的判定同樣有效。切記!!!兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，也就是邊邊角，沒有邊邊角定理。因此在證明全等時千萬不要這樣做。本章解題時用到的主要數(shù)學(xué)思想方法:?分類討論思想(特別是在語言模糊的等腰三角形中所求的邊、角、周長等)?方程思想:主要用在折疊之后產(chǎn)生直角三角形時，運(yùn)用勾股定理列方程;還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長?等面積法(4)解決幾何問題時，主要從幾何圖形邊、角、線三方面入手，分別從題中、圖中找已知條件4第三章一元一次不等式的知識點(diǎn)一.不等式的概念:一般的，用符號“,”(或“?”)，“,”(或“?”),“?”連接的式子叫做不等式。不等式中可以含有未知數(shù)，也可以不含)用不等號連接的，含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式。二、不等式的性質(zhì):性質(zhì)1:如果a>b,b>c那么a>c性質(zhì)2:如果a>b,那么a?c>b?c即不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。性質(zhì)3:如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c)如果a>b，c<0，那么ac<bc(或a/c<b/c)即不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。注;不等式的兩邊都乘以0,不等號變等號。三、.一元一次不等式:1.左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1次的不等式，叫做一元一次不等式。2.一元一次不等式的解集:(1)能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。(2)一個有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。(3)求一元一次不等式解集的過程叫做解不等式。(4)不等式(組)的特殊解——有限的一個或幾個解。四、解一元一次不等式的一般步驟:(每步的依據(jù))，(每步需注意的事項(xiàng))1、去分母(不等式性質(zhì)2)(沒分母的也要乘，多項(xiàng)式分子放進(jìn)括號(去括號法則)(負(fù)數(shù)乘進(jìn)去時每項(xiàng)都變號)3、移項(xiàng)(不等式性質(zhì)1)(移動的項(xiàng)要變號)4、合并同類項(xiàng)(合并同類項(xiàng)法則)(運(yùn)算法則要熟練)5、將未知數(shù)的系數(shù)化為1(不等式性質(zhì)2)(乘、除以負(fù)數(shù)時要變向)6、在數(shù)軸上表示不等式的解集五.一元一次不等式組:(1)一般的，關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組。(2)一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。5(3)不等式組的解的求解過程分別求出每個不等式的解、把兩個不等式的解表示在同一數(shù)軸上、取公共部分作為不等式組的解(若沒有公共部分則無解)?？谠E:大大取大，小小取小，大小小大兩頭夾，大大小小是無解六、列一元一次不等式(組)解應(yīng)用題步驟參照列一元一次方程解應(yīng)用題，只是最后答的時候?qū)懙臄?shù)值可能要用到取近似數(shù)的各種方法。方案設(shè)計(jì)題主要通過解不等式組解決。兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)也可以通過解不等式組解決。七.代數(shù)式大小的比較:(1)利用數(shù)軸法;右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的大(2)直接比較法;照法則比較就是了(3)差值比較法;差大于等于0時，被減數(shù)大于等于減數(shù)(4)商值比較法;商大于等于1時，被除數(shù)大于等于除數(shù)(5)利用特殊比較法。(在涉及代數(shù)式的比較時，還要適當(dāng)?shù)氖褂梅诸愑懻摲?2.不等式解集的表示方法:(1)用不等式表示:一般的，一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的不等式表達(dá)出來，(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地說明不等式有無限多個解，用數(shù)軸表示不等式的解集要注意兩點(diǎn):一是定邊界線;二是定方向。1.一元一次不等式的定義:(1)不等式左右兩邊都是整式;(2)不等式中只含一個未知數(shù);(3)未知數(shù)最高次數(shù)是1。注:一元一次不等式的解集不是具體的幾個數(shù)，而是一個范圍，集合。2.一元一次不等式與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用:一般先求出函數(shù)表達(dá)式，再化簡不等式求解。3.解一元一次不等式組的步驟:求出每個不等式的解集;(1)(2)求出每個不等式的解集的公共部分;(一般利用數(shù)軸)(3)用代數(shù)符號語言來表示公共部分。(也可以說成是下結(jié)論)4.幾種特殊的不等式組的解集:(1)關(guān)于x不等式(組):{x?a}{x?a}的解集為:x=a(2)關(guān)于x不等式(組):{x>a}{x<a}的解集是空集。6第四章圖形與坐標(biāo)一、確定位置的方法:確定物體在平面上的位置有兩種常用的方法:1、有序數(shù)對法:用一對有序?qū)崝?shù)確定物體的位置。這種確定方法要注意有序，要規(guī)定將什么寫在前，什么寫在后。2、方向、距離法:用方向和距離確定物體的位置(或稱方位)。這種確定方法要注意參照物的選擇，語言表達(dá)要準(zhǔn)確、清楚。二、平面直角坐標(biāo)系概念:在平面x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，表示為(x，0);y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，表示為(0，y)七、圖形“縱橫向伸縮”的變化規(guī)律:1、將圖形上各個點(diǎn)的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)不變，而橫坐標(biāo)分別變成原來的n倍時，所得的圖形比原來的圖形在橫向:?當(dāng)n>1時，伸長為原來的n倍;?當(dāng)0<n<1時，壓縮為原來的n倍。2、將圖形上各個點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)分別變成原來的n倍時，所得的圖形比原來的圖形在縱向:?當(dāng)n>1時，伸長為原來的n倍;?當(dāng)0<n<1時，壓縮為原來的n倍。7八、圖形“縱橫向位置”的變化規(guī)律:1、將圖形上各個點(diǎn)的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)不變，而橫坐標(biāo)分別加上a，所得的圖形形狀、大小不變，而位置向右(a>0)或向左(a<0)平移了|a|個單位。2、將圖形上各個點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)分別加上b，所得的圖形形狀、大小不變，而位置向上(b>0)或向下(b<0)平移了|b|個單位。平移變換的坐標(biāo)變化規(guī)律是:左正右負(fù)，上正下負(fù)九、圖形“倒轉(zhuǎn)與對稱”的變化規(guī)律:1、將圖形上各個點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)分別乘以-1，所得的圖形與原來的圖形關(guān)于x軸對稱。(關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn):橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù))2、將圖形上各個點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別乘以-1，所得的圖形與原來的圖形關(guān)于y軸對稱。(關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn):縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù))3、將圖形上各個點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別乘以-1，縱坐標(biāo)分別乘以-1，所得的圖形與原來的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。(關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn):橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù))十、圖形“擴(kuò)大與縮小”的變化規(guī)律:將圖形上各個點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)分別變原來的n倍(n>0)，所得的圖形與原當(dāng)圖形相比，形狀不變;?當(dāng)n>1時，對應(yīng)線段大小擴(kuò)大到原來的n倍;?0<n<1時，對應(yīng)線段大小縮小到原來的n倍。8第五章一次函數(shù)(一)函數(shù)1、變量:在某個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。常量:在某個變化過程中固定不變的量。2、函數(shù):一般的，在某個變化過程中，設(shè)有兩個變量x、y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數(shù);x稱為自變量。(判斷y是否為x的函數(shù)，只要看x取值確定的時候，y是否有唯一確定的值與之對應(yīng))3、自變量的取值范圍:，一個函數(shù)中的自變量允許取值的范圍。4、確定函數(shù)自變量的取值范圍的方法:(1)關(guān)系式為整式時，為全體實(shí)數(shù);(2)關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零;(3)關(guān)系式含有二次根式時，被開平方式大于等于等于零;(4)關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零;(5)實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的解析式:用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做函數(shù)的解析式6、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面?k不為零?x指數(shù)為1?b取零當(dāng)k>0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大;當(dāng)k<09時，?直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小((1)解析式:y=kx(k是常數(shù)，k?0)(2)必過點(diǎn):(0，0)、(1，k)(3)走向:k>0時，圖像經(jīng)過一、三象限;k<0時，?圖像經(jīng)過二、四象限(4)增減性:k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小(5)傾斜度:|k|越大，直線越陡峭，越接近y軸;|k|越小，直線越平坦，越接近x軸3、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx，b(k,b是常數(shù)，k?0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時，y=kx，b即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注:一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b(k不為零)?k不為零?x指數(shù)為1?b取任意實(shí)數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0，b)和(-b，0)兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直k線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.(當(dāng)b>0時，向上平移;當(dāng)b<0時，向下平移)(1)解析式:y=kx+b(k、b是常數(shù)，(2)必過點(diǎn):(0，b)和(-(3)走向:k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限;k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限;b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限b，0)k直線經(jīng)過第一、二、三象限直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第二、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限(4)增減性:k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小.(