二次函數(shù)中周長(zhǎng)最小問題專題訓(xùn)練1.如圖，已知拋物線y＝ax2－4x＋c經(jīng)過點(diǎn)A（0，－6）和B（3，－9）．（1）求拋物線的解析式；（2）寫出拋物線的對(duì)稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）的坐標(biāo)；（4）在滿足（3）的情況下，在拋物線的對(duì)稱軸上尋找一點(diǎn)M，使得△QMA的周長(zhǎng)最?。甇OABxy-6-93解：（1）依題意有eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a×02－4×0＋c＝－6,a×32－4×3＋c＝－9))即eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(c＝－6,9a－12＋c＝－9)) 2分∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a＝1,c＝－6)) 4分∴拋物線的解析式為：y＝x2－4x－6 5分（2）把y＝x2－4x－6配方，得y＝(x－2)2－10∴對(duì)稱軸方程為x＝2 7分頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，－10） 10分（3）由在拋物線上得＝2－4－6 12分即2－5－6＝0∴1＝6或2＝－1（舍去） 13分∴66∵點(diǎn)、均在拋物線上，且關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱∴－2615分（4）連接、，直線與對(duì)稱軸x＝2相交于點(diǎn)由于、兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，此時(shí)的交點(diǎn)能夠使得△QMA的周長(zhǎng)最小 17分OABxy-6-93OABxy-6-93PQM則eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(b＝－6,6k＋b＝6))∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k＝2,b＝－6))∴直線的解析式為：y＝2x－618分設(shè)點(diǎn)（2，）則有＝2×2－6＝－219分此時(shí)點(diǎn)（2，－2）能夠使得△QMA的周長(zhǎng)最小20分2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x－與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2－x＋c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、C，與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若P是拋物線上一點(diǎn)，且△ABP為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；yBOACDx（3）在直線AC上是否存在點(diǎn)QyBOACDx（1）∵直線y＝－x－與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于C∴A（－1，0），C（0，－）∵點(diǎn)A，C都在拋物線上∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a＋＋c＝0,c＝－))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a＝,c＝－))∴拋物線的解析式為y＝x2－x－＝(x－1)2－∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，－）（2）令x2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3∴B（3，0）∴AB2＝(1＋3)2＝16，AC2＝12＋()2＝4，BC2＝32＋()2＝12∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形∴P1（0，－）yBOACDxB′QH由拋物線的對(duì)稱性可知P2yBOACDxB′QH（3）存在．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)B′，使B′C＝BC，連接B′D交直線AC于點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)就是所求的點(diǎn)過點(diǎn)B′作B′H⊥x軸于H在Rt△BOC中，∵BC＝＝，∴BC＝2OC∴∠OBC＝30°∴B′H＝BB′＝BC＝，BH＝B′H＝6，∴OH＝3∴B′（－3，－）設(shè)直線B′D的解析式為y＝kx＋b，則：eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(－＝－3k＋b,－＝k＋b))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k＝,b＝－))聯(lián)立eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(y＝－x－,y＝x－))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x＝,y＝－))∴Q（，－）故在直線AC上存在點(diǎn)Q，使得△QBD的周長(zhǎng)最小，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，－）3.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝3，OB＝4，D為邊OB的中點(diǎn)．（Ⅰ）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（Ⅱ）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．OOABxyCDOABxyCDED′（備用圖）解：（Ⅰ）如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′與x軸交于點(diǎn)E，連接DEOABxyCDED′圖1E′若在邊OA上任取點(diǎn)E′（與點(diǎn)E不重合），連接OABxyCDED′圖1E′由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E＋CE＝DE＋CE可知△CDE的周長(zhǎng)最小∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D為邊OB的中點(diǎn)∴BC＝3，D′O＝DO＝2，D′B＝6∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽R(shí)t△D′BC，∴＝∴OE＝·BC＝×3＝1∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0） 6分OABxyCDED′圖2FG（Ⅱ）如圖2，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，在CB邊上截取CG＝2，連接D′G與x軸交于點(diǎn)OABxyCDED′圖2FG又DC、EF的長(zhǎng)為定值，∴此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽R(shí)t△D′BG，∴＝∴OE＝·BG＝·(BC－CG)＝×1＝∴OF＝OE＋EF＝＋2＝∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0） 10分3.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．E（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在直線EF上求一點(diǎn)H，使△CDH的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)；CBAOEFxyDG（3）若點(diǎn)CBAOEFxyDG解：（1）由題意，得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(16a－4b＋4＝0,4a＋2b＋4＝0))解得a＝－，b＝－1∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝－x2－x＋4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－1，） 4分（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M．因?yàn)镋F垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對(duì)稱點(diǎn)為B，連結(jié)BD交EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使DH＋CH最小，即最小為：DH＋CH＝DH＋HB＝BD＝＝CBAOEFxCBAOEFxyDGH∴△CDH的周長(zhǎng)最小值為CD＋DR＋CH＝ 6分設(shè)直線BD的解析式為y＝k1x＋b1，則eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(2k1＋b1＝0,－k1＋b1＝))解得k1＝－，b1＝3∴直線BD的解析式為y＝－x＋3由于BC＝，CE＝BC＝，Rt△CEG∽R(shí)t△COBCBAOEFxyDGHKN得CE:CO＝CG:CB，∴CGCBAOEFxyDGHKN同理可求得直EF的解析式為y＝x＋聯(lián)立eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(y＝－x＋3,y＝x＋))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x＝,y＝))故使△CDH的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)H坐標(biāo)為（，）（3）設(shè)K（t，－t2－t＋4），xF＜t＜xE．過K作x軸的垂線交EF于N則KN＝y(tǒng)K－yN＝－t2－t＋4－(t＋)＝－t2－t＋∴S△EFK＝S△KFN＋S△KNE＝KN(t＋3)+KN(1－t)＝2KN＝－t2－3t＋5＝－(t＋)2＋ 10分∴當(dāng)t＝－時(shí)，△EFK的面積最大，最大面積為，此時(shí)K（－，） 14分4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形ABCO，其頂點(diǎn)為A（0，1）、B（－，1）、C（－，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過E（－，1）、F（－，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′．（1）求折痕所在直線EF的解析式；（2）一拋物線經(jīng)過B、E、B′三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式；（3）能否在直線EF上求一點(diǎn)P，使得△PBC周長(zhǎng)最小？如能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．xxyOBCEFA解：（1）由于折痕所在直線EF過E（－，1）、F（－，0）∴tan∠EFO＝，直線EF的傾斜角為60°∴直線EF的解析式為：y－＝tan60°[x－(－)]化簡(jiǎn)得：y＝x＋4． 3分（2）設(shè)矩形沿直線EF向右下方翻折后，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′（x1，y1），C′（x2，y2）過B′作B′A′⊥AE交AE所在直線于A′點(diǎn)∵B′E＝BE＝，∠B′EF＝∠BEF＝60°∴∠B′EA′＝60°，∴A′E＝，B′A′＝3∴A與A′重合，B′在y軸上，∴x1＝0，y1＝－2，即B′（0，－2）【此時(shí)需說明B′（x1，y1）在y軸上】 6分設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝ax2＋bx＋c∵拋物線經(jīng)過B（－，1）、E（－，1）、B′（0，－2）∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(27a－b＋c＝1,3a－b＋c＝1,c＝－2))解得∴該二次函數(shù)解析式為：y＝－x2－x－2 9分（3）能，可