復(fù)合材料力學(xué)第三章引言簡單層板：層合纖維增強復(fù)合材料的基本單元件宏觀力學(xué)性能：只考慮簡單層板的平均表觀力學(xué)性能，不討論復(fù)合材料組分之間的相互作用對簡單層板來說，由于厚度與其他方向尺寸相比較小，因此一般按平面應(yīng)力狀態(tài)進行分析，只考慮單層板面內(nèi)應(yīng)力，不考慮面上應(yīng)力，即認為它們很小，可忽略在線彈性范圍內(nèi)AnisotropicIsotropyOrthotropyFailureCriterion第2頁,共93頁，2024年2月25日，星期天傳統(tǒng)材料對各向同性材料來說，表征他們剛度性能的工程彈性常數(shù)有：E,G,vE：拉伸模量G：剪切模量V：泊松比其中獨立常數(shù)只有2個第3頁,共93頁，2024年2月25日，星期天各向異性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變的廣義虎克定律對簡單層板來說，由于厚度與其他方向尺寸相比較小，因此一般按平面應(yīng)力狀態(tài)進行分析只考慮單層面內(nèi)應(yīng)力，不考慮單層面上應(yīng)力應(yīng)力分量，剛度矩陣，應(yīng)變分量柔度矩陣第4頁,共93頁，2024年2月25日，星期天各向異性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡寫了表達符號幾何方程第5頁,共93頁，2024年2月25日，星期天彈性力學(xué)知識xyz六個應(yīng)力分量主應(yīng)力和主方向材料往往在受力最大的面發(fā)生破壞，物體內(nèi)每一點都有無窮多個微面通過，斜面上剪應(yīng)力為零的面為主平面，其法線方向為主方向，應(yīng)力為主應(yīng)力，三個主應(yīng)力，包括最大和最小應(yīng)力第6頁,共93頁，2024年2月25日，星期天柔度分量、模量分量各向異性體彈性力學(xué)基本方程彈性體受力變形的位移與應(yīng)變關(guān)系本構(gòu)方程36第7頁,共93頁，2024年2月25日，星期天連續(xù)性方程或變形協(xié)調(diào)方程6第8頁,共93頁，2024年2月25日，星期天彈性力學(xué)問題的一般解法六個應(yīng)力分量六個應(yīng)變分量三個位移分量幾何關(guān)系（位移和應(yīng)變關(guān)系）物理關(guān)系（應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系）平衡方程15個方程求15個未知數(shù)——可解難以實現(xiàn)簡化或數(shù)值解法第9頁,共93頁，2024年2月25日，星期天各向異性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系回來繼續(xù)關(guān)注剛度矩陣36個分量第10頁,共93頁，2024年2月25日，星期天證明：Cij的對稱性

在剛度矩陣Cij中有36個常數(shù)，但在材料中，實際常數(shù)小于36個。首先證明Cij的對稱性：當應(yīng)力

i作用產(chǎn)生di的增量時，單位體積的功的增量為：dw=idi

由i=Cijdj得：dw=Cijdjdi

積分得：w=1/2Cij

j

iCij的腳標與微分次序無關(guān)：Cij=Cji剛度矩陣是對稱的，只有21個常數(shù)是獨立的同理第11頁,共93頁，2024年2月25日，星期天各向異性的、全不對稱材料——21個常數(shù)第12頁,共93頁，2024年2月25日，星期天單對稱材料如果材料存在對稱面，則彈性常數(shù)將會減少，例如z=0平面為對稱面，則所有與Z軸或3正方向有關(guān)的常數(shù)，必須與Z軸負方向有關(guān)的常數(shù)相同剪應(yīng)變分量

yz和xz僅與剪應(yīng)力分量yz

xz有關(guān)，則彈性常數(shù)可變?yōu)?3個，單對稱材料第13頁,共93頁，2024年2月25日，星期天單對稱材料y=0第14頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性材料隨著材料對稱性的提高，獨立常數(shù)的數(shù)目逐步減少如果材料有兩各正交的材料性能對稱面，則對于和這兩個相垂直的平面也有對稱面（第三個）——正交各向異性——9個獨立常數(shù)正應(yīng)力與剪應(yīng)變之間沒有耦合，剪應(yīng)力與正應(yīng)變之間沒有耦合不同平面內(nèi)的剪應(yīng)力和剪應(yīng)變之間也沒有相互作用第15頁,共93頁，2024年2月25日，星期天第16頁,共93頁，2024年2月25日，星期天橫觀各向同性材料如果材料中每一點有一個方向的力學(xué)性能都相同，那么為橫觀各向同性材料——5個獨立常數(shù)常常用來描述各向異性纖維和單向復(fù)合材料的彈性常數(shù)根據(jù)純剪切和拉伸與壓縮組合之間的等效推導(dǎo)而出1-2平面1，2可互換第17頁,共93頁，2024年2月25日，星期天各向同性材料如果材料完全是各向同性的，則2個獨立常數(shù)第18頁,共93頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系（柔度矩陣）與剛度矩陣一樣有相似的性質(zhì)剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣第19頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正軸、偏軸和一般情況第20頁,共93頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)材料對稱性的類型獨立常數(shù)數(shù)量非零分量個數(shù)（正軸）非零分量個數(shù)（偏軸）非零分量個數(shù)（一般）三斜軸系21363636單斜軸系13203636正交各向異性9122036橫觀各向同性5122036各向同性2121212各向異性材料的性質(zhì)更多地取決于非零分量的個數(shù)第21頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性材料的工程常數(shù)工程常數(shù)：可以用簡單試驗如拉伸、壓縮、剪切、彎曲等獲得具有很明顯的物理解釋這些常數(shù)比Cij或Sij中的各分量具有更明顯的物理意義、更直觀最簡單的試驗是在已知載荷或應(yīng)力的條件下測量相應(yīng)的位移或應(yīng)變，因此柔度矩陣比剛度矩陣更能直接測定第22頁,共93頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共93頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性材料用工程常數(shù)表示的柔度矩陣E1、E2、E3為1，2，3方向上的彈性模量

ij為應(yīng)力在j方向上作用時i方向的橫向應(yīng)變的泊松比G23,G31,G12為2-3，3-1，1-2平面的剪切應(yīng)變第25頁,共93頁，2024年2月25日，星期天

ij為應(yīng)力在i方向上作用時j方向的橫向應(yīng)變的泊松比正交各向異性材料只有九個獨立常數(shù)，現(xiàn)在有12個常數(shù)根據(jù)S矩陣的對稱性，有：第26頁,共93頁，2024年2月25日，星期天

12和2112LL12LL應(yīng)力作用在2方向引起的橫向變形和應(yīng)力作用在1方向引起的相同第27頁,共93頁，2024年2月25日，星期天剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣第28頁,共93頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共93頁，2024年2月25日，星期天彈性常數(shù)的限制——各向同性材料為保證E和G為正值，即正應(yīng)力或剪應(yīng)力乘以正應(yīng)變或剪應(yīng)變產(chǎn)生正功對于各向同性體承受靜壓力P的作用，體積應(yīng)變可定義為：如果K為負，靜壓力將引起體積膨脹第30頁,共93頁，2024年2月25日，星期天彈性常數(shù)的限制——

正交各向異性材料

情況很復(fù)雜，從熱力學(xué)角度來講，所有應(yīng)力做功的和應(yīng)為正值，聯(lián)系應(yīng)力應(yīng)變的矩陣應(yīng)該是正定的正定矩陣的行列式為正第31頁,共93頁，2024年2月25日，星期天彈性常數(shù)的限制——

正交各向異性材料C為正也可得到第32頁,共93頁，2024年2月25日，星期天彈性常數(shù)的限制——

正交各向異性材料為了用另外兩個泊松比表達

21的界限，繼續(xù)轉(zhuǎn)化對

32

13可得相似的表達式第33頁,共93頁，2024年2月25日，星期天彈性常數(shù)的限制——作用突破傳統(tǒng)材料的概念，大膽設(shè)計復(fù)合材料可以用來檢驗試驗數(shù)據(jù)，看他們在數(shù)學(xué)彈性模型的范圍內(nèi)是否與實際一致解微分方程時，確定合適的工程實用解第34頁,共93頁，2024年2月25日，星期天平面應(yīng)力狀態(tài)與平面應(yīng)變狀態(tài)132312第35頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系123只有三個應(yīng)力分量

1

2

12不為零柔度矩陣可簡化為：第36頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如果想求

3的話，還必須知道13

23工程常數(shù)12引起的推導(dǎo)第37頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系利用疊加原理：第38頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第39頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系4個獨立的常數(shù)，E1,E2,

12和G12對于各向同性材料第40頁,共93頁，2024年2月25日，星期天已知T300/648單層板的工程彈性常數(shù)為試求它的正軸柔量和正軸模量。令例題第41頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系上述的時定義在正交各向異性材料的主方向上的，但材料的主方向往往和幾何上適應(yīng)解題要求的坐標軸方向不一致斜鋪或纏繞12yx+

第42頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系用1-2坐標系中的應(yīng)力來表示x-y坐標系中的應(yīng)力的轉(zhuǎn)換方程為轉(zhuǎn)換的只是應(yīng)力，而與材料的性質(zhì)無關(guān)，同樣：很麻煩！第43頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系我們引入Router矩陣方便！第44頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系對于材料主軸和坐標系一致的特殊的正交各向異性簡單層板不一致時可簡寫[Q]的轉(zhuǎn)換矩陣第45頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系九個非零分量，四個獨立常數(shù)，但是廣義的正交各向異性層板剪應(yīng)變和正應(yīng)力，剪應(yīng)力和正應(yīng)變存在耦合第46頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系我們也可以用應(yīng)力來表示應(yīng)變第47頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系對各向異性簡單層板，同廣義正交各向同性簡單層板相類似新的工程常數(shù)——相互影響系數(shù)第一類相互影響系數(shù)：表示由ij平面內(nèi)的剪切引起i方向上的伸長第二類相互影響系數(shù)：表示由i方向上的正應(yīng)力引起ij平面內(nèi)的剪切復(fù)合材料的偏軸向（非材料主方向）拉伸引起軸向伸長和剪切變形第48頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

其他的各向異性彈性關(guān)系可以用來定義欽卓夫系數(shù)，其定義為：系數(shù)滿足互等關(guān)系：

該系數(shù)是對剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的，而泊松比是對正應(yīng)力和正應(yīng)變的，在平面應(yīng)力情況下，欽卓夫系數(shù)不影響簡單層板的面內(nèi)性能。第49頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系第50頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非主方向的xy坐標系下受力的正交各向異性簡單層板的表觀工程常數(shù)為：第51頁,共93頁，2024年2月25日，星期天簡單層板在任意方向上的

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系通過上述分析可見：正交各向異性簡單層板在與材料主方向成一定角度方向上受力時，表觀各向異性彈性模量是隨角度變化的瓊斯法則：材料性能的極值（最大值或最小值）并不一定發(fā)生在材料主方向設(shè)計材料第52頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的

不變量性質(zhì)剛度矩陣分量是四個獨立常數(shù)和角度的復(fù)雜函數(shù)Tsai&Pagano利用三角恒等式對剛度變換進行了有創(chuàng)造性的改造第53頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的

不變量性質(zhì)利用三角恒等式：第54頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的

不變量性質(zhì)第55頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的

不變量性質(zhì)

在繞垂直于簡單層板的軸旋轉(zhuǎn)時，其剛度分量的部分值是不變的，U1U2U5為常數(shù)項，不隨角度變化，有一定的含義，如拉伸模量，剪切模量等第56頁,共93頁，2024年2月25日，星期天舉例：0

/20

/20

/20

/2Q11常數(shù)低頻變量高頻變量不隨角度的變化，是剛度的有效量值Tsai&Pagano還提出：以后還要介紹第57頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的強度強度：重要概念復(fù)雜，在實際應(yīng)用中，幾乎沒有單純使用單層板的，主要是因為它們的橫向拉伸與剪切強度和剛度太弱，尤其是強度，因此，多一層合板的的形式應(yīng)用，即需要不同角度鋪層的單層板，簡單層板的強度分析是基礎(chǔ)。目的：要用材料主方向上的特征表征任意方向上的特征（不同于傳統(tǒng)材料的方法）實際應(yīng)力場和許用應(yīng)力場剛度方面的研究工作可以用來計算實際應(yīng)力場現(xiàn)在要研究確定許用應(yīng)力場第58頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的強度基本強度定義——材料主方向上Xt——縱向拉伸強度Xc——縱向壓縮強度Yt——橫向拉伸強度Yc——橫向壓縮強度S——面內(nèi)剪切強度與4個工程彈性常數(shù)一起，稱為復(fù)合材料的9個工程常數(shù)強度是應(yīng)力方向上的函數(shù)第59頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的強度各向同性材料的強度指標用于表示材料在簡單應(yīng)力下的強度塑性材料：屈服極限或條件屈服極限脆性材料：強度極限剪切屈服極限疲勞等正交各向異性材料強度隨方向不同變化拉伸和壓縮失效的機理不同面內(nèi)剪切強度也是獨立的第60頁,共93頁，2024年2月25日，星期天示例12考慮單向纖維簡單層板，假設(shè)強度為：其應(yīng)力場為：最大主應(yīng)力低于最大強度，但

2比Y大，在2方向上破壞第61頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的強度材料主方向上的剪切強度和拉伸與壓縮性能的差別無關(guān)，對于拉伸和壓縮性能不同的材料，不管剪應(yīng)力是正還是負，都具有相同的最大值非材料主方向的剪應(yīng)力的最大值依賴于剪應(yīng)力的符號對于作用在與材料主方向成45o的正和負的剪應(yīng)力的表觀剪切強度和剛度是不同的材料主方向上的基本資料如何轉(zhuǎn)換到其他有用的依賴于所考慮的應(yīng)力場坐標的方向第62頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的強度12121212+-+-材料主方向上的剪應(yīng)力與材料主方向上成45度角的的剪應(yīng)力第63頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定基本強度特性Xt——縱向拉伸強度；Xc——縱向壓縮強度Yt——橫向拉伸強度；Yc——橫向壓縮強度S——面內(nèi)剪切強度剛度特性為：E1——1-方向上的彈性模量；E2——2-方向上的彈性模量

12——-2/1，當1=，而其他應(yīng)力皆為零；

21——-1/2，當2=，而其他應(yīng)力皆為零；G12——在1-2平面內(nèi)的剪切模量第64頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定試驗的基本原則當載荷從零增至極限載荷或破壞載荷時，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系也應(yīng)該是線性的。一般來講，拉伸試驗的線性保持很好，而壓縮和剪切，尤其是剪切對大多數(shù)復(fù)合材料來說，是非線性的試驗中的關(guān)鍵，是使試件承受均勻的應(yīng)力，這對各向同性材料是容易的第65頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定正應(yīng)力和剪應(yīng)變剪應(yīng)力和正應(yīng)變正應(yīng)力和彎曲曲率彎曲應(yīng)力和正應(yīng)變耦合影響對正交各向異性材料當載荷作用在非材料主方向時，正交各向異性性能常常導(dǎo)致：第66頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定單向增強簡單層板在1-方向上的單向拉伸試驗12PP×

1

11E1

1極限=X測量

1、

2第67頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定單向增強簡單層板在2-方向上的單向拉伸試驗21PP×

2

21E2

2極限=Y測量

1、

2第68頁,共93頁，2024年2月25日，星期天剛度性能必須滿足互等關(guān)系式：測量的數(shù)據(jù)不準確；進行的計算有錯誤材料不能用線彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式描述如果不滿足第69頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定單向增強簡單層板在和1-方向成450角的單向拉伸試驗4502y11xPP

x

x1Ex測量

xG12是推導(dǎo)量根據(jù)第70頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定無端部效應(yīng)端部受到限制第71頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定對于剪切強度，不存在像剛度一樣的關(guān)系式

不能依賴于本試驗來決定極限剪應(yīng)力S，因為伴隨的剪切破壞并不引起純剪切變形，要考慮其他方法測量剪切強度的方法第72頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定惠特尼、帕加諾和派普斯描述的管子扭轉(zhuǎn)試驗xyTTt

xy第73頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定惠特尼、斯坦斯巴杰和豪厄爾（Whitney,Stansbarger,Idowell)所描述的軌道剪切試驗端部效應(yīng)比實際值低廣泛應(yīng)用軌道剪切試驗-雙軌或三軌第74頁,共93頁，2024年2月25日，星期天強度和剛度的試驗確定肖克提供的十字梁試驗中心局部有剪切不太合適第75頁,共93頁，2024年2月25日，星期天Iosipescu剪切試驗中間斷面剪應(yīng)力平均分布而不是拋物線分布缺口沒有應(yīng)力集中第76頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的

二向強度理論上述方法，多是在單向應(yīng)力狀態(tài)下實際使用過程中，物體所受三向或雙向載荷的作用通過聯(lián)合或多向加載試驗獲得強度包絡(luò)線，通過變換，形成破壞準則破壞準則僅僅是預(yù)測破壞的發(fā)生，而不是實際上的破壞模型，不能從機理上闡述破壞第77頁,共93頁，2024年2月25日，星期天正交各向異性簡單層板的

二向強度理論

x

y試驗破壞數(shù)據(jù)××破壞屈服第78頁,共93頁，2024年2月25日，星期天最大應(yīng)力理論單層板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，主方向的任意一個分量達到極限應(yīng)力時，就發(fā)生破壞或失效失效準則有3個相互不影響，各自獨立的表達式組成的，實際上有三個分準則必須轉(zhuǎn)換成材料主方向上的應(yīng)力理論預(yù)報與材料試驗值溫和的不好第79頁,共93頁，2024年2月25日，星期天最大應(yīng)力理論拉伸時壓縮時第80頁,共93頁，2024年2月25日，星期天最大應(yīng)變理論單層板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，主方向的任意一個分量達到極限應(yīng)變時，就發(fā)生破壞或失效失效準則有3個相互不影響，各自獨立的表達式組成的，實際上有三個分準則必須轉(zhuǎn)換成材料主方向上的應(yīng)變和最大應(yīng)力理論相比,在最大應(yīng)變準則中包含了泊松比項,也就是說，最大應(yīng)變理論中考慮了另一彈性主方向應(yīng)力的影響，如果泊松比很小，這個影響就很小與試驗結(jié)果偏差也較大第81頁,共93頁，2024年2月25日，星期天最大應(yīng)變理論拉伸時壓縮時第82頁,共93頁，2024年2月25日，星期天最大應(yīng)變理論第83頁,共93頁，2024年2月25日，星期天蔡-希爾理論(Tsai-Hill)Hill對各向異性材料，提出了屈服準則：在彈性范圍內(nèi)，可以作為各向異性材料的強度準則，屈服強度F,G,H,L,M,N可以認為是破壞強度第84頁,共93頁，2024年2月25日，星期天蔡-希爾理論(Tsai-Hill)如果只