常微分方程學習活動4第二章基本定理的綜合練習本課程形成性考核綜合練習共3次，內容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習、第二章基本定理的綜合練習、第三章和第四章的綜合練習，目的是通過綜合性練習作業(yè)，同學們可以檢驗自己的學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復習，爭取盡快掌握．要求：首先請同學們下載作業(yè)附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業(yè)頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應網頁界面完成任務，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。一、填空題1.方程的任一非零解不能與x軸相交．2．李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的充分條件．3.方程+ysinx=ex的任一解的存在區(qū)間必是(-∞,+∞)．4．一階顯式方程解的最大存在區(qū)間一定是開區(qū)間．5．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是平面．6．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是平面．7．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是平面．8．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是，（或不含x軸的上半平面）．9．方程滿足解的存在惟一性定理條件的區(qū)域是全平面．10．一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是開區(qū)間．二、計算題1．判斷下列方程在怎樣的區(qū)域上保證初值解存在且惟一？（1）．解（1)因為及在整個平面上連續(xù),且滿足存在唯一性定理條件,所以在整個平面上,初值解存在且唯一.（2）因為及在整個平面上連續(xù),且滿足存在唯一性定理條件,所以在整個平面上,初值解存在且唯一.討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足定理2.2的條件．并求通過的一切解．解因為方程在整個平面上連續(xù),除軸外,在整個平面上有界,所以除軸外在整個平面上都滿足定理2.1的條件.而后分離變量并積分可求出方程的通解為其中另外容易驗證是方程的特解.因此通過的解有無窮多個,分別是:3．判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．（1）解（1)因為在半平面上連續(xù),當時無界,所以如果存在奇解只能是,但不是方程的解,故方程無奇解.（2）因為在的區(qū)域上連續(xù),當時無界,所以如果方程有奇解,則奇解只能是顯然是方程的解,是否為奇解還需要進一步討論.為此先求出方程的通解由此可見對于軸上點存在通過該點的兩個解:及故是奇解.(如圖2-2所示)三、證明題1．試證明：對于任意的及滿足條件的，方程的解在上存在．證明首先和是方程在的解.易知方程的右端函數滿足解的延展定理以及存在唯一性定理的條件.現在考慮過初值()的解,根據唯一性,該解不能穿過直線和.因此只有可能向左右兩側延展,從而該初值解應在上存在.設在整個平面上連續(xù)有界，對有連續(xù)偏導數，試證明方程的任一解在區(qū)間上有定義．證明不妨設過點分別作直線和.設過點的初值解為.因為,故在的某一右鄰域內,積分曲線位于之下,之上.下證曲線不能與直線相交.若不然,使得且,但由拉格郎日中值定理,,使得.矛盾.此矛盾證明曲線不能與直線相交.同理可證,當時,它也不能與相交.故當時解曲線位于直線,之間.同理可證,當時,解曲線也位于直線,之間.由延展定理,的存在區(qū)間為。3．設在區(qū)間上連續(xù)．試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為．證明由已知條件，該方程在整個平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件．顯然是方程的兩個常數解．任取初值，其中,．記過該點的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區(qū)間必為．在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為．證明由已知條件可知，該方程在整個平面上滿足解的存在惟一及延展定理條件，又存在常數解．對平面內任一點，若，則過該點的解是，顯然是在上有定義．若,則,記過該點的解為，那么一方面解可以向平面的無窮遠無限延展；另一方面在條形區(qū)域內不能上、下穿過解和，否則與解的惟一性矛盾．因此解的存在區(qū)間必為．假設方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理條件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個解．求證：若<，，則在區(qū)間I上必有<成立．證明僅證方向，（反之亦然）．假設存在，使得>（=不可能出現，否則與解惟一矛盾）．令=-，那么=-<0，=->0由連續(xù)函數介值定理，存在，使得=-=0即=這與解惟一矛盾6．設是方程的非證明由已知條件知方程存在零解．該方程滿足解的存在惟一性定理條件．設是方程的一個非零解，假如它滿足，，由于零解也滿足上述條件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，這與是非零解矛盾．零解，其中在上連續(xù)．求證：當時，必有．7．設在上連續(xù)可微，求證：對任意的，，方程滿足初值條件的解必在上存在．證明該方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理及解的延展定理．又是該方程的兩個常數解．現取，，記過點的解為．一方面該解可向平面的無窮遠無限延展，另一方面又不能上下穿越，否則將破壞解的惟一性．因此，該解只能在區(qū)域內沿x軸兩側無限延展，顯然其定義區(qū)間必是．8．證明：一階微分方程的任一解的存在區(qū)間必是．證明方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理的條件，又是方程的常數解．對平面上任取的若則對應的是常數解其存在區(qū)間顯然是若)則過該點的解可以向平面無窮遠無限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在區(qū)間必是．四、應用題1．求一曲線，具有如下性質：曲線上任一點的切線，在軸上的截距之和為1．解首先,由解析幾何知識可知,滿足的直線都是所求曲線.設(x,y)為所求曲線上的點，(X,Y)為其切線上的點,則過(x,y)的切線方程為.顯然有此處a與b分別為切線在Ox軸與Oy軸上的截距.故.解出y,得到克萊洛方程,通解為所以,即為所求曲線方程.