微專題

圓的綜合題1.(2023安徽)已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線BD是⊙O的直徑．(1)如圖①，連接OA，CA，若OA⊥BD，求證：CA平分∠BCD；第1題圖①(1)證明：∵OA⊥BD，且OB＝OD，

∴AO垂直平分BD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ACD＝∠ABD，∠ADB＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB，∴CA平分∠BCD；(2)如圖②，E為⊙O內(nèi)一點，滿足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3

，AE＝3，求弦BC的長．第1題圖②(2)解：∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.∵AE⊥BC，∴AE∥CD，同理AD∥CE，∴四邊形ADCE為平行四邊形，∴CD＝AE.∵AE＝3，∴CD＝3，∴BC＝.2.

如圖，以矩形ABCD(AB>BC)的對角線AC為直徑作⊙O，過點B作AC的垂線，垂足為P，交CD于點E，交AD的延長線于點F，取EF的中點H，連接DH.(1)求證：DH是⊙O的切線；第2題圖(1)證明：如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴BD為⊙O的直徑．∵BF⊥AC，∴∠ECP＋∠CEP＝90°.在Rt△FDE中，H為EF的中點，∴DH＝EH，∴∠DEF＝∠EDH＝∠CEP.∵∠ECP＝∠ODC，∴∠ODH＝∠EDH＋∠ODC＝90°，∴OD⊥DH.又∵OD是⊙O的半徑，∴DH是⊙O的切線；第2題圖(2)若AC＝4，EF＝

，求CE的長．第2題圖(2)解：∵AC＝4，EF＝，∴BD＝AC＝4，DH＝EH＝.∵∠BDH＝90°，∴tan∠DBH＝，∴∠DBH＝30°，∴∠DHE＝60°，∴△DHE是等邊三角形，∴∠HDE＝60°，DE＝DH＝，∴∠BDC＝90°－∠HDE＝30°，∴CD＝BD·cos30°＝2

，∴CE＝CD－DE＝.3.(2023葫蘆島)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交⊙O于點E，過點E作EF∥AB，交CA的延長線于點F.(1)求證：EF與⊙O相切；第3題圖(1)證明：如圖，連接OE.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，∴∠BOE＝2∠BCE＝90°.∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠BOE＝90°，∴OE⊥EF.∵OE是⊙O的半徑，∴EF與⊙O相切；第3題圖(2)若∠CAB＝30°，AB＝8，過點E作EG⊥AC于點M，交⊙O于點G，交AB于點N，求

的長．第3題圖(2)解：如圖，連接GO，GB.∵EG⊥AC，∴∠EMF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠EMF，∴EG∥BC，∴∠CEG＝∠BCE＝45°，∴∠CBG＝∠CEG＝45°.∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABG＝∠ABC－∠CBG＝15°，∴∠AOG＝2∠ABG＝30°，∴的長為.第3題圖4.

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，弦BD與AC相交于點E，連接AD，CD，∠BAD＝3∠CBD，連接AO并延長交BD于點F.(1)求證：AF＝AD；第4題圖(1)證明：如圖，連接OB，OC，∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO，∴∠ABO＝∠ACO.∵＝

，∴∠CBD＝∠CAD.∵∠BAD＝3∠CBD，∴∠BAF＝∠CAF＝∠CAD＝∠CBD.∵＝

，∴∠ABF＝∠ACD，∴△ABF≌△ACD，∴AF＝AD；第4題圖(2)若CB2－CD2＝4，求BD·CD的值．(2)解：由(1)知△ABF≌△ACD，∴BF＝CD.設(shè)∠CAD＝x，則∠BAF＝∠CAF＝x.由(1)知AF＝AD，∴∠ADE＝＝90°－x，∴∠AED＝180°－∠ADE－∠EAD

＝180°－(90°－x)－x＝90°，即AC⊥BD.第4題圖又∵AF＝AD，∴DE＝EF.在Rt△BCE和Rt△CDE中，CB2＝BE2＋CE2，CD2＝DE2＋CE2，∴CB2－CD2＝BE2＋CE2－(DE2＋CE2)＝BE2－DE2

＝(BE＋DE)(BE－DE)＝BD·(BE－EF)

＝BD·BF＝BD·CD.∴BD·CD＝4.第4題圖5.

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點D是⊙O上一點，連接CD，AD，且∠DAB＝2∠B，過點C作⊙O的切線交DA的延長線于點E.(1)求證：CE⊥AD；第5題圖(1)證明：如圖，連接OC，∵∠DAB＝2∠B，∠AOC＝2∠B，∴∠DAB＝∠AOC，∴OC∥AD.∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，∴CE⊥AD；(2)若OA＝5，tanD＝

，求CE的長．第5題圖(2)解：如圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴tanB＝tanD＝，∴BC＝2AC.∵AB＝2OA＝10，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴AC2＋(2AC)2＝102，∴AC＝2

(負(fù)值已舍去)，∴BC＝4

，∴cosB＝.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO.∵∠ACE＋∠ACO＝90°，∠CAO＋∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，∴cos∠ACE＝cosB，∴CE＝AC·cos∠ACE＝AC·cosB＝4.第5題圖6.(2023德陽)如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C，E在⊙O上，EC的延長線與AB的延長線相交于點D，且CD＝OA，AE∥OC.(1)求證：AC是∠EAD的平分線；第6題圖(1)證明：∵AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠CAO，∴AC是∠EAD的平分線；(2)求∠ACD的度數(shù)；第6題圖(2)解：如圖，連接CB.設(shè)∠CAO＝α.根據(jù)(1)可知∠EAC＝∠CAO＝∠ACO＝α，∠EAO＝∠EAC＋∠CAO＝2α，∴∠COB＝∠CAO＋∠ACO＝2α.∵CD＝OA，∴CD＝OC.∴∠COB＝∠D＝2α.∴∠CBO＝∠BCD＋∠D＝4α.∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠OCB＝4α，∴∠CBO＋∠OCB＋∠COB＝4α＋4α＋2α＝10α＝180°，∴α＝18°，∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋2α

＝90°＋36°＝126°；第6題圖(3)求

的值．第6