2024年山東省濟寧市汶上縣中考數(shù)學二模試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.）1．（3分）黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保率穩(wěn)定在百分之九十五．將數(shù)據(jù)1040000000用科學記數(shù)法表示為（）A．104×107 B．10.4×108 C．1.04×109 D．0.104×10102．（3分）在一個不透明的塑料袋中裝有紅色球、白色球共40個，除顏色外其他都相同．小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則塑料袋中紅色球可能有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個3．（3分）用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方正確的是（）A．（x+5）2＝16 B．（x+5）2＝34 C．（x﹣5）2＝16 D．（x+5）2＝254．（3分）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，cosC的值是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝1，則S△ABC＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB'C'，連接CC'，則CC'的長為（）A．4 B．6 C． D．7．（3分）已知反比例函數(shù)y＝﹣，下列結(jié)論：①圖象必經(jīng)過（﹣2，4）；②圖象在二，四象限內(nèi)；③y隨x的增大而增大；④當x＞﹣1時，則y＞8．其中錯誤的結(jié)論有（）個．A．3 B．2 C．1 D．08．（3分）便民商店經(jīng)營一種商品，在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)一周利潤y（元）與每件銷售價x（元）之間的關(guān)系滿足y＝﹣2x2+80x+758，由于某種原因，價格需滿足15≤x≤19，那么一周可獲得最大利潤是（）A．1554元 B．1556元 C．1558元 D．1560元9．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D是邊AC上一動點（不與A，C兩點重合），沿A→C的路徑移動，過點D作ED⊥AC，交AB于點E，將△ADE沿直線DE折疊得到△A'DE．若設(shè)AD＝x，△A'DE與△ABC重疊部分的面積為y，則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分.）10．（3分）計算：的結(jié)果為．11．（3分）若二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一個解x1＝3，另一個解x2＝．12．（3分）按一定規(guī)律排列的單項式：a，，，2a4，，…，則第n個單項式為．13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，點D為AC中點，點E在AB上，當AE為時，△ABC與以點A、D、E為頂點的三角形相似．14．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為．三、解答題（本大題共7個小題，共55分，解答時應(yīng)寫出證明過程或演算步驟.）15．（5分）計算：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．16．（6分）2023年5月30日上午，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，舉國振奮．為使同學們進一步了解中國航天科技的快速發(fā)展，我縣某中學九（1）班團支部組織了一場手抄報比賽，要求該班每位同學從A：“北斗”，B：“5G時代”，C：“東風快遞”，D：“智軌快運”四個主題中任選一個自己喜愛的主題，比賽結(jié)束后，該班團支部統(tǒng)計了同學們所選主題的頻數(shù)，繪制成如圖兩種不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題．（1）九（1）班共有名學生；（2）補全圖1中的折線統(tǒng)計圖；（3）若賈林和王峰兩位同學分別從A，B，C，D四個主題中任選一個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．17．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當m取滿足條件的最小奇數(shù)時，求方程的根．18．（7分）為了防洪需要，汶上溢流壩決定新建一座攔水壩．如圖，攔水壩的橫截面為四邊形ABCD，其中，AD∥BC，斜面AB的坡度i＝3：4（指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比），已知斜坡CD的長度為20米，∠C＝18°，求斜坡AB的長度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）19．（9分）某同學借助反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象設(shè)計了“魚形”圖案．如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數(shù)圖象上的點和點B為頂點，分別作菱形AOCD和菱形OBEF，點D，E在x軸上，以點O為圓心，OA長為半徑作，連接BF．（1）求k的值；（2）求扇形AOC的半徑及圓心角的度數(shù)；（3）求圖中陰影部分面積之和．20．（10分）【初步感知】（1）如圖1，點A，B，P均在⊙O上，若∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為度；【深入探究】（2）如圖2，小明遇到這樣一個問題：⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在上（點P不與點A，C重合），連接PA，PB，PC．求證：PB＝PA+PC；小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進而得證．請根據(jù)小明的分析思路完成證明過程．【啟發(fā)應(yīng)用】（3）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在⊙O上，且點P與點B在AC的兩側(cè)，連接PA，PB，PC，若PB＝2PA，則的值為．21．（11分）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），連接BC，點P（m，n）（m＞0）為拋物線上一動點，過點P作PN⊥x軸交直線BC于點M，交x軸于點N．（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；（2）如圖2，連接OM，當△OCM為等腰三角形時，求m的值；（3）當P點在運動過程中，在y軸上是否存在點Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似（其中點P與點C相對應(yīng)），若存在，直接寫出點P和點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

2024年山東省濟寧市汶上縣中考數(shù)學二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.）1．（3分）黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保率穩(wěn)定在百分之九十五．將數(shù)據(jù)1040000000用科學記數(shù)法表示為（）A．104×107 B．10.4×108 C．1.04×109 D．0.104×1010【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答】解：1040000000＝1.04×109．故選：C．【點評】此題考查科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)，科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．2．（3分）在一個不透明的塑料袋中裝有紅色球、白色球共40個，除顏色外其他都相同．小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則塑料袋中紅色球可能有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【分析】利用頻率估計概率求解即可．【解答】解：由題意知，塑料袋中紅色球可能有40×20%＝8（個），故選：C．【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．3．（3分）用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方正確的是（）A．（x+5）2＝16 B．（x+5）2＝34 C．（x﹣5）2＝16 D．（x+5）2＝25【分析】移項，配方（方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方），即可得出答案．【解答】解：x2+10x+9＝0，x2+10x＝﹣9，x2+10x+52＝﹣9+52，（x+5）2＝16．故選：A．【點評】本題考查了用配方法解一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確配方．4．（3分）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，cosC的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠C，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．【解答】解：由三角形的內(nèi)角和，得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°，cosC＝cos30°＝，故選：C．【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．5．（3分）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝1，則S△ABC＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)三角形中位線定理求得DE∥BC，，從而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：∵點D、E分別是AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝4，故選：D．【點評】本題考查三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，本題難度較低，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB'C'，連接CC'，則CC'的長為（）A．4 B．6 C． D．【分析】先根據(jù)勾股定理計算AC的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△CAC'是等腰直角三角形，并由勾股定理可得結(jié)論．【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，∴AC＝＝，由旋轉(zhuǎn)得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∴CC'＝＝．故選：C．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)知識，證明△ACC'是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（3分）已知反比例函數(shù)y＝﹣，下列結(jié)論：①圖象必經(jīng)過（﹣2，4）；②圖象在二，四象限內(nèi)；③y隨x的增大而增大；④當x＞﹣1時，則y＞8．其中錯誤的結(jié)論有（）個．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：①當x＝﹣2時，y＝4，即圖象必經(jīng)過點（﹣2，4），正確；②k＝﹣8＜0，圖象在第二、四象限內(nèi)，正確；③k＝﹣8＜0，每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，錯誤；④k＝﹣8＜0，每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，y＞8，x＞0時，y＜8，故④錯誤，故選：B．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（3分）便民商店經(jīng)營一種商品，在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)一周利潤y（元）與每件銷售價x（元）之間的關(guān)系滿足y＝﹣2x2+80x+758，由于某種原因，價格需滿足15≤x≤19，那么一周可獲得最大利潤是（）A．1554元 B．1556元 C．1558元 D．1560元【分析】將二次函數(shù)關(guān)系式化為頂點式，找出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)圖象的增減性即可求解．【解答】解：∵y＝﹣2x2+80x+758＝﹣2（x﹣20）2+1558，∴二次函數(shù)的對稱軸為x＝20，開口向下，∴當x＜20時，y隨x的增大而增大，∵15≤x≤19，∴x＝19時，y取最大值，此時y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1556，即一周可獲得最大利潤是1556元，故選B．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，注意自變量的范圍是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D是邊AC上一動點（不與A，C兩點重合），沿A→C的路徑移動，過點D作ED⊥AC，交AB于點E，將△ADE沿直線DE折疊得到△A'DE．若設(shè)AD＝x，△A'DE與△ABC重疊部分的面積為y，則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【分析】分0≤x≤2和2＜x≤4兩種情況，利用三角形相似分別求出DE和CF，然后由三角形和梯形的面積公式分別求出y與x的函數(shù)解析式即可．【解答】解：①當0≤x≤2時，△A'DE與△ABC重疊部分的面積為△A'DE的面積，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，∵∠EDA＝∠BCA，∠A＝∠A，∴△BCA∽△EDA，∴＝，即＝，∴DE＝x，∵△ADE沿直線DE折疊得到△A'DE，∴A′D＝AD＝x，∴y＝S△A′DE＝A′D?DE＝x?x＝x2，∵＞0，∴拋物線開口向上，當x＞0時，y隨x的增大而增大，∴當x＝2時，y有最大值，最大值為，故排除A，C；②當2＜x≤4時，A′位置如圖所示：此時AE與BC相交于F，∵A′D＝AD＝x，CD＝AC﹣AD＝4﹣x，∴A′C＝A′D﹣CD＝2x﹣4，∵∠A′＝∠A，∠A′CF＝∠ACB＝90°，∴△A′CF∽△ACB，∴＝，即＝，∴CF＝，∴y＝S梯形FCDE＝（CF+DE）?CD＝×（+x）×（4﹣x）＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣）2+2，∵﹣＜0，2＜x≤4，∴當x＝時，y有最大值，最大值為2，綜上所述，圖象過（2，）和（，2）兩點，且兩端圖象先開口向上，再開口向下，故選：D．【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)以及對折變換，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是確定出y與x的函數(shù)解析式．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分.）10．（3分）計算：的結(jié)果為1．【分析】根據(jù)分式的加減法法則計算即可．【解答】解：原式＝＝＝1．故答案為：1．【點評】此題考查了分式的加減法，解題關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減法法則．11．（3分）若二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一個解x1＝3，另一個解x2＝﹣1．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點關(guān)于對稱軸對稱，直接求出x2的值．【解答】解：由圖可知，對稱軸為x＝1，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱性，＝1，解得，x2＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點，要注意數(shù)形結(jié)合，熟悉二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．12．（3分）按一定規(guī)律排列的單項式：a，，，2a4，，…，則第n個單項式為an．【分析】通過觀察，先將第n個單項式的數(shù)字系數(shù)和指數(shù)分別表示出來，即可得出結(jié)果．【解答】解：觀察可知，數(shù)字系數(shù)為：1，，，2，，?，∴第n個單項式的數(shù)字系數(shù)為：，∵指數(shù)是1，2，3，4，5，?，∴第n個單項式的指數(shù)為：n，因此，第n個單項式為：an，故答案為：an．【點評】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和算術(shù)平方根，從題目中找出單項式間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，點D為AC中點，點E在AB上，當AE為3或時，△ABC與以點A、D、E為頂點的三角形相似．【分析】先得到，再分與兩種情況討論即可解答．【解答】解：當時，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴，當時，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，綜上，AE＝3或，故答案為：3或．【點評】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運用及熟練掌握相似三角形的判定定理．14．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為．【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF＝2EH＝20E?sin∠EOH＝20E?sin60°，因此當半徑OE最短時，EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF＝2EH．【解答】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，∴AD＝BD＝2，即此時圓的直徑為2，由圓周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE?sin∠EOH＝1×＝，由垂徑定理可知EF＝2EH＝．故答案為：．【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)運動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．三、解答題（本大題共7個小題，共55分，解答時應(yīng)寫出證明過程或演算步驟.）15．（5分）計算：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．【分析】根據(jù)冪的運算，特殊角的函數(shù)值，零指數(shù)冪的運算，絕對值的化簡計算即可．【解答】解：＝﹣1﹣1＝2．【點評】本題考查了冪的運算，特殊角的函數(shù)值，零指數(shù)冪的運算，絕對值的化簡，熟練掌握運算的法則是解題的關(guān)鍵．16．（6分）2023年5月30日上午，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，舉國振奮．為使同學們進一步了解中國航天科技的快速發(fā)展，我縣某中學九（1）班團支部組織了一場手抄報比賽，要求該班每位同學從A：“北斗”，B：“5G時代”，C：“東風快遞”，D：“智軌快運”四個主題中任選一個自己喜愛的主題，比賽結(jié)束后，該班團支部統(tǒng)計了同學們所選主題的頻數(shù)，繪制成如圖兩種不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題．（1）九（1）班共有50名學生；（2）補全圖1中的折線統(tǒng)計圖；（3）若賈林和王峰兩位同學分別從A，B，C，D四個主題中任選一個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．【分析】（1）由B的人數(shù)除以所占百分比即可；（2）求出D的人數(shù)，即可解決問題；（3）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，小林和小峰選擇相同主題的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）九（1）班共有學生人數(shù)為：20÷40%＝50（名），故答案為：50；（2）D的人數(shù)為：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），補全折線統(tǒng)計圖如下：（3）畫樹狀圖如圖：共有16種等可能的結(jié)果，小林和小峰選擇相同主題的結(jié)果有4種，∴小林和小峰選擇相同主題的概率為＝．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率以及折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．掌握概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．17．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當m取滿足條件的最小奇數(shù)時，求方程的根．【分析】（1）一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．還要注意二次項系數(shù)不為0；（2）在m的范圍內(nèi)，找到最小奇數(shù)，然后把m的值代入一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0中，再解出方程的解即可．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴m+1≠0且Δ＞0．∵Δ＝（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）＝4（2m+3），∴2m+3＞0．解得m＞．∴m的取值范圍是m＞且m≠﹣1．（2）在m＞且m≠﹣1的范圍內(nèi)，最小奇數(shù)m為1．此時，方程化為x2+x﹣1＝0．∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴．∴方程的根為，．【點評】此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，以及一元二次方程的解法，關(guān)鍵是掌握（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．18．（7分）為了防洪需要，汶上溢流壩決定新建一座攔水壩．如圖，攔水壩的橫截面為四邊形ABCD，其中，AD∥BC，斜面AB的坡度i＝3：4（指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比），已知斜坡CD的長度為20米，∠C＝18°，求斜坡AB的長度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）【分析】過點D作DE⊥BC于點E，根據(jù)正弦的定義求出DE，根據(jù)坡度的概念求出BF，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥BC于點E，則四邊形AFED為矩形，∴DE＝AF，在Rt△DEC中，CD＝20米，∠C＝18°，∵sinC＝，∴DE＝DC?sinC≈20×0.31＝6.20（米），∵斜面AB的坡度i＝3：4，AF＝6.20米，∴BF≈8.27（米），∴AB＝≈10.3（米），答：斜坡AB的長度約為10.3米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．19．（9分）某同學借助反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象設(shè)計了“魚形”圖案．如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數(shù)圖象上的點和點B為頂點，分別作菱形AOCD和菱形OBEF，點D，E在x軸上，以點O為圓心，OA長為半徑作，連接BF．（1）求k的值；（2）求扇形AOC的半徑及圓心角的度數(shù)；（3）求圖中陰影部分面積之和．【分析】（1）將A（，1）代入y＝中即可求解；（2）利用勾股定理求邊長，再根據(jù)直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半求解出角度，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解；（3）先計算出S菱形AOCD＝2，再計算出扇形的面積，根據(jù)菱形的性質(zhì)及結(jié)合k的幾何意義可求出S△FBO＝，從而問題即可解答．【解答】解：（1）將A（，1）代入到y(tǒng)＝中，得：1＝，解得：k＝；（2）過點A作OD的垂線，交x軸于G，∵A（，1），∴AG＝1，OG＝，OA＝＝2，∴半徑為2；∵AG＝OA，∴∠AOG＝30°，由菱形的性質(zhì)可知，∠AOG＝∠COG＝30°，∴∠AOC＝60°，∴圓心角的度數(shù)為60°；（3）∵OD＝2OG＝2，∴S菱形AOCD＝AC×OD＝2，∴S扇形AOC＝×π×r2＝，在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，∵S△FHO＝＝，∴S△FBO＝2×＝，∴S陰影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC＝+2﹣π＝3﹣．【點評】本題考查反比例函數(shù)及k的幾何意義，菱形的性質(zhì)，圓心角與弧的關(guān)系等，正確k的幾何意義是解題關(guān)鍵．20．（10分）【初步感知】（1）如圖1，點A，B，P均在⊙O上，若∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為45度；【深入探究】（2）如圖2，小明遇到這樣一個問題：⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在上（點P不與點A，C重合），連接PA，PB，PC．求證：PB＝PA+PC；小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進而得證．請根據(jù)小明的分析思路完成證明過程．【啟發(fā)應(yīng)用】（3）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在⊙O上，且點P與點B在AC的兩側(cè)，連接PA，PB，PC，若PB＝2PA，則的值為．【分析】【初步感知】根據(jù)圓周角定理即可得出答案；【深入探究】先構(gòu)造出△PBC≌△EBA（SAS），得出PB＝EB，進而得出△PBE是等邊三角形，即可得出結(jié)論；【啟發(fā)應(yīng)用】先構(gòu)造出△PBC≌△GBA（SAS），進而判斷出∠PBG＝90°，進而得出△PBG是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．【解答】【初步感知】解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圓中，同弧所對的圓周角是圓心角的一半），故答案為：45；【深入探究】證明：如圖②，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∠ACB＝60°，又∵AE＝PC，∴△PBC≌△EBA（SAS），∴PB＝EB，∴∠APB＝∠ACB＝60°，∴△PBE為等邊三角形，∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；【啟發(fā)應(yīng)用】解：如圖③，延長PA至點G，使AG＝PC，連接BG．∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAG＝180°，∴∠BCP＝∠BAG，∵BA＝BC，AG＝PC，∴△PBC≌△GBA（SAS），∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，∵∠ABC＝90°，∴∠PBG＝∠GBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴PG＝BP，∵PG＝PA+AG＝PA+PC，∴PC＝PG﹣PA＝×2PA﹣PA＝3PA，∴＝＝，故答案為：．【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．21．（11分）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），連接BC，點P（m，n）（m＞0）為拋物線上一動點，過點P作PN⊥x軸交直線BC于點M，交x軸于點N．（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；（2）如圖2，連接OM，當△OCM為等腰三角形時，求m的值；（3）當P點在運動過程中，在y軸上是否存在點Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似（其中點P與點C相對應(yīng)