第四章

三角形第19課勾股定理與解直角三角形的簡單應(yīng)用1．直角三角形的性質(zhì)：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，則(1)兩個銳角的關(guān)系：∠A＋∠B＝_____°.(2)三邊的數(shù)量關(guān)系(勾股定理)：________________．(3)邊與角的關(guān)系：sinA＝，cosA＝________，tanA________．(4)若CD是斜邊的中線，則CD與AB的數(shù)量關(guān)系是__________．(5)若∠B＝30°，則AC與AB的數(shù)量關(guān)系是__________．一、考點知識，

90CD=ABAC2+BC2=AB2AC=AB3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，S△ABC＝AC×________＝AB×________．2．直角三角形的判定：(1)定義法：當(dāng)∠ACB＝______°時，△ABC是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理：當(dāng)△ABC的三邊滿足____________時，△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.(3)CD是AB邊上的中線，且__________________時，△ABC是直角三角形，且斜邊是________．90AC2+BC2=AB2CD=ABABBCCD【例1】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足為點E，求OE的長．【考點1】勾股定理，等面積法二、例題與變式解：∵菱形的對角線互相垂直平分，∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°.∴BC＝.∵S△OBC＝OB·OC＝BC·OE.∴OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE.∴OE＝.【考點2】直角三角形邊與角的關(guān)系【例2】如圖，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝，∠A＝30°.(1)求BD和AD的長；(2)求tanC的值．解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB=3.∴AD=BD=.（2）CD=AC－AD=，在Rt△ADC中，tan∠C=.【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，點E為線段AB上的一點，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于點F，連接FB，求tan∠CFB.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，設(shè)BC=x，則AB=2x，AC=x.又∵EF⊥AC，∴EF∥BC.∴AF∶FC=AE∶EB=4∶1,CF=AC=.∴在Rt△CFB中,∴tan∠CFB=.【考點3】直角三角形的性質(zhì)【例3】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝12cm，DC＝5cm，求sinA的值．解：過點D作DE⊥AB于點E，∵BD是∠ABC的平分線，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=5cm，∵AD=12－5=7cm，∴SinA=.【變式3】如圖，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于點D，PC＝4，求PD的長．解：過點P作PE⊥OB于E，∵∠AOP=∠BOP，PE⊥OB，PD⊥OA，∴PE=PD.∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°.∵PC∥OA，∴∠BCP=∠AOB=30°.∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2.∴PD=PE=2.1．如圖，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，PO＝13，PA＝12，求sinP的值．解：連接OA,∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°．又∵PO=