2018-2019學年山東省濟南市市中區(qū)八年級（下）期末數學試卷

一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分，每小題只有一個選項符合題意）

1.（4分）己知實數a、b,若a>6,則下列結論正確的是（）

A.a+3<b+3B.a-4<b-4C.2a>2bD.A<k

33

2.（4分）下列汽車標識中，是中心對稱圖形的是（）

A.'—B.

3.（4分）已知正多邊形的一個外角是30度，這個正多邊形的邊數是（）

A.9B.10C.11D.12

4.（4分）下列各式從左到右的變形中，是分解因式的是（)

2

A.m（a+b+c）=ma+mb+mcB.x+5x=二x(x+5)

C.X2+5X+5=X（X+5）+5D.?2+l=a()

a

5.（4分）如圖，AABC是等邊三角形，。為3。邊上的點,ZBAD=15°,△ABO經旋轉

后到達AACE的位置，那么旋轉了（）

A

A.75°B.60°C.45°D.15°

6.（4分）要使分式三工有意義，則尤的取值應滿足（)

x-2

A.%W2B.C.x=2D.x=l

7.（4分）如圖，在口ABC。中，已知AZ）=5cm,AB=3cm,AE平分NBA。交BC邊于點E,

則等于（)

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

8.（4分）下列多項式中能用完全平方公式分解的是（）

A.尤“-x+lB.1-Ix+x'C.cT+a+—D.-a"+b"-lab

2

9.（4分）如圖，直線yi=x+＞與＞2=依-1相交于點尸，點尸的橫坐標為-1，則關于尤的

不等式x+b＞區(qū)-1的解集在數軸上表示正確的是（）

10.（4分）圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機.如圖2,它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點

A與B之間的距離為10cm,雙翼的邊緣AC=8D=54cff2,且與閘機側立面夾角/PCA=

ZBZ）e=30°.當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）

圖1圖2

A.(54\/3+10)cmB.(54^/2+10)cmC.64cmD.54cm

11.（4分）如圖，在矩形ABC。中，AB=8,AD=6,過點。作直線機〃AC,點E、F是

直線山上兩個動點，在運動過程中所〃AC且所=AC,四邊形ACPE的面積是（）

B

A.48B.40C.24D.30

12.（4分）如圖，在菱形ABC。中，AB=6,ZDAB=60°,AE分別交BC、BD于點、E、

F,CE=2,連接CR以下結論：①△ABFMCBF；②點E到A3的距離是2、R；③A尸

）個

D.4

二、填空題（本大題共6個小題，每題4分，共24分.把答案填在題中的橫線上）

13.（4分）如果4-/?=2,ab=3,那么Jb-4/=.

2

14.（4分）使得分式工_二A值為零的x的值是

x+2

15.（4分）如圖，已知△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,三角形的頂點在相互平行的三

條直線h，12,13,上，且/1，，2之間的距離為2,，2,，3之間的距離為3,則AC的長是.

16.（4分）在平面直角坐標系中，若點尸（2x+6,5%）在第四象限，則％的取值范圍是.

17.（4分）如圖，口458的對角線AC,5。相交于點O,點片是8的中點，△A3。的周

18.（4分）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=4?,對角線AC、2。相交于點。，現

將一個直角三角板OEF的直角頂點與0重合，再繞著0點轉動三角板，并過點D作DH

LOF于點H,連接在轉動的過程中，的最小值為.

三、解答題（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚.）

19.（8分）（1）因式分解：4m2-

（2）先化簡，再求值：（1+」-）+上，其中尤=2.

x2-lx+1

20.（6分）解不等式組儼+3、個+7①并把它的解集在數軸上表示出來.

l5（x-l）〉3x-l②

1I111111111A

-5-4-3-2-1012345

21.（6分）如圖，在△ABC中，NC=90°,4。平分NCA3,交于點￡?,過點。作。E

LAB于點E.

(1)求證：△ACD四△AED；

(2)若/2=30°,CD=1,求3。的長.

（1）在網格中畫出AABC向右平移5個單位后的圖形△4SC1；

（2）在網格中畫出△ABC關于原點。成中心對稱后的圖形222c2；

（3）請直接寫出點&、C2的坐標.

?

X

23.(8分)俄羅斯足球世界杯點燃了同學們對足球運動的熱情，某學校計劃購買甲、乙兩

種品牌的足球供學生使用.已知用1000元購買甲種足球的數量和用1600元購買乙種足

球的數量相同，甲種足球的單價比乙種足球的單價少30元.

(1)求甲、乙兩種品牌的足球的單價各是多少元？

(2)學校準備一次性購買甲、乙兩種品牌的足球共25個，但總費用不超過1610元，那

么這所學校最多購買多少個乙種品牌的足球？

24.(10分)如圖，在矩形A8CQ中，E是A8的中點，連接。E、CE.

(1)求證：△ADE且△BCE；

(2)若A2=6,AO=4,求△€?￡的周長.

DC

25.(10分)如圖所示，矩形。4BC的鄰邊。4、0c分別與尤、y軸重合，矩形。42c的對

稱中心P(4,3),點。由。向A以每秒1個單位速度運動，點M由C向8以每秒2個

單位速度運動，點N由8向C以每秒2個單位速度運動，設運動時間為，秒，三點同時

出發(fā)，當一點到達終點時同時停止.

(1)根據題意，可得點2坐標為，AC=；

(2)求點0運動幾秒時，△PCQ周長最??？

(3)在點M、N、。的運動過程中，能否使以點。、0、M、N為頂點的四邊形是平行四

邊形？若能，請求出f值；若不能，請說明理由.

我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式,

例如由圖1可以得至?。軨a+2b)(a+b)—c^+iab+lb2.

請解答下列問題:

(1)寫出圖2中所表示的數學等式；

(2)利用(1)中所得到的結論，解決下面的問題：己知a+b+c—l\,ab+bc+ac-38,

求a,+t^+c1的值；

(3)圖3中給出了若干個邊長為。和邊長為。的小正方形紙片及若干個邊長分別為a、b

的長方形紙片，

①請按要求利用所給的紙片拼出一個幾何圖形，并畫在圖3所給的方框中，要求所拼出

的幾何圖形的面積為2cT+5ab+2b2,

②再利用另一種計算面積的方法，可將多項式2/+5浦+2星分解因式.

即2/+5如2/=.

27.(12分)正方形ABCZ)中，點E、F、G分別是邊4。、AB,的中點，連接ERFG.

(1)如圖1,直接寫出與FG關系為

（2）如圖2,若點尸為BC延長線上一動點，連接叮，將線段EP以點尸為旋轉中心,

逆時針旋轉90°,得到線段FH,連接

①證明：△印石注△PFG；

②直接寫出EAEH、8P三者之間的數量關系；

（3）如圖3,若點尸為CB延長線上一動點，連接叮，按照（2）中的做法在圖3中補

全圖形，并直接寫出EREH、8P三者之間的數量關系.

2018-2019學年山東省濟南市市中區(qū)八年級（下）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分，每小題只有一個選項符合題意）

1.（4分）已知實數服b,若a>b,則下列結論正確的是（）

A.a+3<b+3B.a-4-<b-4C.2a>2bD.A<k

33

【分析】根據不等式的性質：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向

不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除

以）同一個負數，不等號的方向改變，可得答案.

【解答】解：A、不等式的兩邊都加3,不等號的方向不變，故A錯誤；

B、不等式的兩邊都減4,不等號的方向不變，故B錯誤；

C、不等式的兩邊都乘以2,不等號的方向不變，故C正確；

D、不等式的兩邊都除以3,不等號的方向不變，故。錯誤；

故選：C.

【點評】主要考查了不等式的基本性質，“0”是很特殊的一個數，因此，解答不等式的

問題時，應密切關注“0”存在與否，以防掉進“0”的陷阱.

2.（4分）下列汽車標識中，是中心對稱圖形的是（）

心

D.

【分析】根據把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心進行分析.

【解答】解：4不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

8、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、是中心對稱圖形，故此選項正確；

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形，關鍵是掌握中心對稱圖形的定義.

3.(4分)己知正多邊形的一個外角是30度，這個正多邊形的邊數是()

A.9B.10C.11D.12

【分析】多邊形的外角和是360°,正多邊形的每個外角都相等，且一個外角的度數為

30°,由此即可求出答案.

【解答】解：因為360+30=12,

則正多邊形的邊數為12.

故選：D.

【點評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，己知正多邊形的外角求正多邊形的邊數

是一個考試中經常出現的問題.

4.(4分)下列各式從左到右的變形中，是分解因式的是()

2

A.m(〃+/?+c)—ma+mb+mcB.x+5x=x(x+5)

-271

C.x+5x+5=x(x+5)+5D.a+\=a(tz+—)

a

【分析】利用因式分解的定義判斷即可.

【解答】解：A、m(a+A+c)=ma+mb+mc,不符合題意；

B、x+5x=x(x+5),符合題意；

C、X2+5X+5=X(X+5)+5,不符合題意；

D、a2+l=a(tz+—),不符合題意，

a

故選：B.

【點評】此題考查了因式分解的意義，熟練掌握因式分解的定義是解本題的關鍵.

5.(4分)如圖，△ABC是等邊三角形，。為邊上的點，ZBAD=15°,4ABD經旋轉

后到達AACE的位置，那么旋轉了()

【分析】由△ABD經旋轉后到達AACE的位置，而根據旋轉的性質得到N84C

等于旋轉角，即旋轉角等于60°.

【解答】解：???△ABC是等邊三角形，

J.AB^AC,ZBAC=60°,

"?AABD經旋轉后到達△ACE的位置，

等于旋轉角，

即旋轉角等于60°.

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線

段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等.也考查了等邊三角形的性質.

6.（4分）要使分式二1有意義，則無的取值應滿足（）

x-2

A.xW2B.xWlC.x=2D.x=1

【分析】根據分母不等于0列式計算即可得解.

【解答】解：由題意得，x-2#0,

解得尤不2.

故選：A.

【點評】本題考查了分式有意義的條件，分式有意義，分母不等于0,分式無意義，分母

等于0.

7.（4分）如圖，在。ABC。中，己知AO=5CHI,AB^3cm,AE平分NA4D交BC邊于點E,

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】根據平行四邊形的性質和角平分線的性質可以推導出等角，進而得到等腰三角

形，推得根據A。、A8的值，求出EC的長.

【解答】解：

：.ZDAE=ZBEA,

：4￡平分/姑。，

ZBAE=ZDAE,

:./BAE=/BEA,

1?BE=AB=3cm,

?：BC=AD=5cm,

EC=BC-BE=5-3=2cm,

故選：B.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定；在平行四邊形中，當

出現角平分線時，一般可構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質解題.

8.（4分）下列多項式中能用完全平方公式分解的是（）

777179

A.x-x+1B.1-2x+xC.a+a+—D.-a+b-lab

【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可.

【解答】解：能用完全平方公式分解的是1-2x+/=（尤-1）2,

故選：B.

【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

9.（4分）如圖，直線力=尤+方與》2=依-1相交于點尸，點尸的橫坐標為-1，則關于尤的

不等式1的解集在數軸上表示正確的是（）

兇=x+b

j3=/a-l

—1—?1

一2-10-2—10

【分析】觀察函數圖象得到當x>-1時，函數y=x+b的圖象都在1的圖象上方,

所以不等式1+。>丘-1的解集為-b然后根據用數軸表示不等式解集的方法對各選

項進行判斷.

【解答】解：當-1時，x+b>kx-1,

即不等式區(qū)-1的解集為了>-1.

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式：從函數的角度看，就是尋求使一次函

數y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量尤的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確

定直線>=息+6在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.也考查了在

數軸上表示不等式的解集.

10.（4分）圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機.如圖2,它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點

A與2之間的距離為10c",雙翼的邊緣AC=8￡）=54cm,且與閘機側立面夾角NPCA=

/2。。=30°.當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）

兩機制一機一

圖1圖2

A.（54>/3+10）cmB.（54>/2+10）cmC.64cmD.54cm

【分析】過A作AE，CP于E,過B作BP，。。于R則可得AE和的長，依據端點

A與8之間的距離為10。H，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度.

【解答】解：如圖所示，過A作AELC尸于E,過B作BE，。。于F，貝I]

RtzXACE中，Ax54=27（cm）,

22

同理可得，BF—21cm,

又,點A與2之間的距離為10cm,

.?.通過閘機的物體的最大寬度為27+10+27=64（cm）,

故選：C.

司機循司機第

【點評】本題主要考查了特殊角的三角函數值，特殊角的三角函數值應用廣泛，一是它

可以當作數進行運算，二是具有三角函數的特點，在解直角三角形中應用較多.

11.（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,過點。作直線優(yōu)〃AC,點E、F是

直線機上兩個動點，在運動過程中跖〃AC且斯=AC,四邊形ACPE的面積是（）

C.24D.30

【分析】證明四邊形ACFE是平行四邊形，得出四邊形ACFE的面積=24AC￡?的面積=

矩形A3。的面積=48即可.

【解答】解：：矩形ABC。中，AB=8,AD=6,

二矩形ABCD的面積=ABXAO=8X6=48；

'：EF//ACS.EF=AC,

四邊形ACFE是平行四邊形，

.??四邊形ACFE的面積=2Z\AC。的面積=矩形A2C￡＞的面積=48；

故選：A.

【點評】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質以及三角形面積；熟練掌握

矩形的性質和平行四邊形的性質是解題的關鍵.

12.（4分）如圖，在菱形A8C。中，AB=6,ZDAB=60°,AE分另lj交BC、BD于點E、

F,CE=2,連接CR以下結論：①AABF會ACBF；②點E到A3的距離是2、后；③AF

=CF；④AAB尸的面積為其中一定成立的有（）個

【分析】利用SAS證明AAB尸與ACB尸全等，得出①正確，根據含30°角的直角三角

形的性質得出點E到AB的距離是2?,得出②正確；由菱形的對稱性質得出③正確；

同時求出的面積為工等，得出④錯誤；即可得出結論.

【解答】解：：四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC^6,

VZDAB=60°,

：.AB=AD=DB,NABD=/DBC=60°,

fAB=BC

在△ABB與△C8F中，，ZABF=ZFBC，

BF=BF

AABF^△CBF(SAS),①正確；

過點E作EG_LAB,過點/作MH_LCO,MH±AB,如圖：

?:CE=2,BC=6,ZABC=120°,

：?BE=6-2=4,

9：EG±AB,

，EG=2?,

點E到AB的距離是2?,②正確；

:菱形是軸對稱圖形，直線8。是對稱軸，尸在2。上，

J.AF^CF,③正確；

：BE=4,EC=2,

S/\BFE-S△尸EC=4：2=2：1,

??S/\FBE=3：2,

...△AM的面積為=35"郎=反義3*6><2?=生區(qū)，④錯誤;

5525

一定成立的結論有3個,

故選：C.

【點評】此題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、

三角形面積等知識.此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.

二、填空題（本大題共6個小題，每題4分，共24分.把答案填在題中的橫線上）

13.（4分）如果a-b=2,ab—3,那么a^b-ab'=6.

【分析】直接找出公因式必，進而提取公因式分解因式求出答案即可.

【解答】解：??"-6=2,ab=3,

a^b-/=ab（a-Z?）

=2X3

=6.

故答案為：6.

【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵.

2

14.（4分）使得分式三二A支值為零的x的值是2.

x+2

【分析】根據分式的值為零的條件即可求出答案.

【解答】解：X-4=0,

,x+2盧0

解得：x—2,

故答案為：2

【點評】本題考查分式的值為零，解題的關鍵是正確理解分式的值為零的條件，本題屬

于基礎題型.

15.（4分）如圖，己知△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,三角形的頂點在相互平行的三

條直線/1，1?13,上，且/1，/2之間的距離為2,勿，3之間的距離為3,則AC的長是

zVi7_-

【分析】過A、C點作七的垂線構造出直角三角形，根據三角形全等和勾股定理求出8c

的長，再利用勾股定理即可求出.

【解答］解：作相＞口3于。，作CE」3于￡，

AZABD+ZCBE^90°，

又：NZ14B+NAB￡)=90°,

：.ZBAD=ZCBE,

X'：AB=BC,/ADB=/BEC,

在△ABO與△BCE中，

,ZBAD=ZCBE

<NADB=/BEC，

AB=BC

.'.△ABD%ABCE（AAS）,

：.BE=AD=3,CE=2+3=5,

在RtZXBCE中，根據勾股定理，得叱=正2+52=存,

在Rt^ABC中，根據勾股定理，得AC='國玩f/^=2■7萬，

故答案為：2A

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、

“ASA”、“A4S”；全等三角形的對應邊相等.

16.（4分）在平面直角坐標系中，若點尸（2x+6,5x）在第四象限，則x的取值范圍是_二

3c尤<0.

【分析】根據第四象限點的特征，列出不等式組即可解決問題；

【解答】解：：點P⑵+6,5x）在第四象限，

f2x+6>0

5x<0

解得-3cx<0,

故答案為-3<尤<0

【點評】本題考查點的坐標、一元一次不等式組等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思

想思考問題，屬于中考?？碱}型.

17.（4分）如圖，nABCO的對角線AC,AD相交于點。，點E是CO的中點，△A3。的周

長為16?！埃瑒t△ZJOE的周長是8cm.

【分析】根據平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得，BC=AD,DC=AB,DO

=B0,E點是CD的中點，可得OE是△OCB的中位線，可得。e=工2。.從而得到結

2

果是8cm.

【解答】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

。是中點，AABD名ACDB,

又：E是CD中點，

；.OE是ABCD的中位線，

，OE=^BC,

2

即△OOE的周長=L4BCZ）的周長，

2

，ADOE的周長=工4。48的周長.

2

，4DOE的周長=上義16=8cm.

2

故答案為：8.

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質及三角形中位線的性質的應用.

18.（4分）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=4?,對角線AC、2。相交于點O,現

將一個直角三角板OEF的直角頂點與O重合，再繞著0點轉動三角板，并過點D作DH

LOF于點H,連接AH.在轉動的過程中，AH的最小值為2近-2.

【分析】取。。的中點G,過G作GPLAO于尸，連接HG,AG,依據/&。8=30°,

可得PG=°J）G=1,依據N￡?HO=90°,可得點X在以。。為直徑的OG上，再根據

2

AH+HG2AG,即可得到當點A,H,G三點共線，且點X在線段AG上時，最短，

根據勾股定理求得AG的長，即可得出AH的最小值.

【解答】解：如圖，取。。的中點G,過G作GP±AD于P,連接HG,AG,

VAB=4,BC=4?=A。，

AB￡>=7AB2+AD2=8,

；.BD=2AB,00=4,HG=2,

：.ZADB=3Q°,

：.PG=-DG=\,

2

:.PD=M，AP=3?,

'：DH±OF,

：.ZDHO=90°,

...點H在以。。為直徑的OG上，

'：AH+HG^AG,

當點A,H,G三點共線，且點〃在線段AG上時，AH最短,

此時，RtZkAPG中，AG=JAp2+pG2=2^/7.

：.AH=AG-HG=247-2,

即AH的最小值為2方-2.

故答案為：2書-2.

【點評】本題主要考查了矩形的性質，勾股定理的綜合運用，解決問題的關鍵是根據/

"70=90°,得出點”在以。。為直徑的OG上.

三、解答題（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚.）

19.（8分）（1）因式分解：4"/-為產

（2）先化簡，再求值：（1+」-）其中x=2.

x2-lx+1

【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；

（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，

約分得到最簡結果，把尤的值代入計算即可求出值.

【解答】解：(1)原式=(2m+3?)(2/77-3w)；

2口

(2)原式二7一J一?三工二工

(x+l)(x-l)XX-1

當％=2時，原式=2.

【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

3x+3<2x+7①

20.(6分)解不等式組.并把它的解集在數軸上表示出來.

5(x-l)>3x-l②'

一IIII111II.>

-5-4-3-2-1012345

【分析】分別解兩不等式，進而得出公共解集.

【解答】解：解①得：x<4,

解②得：尤>2,

11111Ib1.

故不等式組的解為：2<xW4,-5-4-3-2-101Z345

【點評】此題主要考查了解一元一次不等式組的解法，正確掌握基本解題思路是解題關

鍵.

21.(6分)如圖，在△ABC中，ZC=90°,平分/CAB,交CB于點。，過點。作。E

±AB于點E.

(1)求證：△AC。絲△AED；

(2)若N8=30。，CD=\,求8。的長.

【分析】(1)根據角平分線性質求出CD=Z)E,根據乩定理求出另三角形全等即可;

(2)求出/Z)EB=90°,OE=1,根據含30度角的直角三角形性質求出即可.

【解答】(1)證明：平分NCA8,DE1AB,NC=90°,

:.CD=ED,ZD￡A=ZC=90°,

在RtAACD和RtAAED中

(AD=AD,

icD=DE，

RtAACD^RtAAED(HI)；

(2)'：DC=DE=\,DEYAB,

；.NDEB=90°,

VZB=30°,

:.BD=2DE=2

【點評】本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質，含30度角的直角三角形性質的

應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

22.(6分)如圖，△ABC中，A(-1,1),8(-4,2),C(-3,4).

(1)在網格中畫出△ABC向右平移5個單位后的圖形△4凸G；

(2)在網格中畫出△ABC關于原點。成中心對稱后的圖形AA232c2；

(3)請直接寫出點比、C2的坐標.

【分析】(1)分別作出A,B,C的對應點4,Bi，Q即可.

(2)分別作出A,B,C的對應點A2,歷，C2即可.

(3)依據222c2各頂點的位置，即可得到點治、C2的坐標.

【解答】解：(1)△A121C1如圖所示.

(2)八4282c2如圖所示.

y小

（3）點&、C2的坐標分別為（4,-2）和（3,-4）.

【點評】本題主要考查了利用平移變換以及旋轉變換進行作圖，平移作圖時要先找到圖

形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對

應點即可得到平移后的圖形.

23.（8分）俄羅斯足球世界杯點燃了同學們對足球運動的熱情，某學校計劃購買甲、乙兩

種品牌的足球供學生使用.已知用1000元購買甲種足球的數量和用1600元購買乙種足

球的數量相同，甲種足球的單價比乙種足球的單價少30元.

（1）求甲、乙兩種品牌的足球的單價各是多少元？

（2）學校準備?次性購買甲、乙兩種品牌的足球共25個，但總費用不超過1610元，那

么這所學校最多購買多少個乙種品牌的足球？

【分析】（1）設甲種品牌的足球的單價為x元/個，則乙種品牌的足球的單價為（x+30）

元/個，根據數量=總價+單價結合用1000元購買甲種足球的數量和用1600元購買乙種

足球的數量相同，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；

（2）設這所學校購買優(yōu)個乙種品牌的足球，則購買（25-m）個甲種品牌的足球，根據

總價=單價X數量結合總費用不超過1610元，即可得出關于機的一元一次不等式，解之

取其中的最大值即可得出結論.

【解答】解：（1）設甲種品牌的足球的單價為x元/個，則乙種品牌的足球的單價為（x+30）

元/個，

根據題意得：駟_=駟_,

xx+30

解得：x=50,

經檢驗，x=50是所列分式方程的解，且符合題意，

?\x+30=80.

答：甲種品牌的足球的單價為50元/個，乙種品牌的足球的單價為80元/個.

（2）設這所學校購買機個乙種品牌的足球，則購買（25-加）個甲種品牌的足球，

根據題意得：80m+50（25-m）W1610,

解得：mW12.

答：這所學校最多購買12個乙種品牌的足球.

【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）

找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不

等式.

24.（10分）如圖，在矩形ABC。中，E是A8的中點，連接。E、CE.

（1）求證：△ADE2△BCE；

（2）若AB=6,AD=4,求△COE的周長.

【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS證得結論；

（2）由（1）中全等三角形的對應邊相等和勾股定理求得線段DE的長度，結合三角形

的周長公式解答.

【解答】（1）證明：在矩形ABC。中，AD=BC,ZA=ZB=9Q°.

是AB的中點，

：.AE=BE.

在△ADE與△BCE中，

fAD=BC

<NA=NB，

kAE=BE

:.AADE經ABCE(SAS)；

（2）由（1）知：△ADE四△BCE,則。E=EC.

在直角△ADE中，AD=4,AE=LB=3,

2

由勾股定理知，DE=qAD2+AE2=442+32=5,

:ACDE的周長=2￡)E+C￡)=2￡)E+AB=2X5+6=16.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，矩形的性質，全等三角形的判定是

結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選

擇恰當的判定條件.

25.(10分)如圖所示，矩形。1BC的鄰邊。4、0c分別與x、y軸重合，矩形。42c的對

稱中心P(4,3),點。由。向A以每秒1個單位速度運動，點M由C向8以每秒2個

單位速度運動，點N由B向C以每秒2個單位速度運動，設運動時間為f秒，三點同時

出發(fā)，當一點到達終點時同時停止.

(1)根據題意，可得點2坐標為(8,6),AC=10；

(2)求點Q運動幾秒時，△PCQ周長最小？

(3)在點M、N、。的運動過程中，能否使以點。、。、M、N為頂點的四邊形是平行四

【分析】(1)由矩形的性質得出。4=BC=8,AB=OC=6,ZAOC=90°,得出B(8,

6),由勾股定理得出AC=Q0A2+0(2=1。即可;

(2)作尸關于x軸的對稱點P',連接P'C交x軸于。，則P(4,-3),此時PQ+CQ

的值最小=尸9,△PC。的周長最小，由相似三角形對應邊成比例列出方程，即可得出結

果；

(3)由題意得：。。=/,CM=BN=2t,貝I]8M=CN=8-2力由OQ〃MN,當OQ=MN

時，以點。、。、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，得出方程t=8-2r-2?；騠=2f

-(8-20,解方程即可.

【解答】解：(1):矩形048。的對稱中心為尸(4,3),

.?.OA=BC=8,AB=OC=6,NAOC=90°,

B(8,6),AC=iyJ0人2,2=10,

故答案為：(8,6),10；

(2)作P關于x軸的對稱點P,連接PC交x軸于。，P'軸于N

如圖2所示：則P(4,-3),

此時PQ+CQ的值最小=「。APCQ的周長最小，

P'N=4,CN=9,

"：P'N//OQ,

：.APZCNS^QCO,

.-.PL_N=CN；即且=9,

OQOCOQ6

。。=旦，

3

/.點Q運動看秒時，△PC。周長最小；

(3)由題意得：OQ=t,CM=BN=2t,貝!J8M=CN=8-2f,

,?OQ//MN,

...當OQ=MN時，以點0、。、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

/.r=8-It-It,或￡=2L(8-2/),

解得：/=旦，或t=—；

53

即在點M、N、。的運動過程中，能使以點0、。、M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,

r值為a秒或反秒.

【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質、坐標與圖形性質、勾股定理、平

行四邊形的判定、最短路線等知識；本題綜合性強，熟練掌握矩形的性質和平行四邊形

的判定是解題的關鍵.

26.(12分)閱讀下列文字:

b

abb

ba

我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式,

例如由圖1可以得到(a+26)(a+6)=a+3ab+2b2.

請解答下列問題：

（1）寫出圖2中所表示的數學等式2=a~+c~+2ab+2ac+2bc；

（2）利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c—11,ab+bc+ac—38,

求/+/+C2的值；

（3）圖3中給出了若干個邊長為。和邊長為6的小正方形紙片及若干個邊長分別為a、b

的長方形紙片，

①請按要求利用所給的紙片拼出一個幾何圖形，并畫在圖3所給的方框中，要求所拼出

的幾何圖形的面積為2a'+5ab+2b2,

②再利用另一種計算面積的方法，可將多項式2/+5帥+27分解因式.

即2/+5ab+2/=（2。+6）（。+26）.

【分析】（1）直接根據圖形寫出等式；

（2）將所求式子與（1）的結論對比，得出變形的式子，代入求值即可；

（3）①畫出圖形，答案不唯一，

②根據原圖形面積=組合后長方形的面積得出等式.

【解答】（1）（a+b+c）"—a^+b^+c~+2ab+2ac+2bc；

故答案為：（a+6+c）2=a2+b"+c2+2ab+2ac+2bc；

(2)?2+Z>2+c2=(a+b+c)~-lab-2ac-2bc,

=112-2X38,

=45；

(3)①如圖所示,

SAAA

②如上圖所示的矩形面積=(2a+b)(a+2b),

它是由2個邊長為a的正方形、5個邊長分別為a、b的長方形、2個邊長為6的小正方

形組成，所以面積為2