2024高考數(shù)學?？碱}型精華版第6講導數(shù)的極值與最值題型總結

【考點分析】

考點一：函數(shù)的駐點

若/'々0)=0,我們把與叫做函數(shù)的駐點.

考點二：函數(shù)的極值點與極值

①極大值點與極大值：函數(shù)〃X)在點X。附近有定義，如果對毛附近的所有點都有/(x)</(x。)，則稱/(%)

是函數(shù)的一個極大值，記作y極大值=/(X。)，其中與叫做函數(shù)的極大值點

②極小值點與極小值：函數(shù)〃x)在點/附近有定義，如果對X。附近的所有點都有/(x)>/(x0),則稱/(X。)

是函數(shù)的一個極小值，記作y極小值=/(x。),其中X。叫做函數(shù)的極小值點

考點三：求可導函數(shù)/(x)極值的步驟

①先確定函數(shù)/(x)的定義域；

②求導數(shù)f'(x)；

③求方程f'(x)=0的根；

④檢驗/'(外在方程/'(x)=0的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那么函

數(shù)y=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數(shù)y=/(x)在這個

根處取得極小值.

注意：可導函數(shù)/(x)在x=x0滿足/?'&)=()是/(x)在/取得極值的必要不充分條件，如f{x)=xi,

/'(0)=0,但％=0不是極值點.

考點四：函數(shù)的最值

一個連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，最值要么在極值點處取得，要么在斷點處取得。

求函數(shù)最值的步驟為：

①求V="X)在［a,b］內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

②將y=/(x)的各極值與/(a)和/(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

【題型目錄】

題型一：求函數(shù)的極值與極值點

題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)的值

題型三：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)的范圍

題型四：利用導數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)

題型五：根據(jù)最值求參數(shù)

題型六：根據(jù)最值求參數(shù)范圍

【典例例題】

題型一：求函數(shù)的極值與極值點

【方法總結】

利用導數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：

(1)求函數(shù)/(X)的定義域；

(2)求導；

(3)解方程/'(/)=0,當/(x0)=0；

(4)列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：

①如果在飛附近的左側/'(力<0,右側/、'(x)〉0,那么是極小值；

Y2

【例1】(2022石泉縣石泉中學)函數(shù)f(x)=j的極小值為()

1,

A.0B.-C.2D.4e2

e

【答案】A

x2x

v2.、2xe-xe-x(x-2)

【解析】由/(x)=j，得/3=.㈤2—=—/一，

當0<x<2時，/'(x)>0,單調(diào)遞增；

當x<0或x〉2時，/'(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減；

V2

所以當x=0時，函數(shù)/(x)=1取得極小值，

極小值為"0)=*=0.

e

故選：A.

【例2】(2021?河南新鄉(xiāng)市)已知函數(shù)/(工)二111］一。工的圖象在％=1處的切線方程為1+?+6=0,則/&)

的極大值為()

A.—In2—1B.—In2+1C.—1D.1

【答案】A

【解析】因為/(x)=lnx-av,所以/''(x)=L-a,

x

又因為函數(shù)/(x)在圖象在x=l處的切線方程為x+N+b=O,

所以/(1)=一a=-b—1,/'⑴=1—a=-1,解得。=2,b=l.

由/，(幻='一2=匕2，0<x<-,f'(x)>0,x>-,f\x)<0,知/(x)在x=1處取得極大值,

xx222

/、(；)=ln；_l=_ln2_l.故選：A.

【例3】若函數(shù)/(x)=e*-ax-/在R上有小于o的極值點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-?,-1)D.(1,+8)

【答案】B

【解析】由f(x)=ex-ax-a2=>r(x)=e、-a

因為/(x)="—ax—1在R上有小于o的極值點，所以/'(x)=e*-。=0有小于0的根，由y=e，的圖

像如圖：

可知/'(x)=e*-。=0有小于0的根需要0<a<1,所以選擇B

Y

【例4】(2022?江西師大附中三模(理))已知函數(shù)/(x)=F—sinx,g(x)為/⑴的導函數(shù).

e

(1)判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(og)上是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由;

【答案】(1)存在；極小值

【分析】(1)轉(zhuǎn)化為判斷導函數(shù)是否存在變號零點，對g'(x)求導后，判斷g'(x)的單調(diào)性，結合零點存在性

定理可得結果；

Xp'v—YPX1—Y

【解析】(1)由/(x)=-7-sinx,可得g(x)=,，八,-一cosx=——cosx,

?，/、—c'—(1—x)evx—2

則ng(x)=-----s------+sinx=——+smx,x

(e)e

令〃(x)=^~~-+sinx,其中4)，可得——+cosx=--^-+cosx>0,

exV2J(ex)e'

所以h(x)在(0目上單調(diào)遞增，即g'(x)在其)上單調(diào)遞增,

使得g'(x())=0，

當xe(O,Xo)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當xc(xo，/1寸,

g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以當X=x°時，函數(shù)g(x)取得極小值.

【例5】(2022?江蘇蘇州?模擬預測)函數(shù)/(x)=x-sinx-cosx.

⑴求函數(shù)/(x)在卜乃司上的極值；

【答案】(1)極大值，1-1;極小值，-1;

【分析】(1)由題可得/'(月=1-應儂[-￡|,進而可得：

【解析】(l)：/(x)=x-sinx-cosx,

/[x)=l-cosx+sinx=l-V^co[,xe,肛,

由r(x)=0,可得x=-1,或x=0,

2

xe(―匹―,)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，xe,/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，xe]。,]],八x)>0J(x)單

調(diào)遞增，

ITTTTT

.?.》=一5時，函數(shù)/*)有極大值/(-5X1-5,x=o時，函數(shù)“X)有極小值/(o)=-i；

【題型專練】

1.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設函數(shù)/(x)=xe、，則

A.1是/(X)的極小值點B.-1是/(x)的極小值點

C.1是/(x)的極大值點D.-1是/(x)的極大值點

【答案】B

【解析】

【詳解】

試題分析：f'(x)-tX?X-9t=(l+x)-?x>當/'(xl=0時，X=-1，當x<-1時>/''0，當X>-1

時，/'〈XI>0,所以當x=-l時，函數(shù)取得極小值，-1是函數(shù)的極小值點，故選B.

考點：導數(shù)與極值

2.(2022福建省福建師大附中高二期末多選)定義在滅的函數(shù)/(X),已知Xo(x0W0)是它的極大值點，

則以下結論正確的是()

A.-%是/(—x)的一個極大值點

B.一與是—/(X)的一個極小值點

C.%是—/(X)的一個極大值點

D.-%是—/(—x)的一個極小值點

【答案】AD

【解析】玉)(玉)。0)是/6)的極大值點，就是存在正數(shù)陰，使得在(X。一私X。)上，f\x)>0,在

(%,%+加)上，f'(x)<0.

設g(x)=/(-x),g'(x)=,

r

當<x<-xQ+加時，xQ-m<-x<xQ,f(-x)>0,g\x)<0,同理-x0-m<x<-x0時,g'(x)>0,

???-X。是的一個極大值點，從而一X。是—/(T)的一個極小值點，X。是-/(X)的一個極小值點.不

能判定-%是不是-/(X)的極值點.故選：AD.

3.(2022江西高三期中(文))已知函數(shù)/(X)=alnx+ax,g(x)=x2+2x.其中aeR.

(1)求函數(shù)人(x)=/(x)+g(x)的極值；

(2)若g(X)的圖像在Z(X1,g(xJ),B(X2，g(X2))(X]</<。)處的切線互相垂直，求吃一苦的最小值.

【答案】(1)答案見解析；(2)I.

【解析】

(1)函數(shù)力(x)=c/lnx+x2+他+2)x的定義或為(0,+<?),

2(x+l)|x+-I

h\x)=-+2x+(a+2)=-------一〃，

XX

若aNO,"(x)>0恒成立，此時/z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無極值；

若”0時,"(x)=0,解得x=—

2

當0<x<—@時，h\x)<0,//(x)單調(diào)遞減；

2

當x>-@時，h'(x)>0,A(x)單調(diào)遞增.

2

當x=-'|■時，"(x)有極小值〃［一=aIn匕-一a,無極大值.

(2)g'(x)=2x+2,則(2再+2)(2々+2)=-1,其中,項</<0,

]

2X1+2<0<2x+2,且X|=-1—1<x<0,

24(%+1)2

?口一*r+1+^1222Tl1r1,

當且僅當/=—ge(—l,0)時取等號，

13

二當々=一］,X［=—5時，—西取最小值1.

題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)的值

【方法總結】

解含參數(shù)的極值問題要注意：

①/'(Xo)=°是X。為函數(shù)極值點的必要不充分條件，故而要注意檢驗；

②若函數(shù)歹=/(X)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值，那么y=/(無)在(*。)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間

上的單調(diào)函數(shù)沒有極值.

【例0(2022全國課時練習)若函數(shù)/(x)=(--ax—的極小值點是x=l,則/(x)的極大值為()

A.-eB.-2e2C.5e-2D.-2

【答案】C

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=(x?-ax-l)e”,可得/'(x)=+(2-a)x-l-a],

所以/'(1)=(2-2a)e=0,解得。=1,&/(x)=(x2-x-1)ex,

可得八x)=e*(x+2)(x-l),

則/(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)的極大值為/(_2)=5小2.故選：C.

【例2】(202卜全國課時練習)若函數(shù)/(x)=x(x-4)2在X=2處取得極小值，貝.

【答案】2

【解析】由/(x)=x(x-a)2=儲-2ax2可得/口)=3》2-4公+/,

因為函數(shù)/(x)=x(x—op在x=2處取得極小值，

所以/'(2)=12-8a+/=0，解得a=2或a=6,

若a=2,則/'(X)=3X2-8X+4=(X-2)(3X-2),

當時，/'(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；當時，f\x)<0,則/(x)單調(diào)遞減：

當xe(2,+8)時，f'(x)>0,則〃x)單調(diào)遞增；所以函數(shù)〃x)在》=2處取得極小值，符合題意；

當a=6時，/'(X)=3X2-24X+36=3(X—2)(X-6),

當xe(-a5,2)時，f\x)>0,則〃x)單調(diào)遞增；當xe(2,6)時，f(x)<0,則〃x)單調(diào)遞減；

當xe(6,+8)時，f'(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；所以函數(shù)在x=2處取得極大值，不符合題意；

綜上：a=2.

故答案為：2.

【例3】(2022?江蘇南通?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(x-a)(x-b)e*在x=a處取極小值，且/(x)的極大值

為4,貝1]6=()

A.-1B.2C.-3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

對/(x)求導，由函數(shù)/(x)=(x-a)(x-6)e*在x=a處取極小值，所以/(。)=0,所以a=6,

.■./(x)=(x-?)2e\對〃x)求導，求單調(diào)區(qū)間及極大值，由的極大值為4,列方程得解.

【詳解】

解：〃x)=(x-a)(x-6)e*=(x2-亦-6x+R>)e*,所以

/,(x)=(2x-a-6)er+(x2-ax-bx+ab)ev=ev[^x2+(2-a-b')x+ab-a-b^

因為函數(shù)/(x)=(x-a)(x-b)e*在x=a處取極小值，所以

/,(tz)=efl[iz2+(2-a-/>)a+ab-a-b^=ea(a-^=C,所以“=b,.?./(司=(》-0)建工，

/'(x)=e*[x2+(2-2a)x+a2-2o]=et(x-亞x-("2],

令/'(x)=0,得x=a或尸a-2,當xe(-8,。-2)時，/,(x)>0,所以〃x)在(-刃，”2)單調(diào)遞增，當

xe(a-2,a)時,，(x)<0,所以/(x)在(a-2,a)單調(diào)遞增，當xe(a,+8)時,〃x)>0,所以/(x)在

(a,+8)單調(diào)遞增,所以〃x)在尸a-2處有極大值為f(a-2)=4e"2=4,解得a=2,所以b=2.

故選：B

【題型專練】

3

1.設函數(shù)/(x)=lnx+ax2-]X,若％=1是函數(shù)/(x)是極大值點，則函數(shù)/(x)的極小值為

【答案】ln2-2

313

【解析】函數(shù)/(x)=Inx+ar2—x=>f\x)=~\-2ax----

2x2

13?

x=l是函數(shù)/")是極大值點則/⑴=,+2〃一或=0=>4=1

13113

f(x\=lnx+—x2——x=>fV)=一"I--x----=0x=]或x=2

''42x22

當x=2時/(x)的極小值為ln2—2故答案為：ln2—2

2.(2023全國高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=Q"-lnx-l,設x=1是/(x)的極值點，則斫—,/(x)

的單調(diào)增區(qū)間為一.

【答案】-(L+8)

e

【解析】

由題意可得：/'(x)=ae「(

?.?%=1是/(工)的極值點

二.r(l)=ae-1=0

e

即/(x)=e，T—Inx-]=>/,(x)=ex-1--

令/'(x)>0,可得x>l

：.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(L+8)

1jr

3.(2023河南省實驗中學高二月考)函數(shù)y=45足》+-5皿3*在彳=一處有極值，則。的值為()

"33

A.-6B.6C.-2D.2

【答案】D

【解析】y'=acosx+cos3x,由V1/=°得，acos^+cos乃=0,”=2,選D.

33

點睛：函數(shù)/(X)在點x=q處由極值，則必有,/''(0)=(),但要注意/'(?)=(),x=2不一定是“X)的極值

點.

題型三：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)的范圍

【例1】(2022?四川綿陽?二模(文))若X=2是函數(shù)/(可uf+zg-Zb-dalnx的極大值點，則實數(shù)a的取

值范圍是()

A.(-no,-2)B.(―2,+co)C.(2,+oo)D.(-2,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

求出了'(X),分a<-2,-2<a<0,。=-2分別討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得其極值情況，從而

得出答案.

【詳解】

/，(x)=2x+2(”2)-竺2.八2("2卜-4、2鼻心),(x>0)

XXX

若“20時，當x>2時，r(x)>0；當0<x<2時，/'(x)<0；

則/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；在(2,+8)上單調(diào)遞增.

所以當x=2時，/(x)取得極小值，與條件不符合，故滿足題意.

當。<-2時，由/'(x)>0可得0<x<2或x>-a：由/'(x)<0可得2Vx<-4

所以在(0,2)上單調(diào)遞增；在(2,一。)上單調(diào)遞減，在(-凡+⑹上單調(diào)遞增.

所以當x=2時，/(x)取得極大值，滿足條件.

當-2<〃<0時，由/'(x)>0可得0<x<-a或x>2；由/'(x)<0可得-"x<2

所以在(0,-a)上單調(diào)遞增；在2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.

所以當x=2時，/(x)取得極小值，不滿足條件.

當。=-2時,/'(x)±0在(0,+8)上恒成立，即/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

此時/(x)無極值.

綜上所述：a<-2滿足條件

故選：A

【例2】(2022?河南?高三階段練習(文))若函數(shù)/(*)=(/+如+2)@在R上無極值，則實數(shù)a的取值范圍

()

A.(-2,2)B.(-273,2^3)C.[-2行,2君]D.[-2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

求/'(x)=[x2+(a+2)x+a+2)e，，由分析可得夕+(a+2)x+a+220恒成立，利用A40即可求得實數(shù)

”的取值范圍.

【詳解】

由+ax+2)-e"可得

/,(jr)=(2x+6/)-e'+(j?+ax+2>e'=[x)+(a+2)x+a+2]e",

e*>0恒成立，丁=/+(〃+2)X+。+2為開口向上的拋物線，

若函數(shù)/(力=卜2+辦+2)〃在R上無極值，

則V=x~+(〃+2)x+a+2N。恒成立，所以△=(Q+2)~-4(Q+2)40,

解得：—2<tz<2,

所以實數(shù)。的取值范圍為[-2,2],

故選：D.

【例3】(2022?全國?高三專題練習)函數(shù)f(x)=C--Inx)在(0,1)內(nèi)有極值，則實數(shù)。的取值范圍是()

x

A.(-00,e)B.(0,e)C.(e,+oo)D.[e,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】

由可導函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極值的充要條件即可作答.

【詳解】

由/(x)=J-a(x-lnx)得，/,(x)=et(-—l)-a(l--)=0

XXXXXX

因函數(shù)/(x)=-—々(％-111%)在(0,1)內(nèi)有極值，則xe(0』)時、f'(x)=0oa=J有解，

xx

即在X￡(O,1)時，函數(shù)g(x)=C與直線y=a有公共點，

X

而g，(x)=C(l-_L)<0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，Vx€(O,l),g(x)>g(l)=e,則a>e,顯然在。=紀零點

XXx

左右兩側/‘(X)異號，

所以實數(shù)a的取值范圍是?4W).

故選：C

【點睛】

結論點睛：可導函數(shù)y=f(x)在點xO處取得極值的充要條件是f(xO)=O,且在xO左側與右側F(x)的符號不

同.

【例4】(2022?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測(理))已知函數(shù)/")=["2-(4“+l)x+4a+3]e",若

x=2是“X)的極小值點，則實數(shù)。的取值范圍是()

；,+8

A.B.C.(-8,0)D.(-1,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)導函數(shù)的正負，對。分類討論，判斷極值點，即可求解.

【詳解】

由/(x)=[a/-(44+1)x+4〃+3]e"得f\x)=(ox-l)(x-2)e",令

f\x)=(ajc-l)(x-2)ev>0=(ax-l)(x-2)>0,

若a<0,貝!|(ax-l)(x-2)>0=1<x<2,此時,在4<x<2單調(diào)遞增，在x>2,x<'單調(diào)遞減，這與x=2

aaa

是/(x)的極小值點矛盾，故舍去.

若。=0,可知x=2是〃力的極大值點，故不符合題意.

若1>a>0,(ax-1)(%-2)>0=>x<2,x>—,此時/(x)在x<2,x>1單調(diào)遞增，在2<x<，單調(diào)遞減，可

2aaa

知x=2是/(x)的極大值點，故不符合題意.

當,,(ax-l)(x-2)>0=>x>2,x<—,此時/(x)在x>2,x<L單調(diào)遞增，在2>x>，單調(diào)遞減，可

知x=2是/(x)的極小值點，符合題意.

若。=；,"X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，舍去.

綜上可知：a>g

故選：B

【例5】(2022?吉林長春?模擬預測(文))已知函數(shù)/(x)=ax+sinx,xe(0,兀).

⑴當“=1時，過(0,1)做函數(shù)/(X)的切線，求切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)存在極值，求極值的取值范圍.

【答案】(l)y=x+l,(2)(09)

【解析】

【分析】

(1)設切點，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)求導分析導函數(shù)為0時的情況，設極值點為％得到a=-cosx0,代入極值再構造函數(shù)

〃(x)=-xcosx+sinx,求導分析單調(diào)性與取值范圍即可

⑴

由題，當a=l時，/(x)=x+sinx,/,(x)=l+cosx,

，

設切點為+sinx0),則/(x0)=l+cosx0,

故切線方程為y-Xo-sinx。=(l+cosxo)(x-x()),

又切線過(0,1),故l-廝-sinx0=-x0(l+cosx0),Bpsinx0-x0cosx0-1=0,

設g(x)=sinx-xcosx-l,XG(O,TT),則gf(x)=xsinx>0,

冗

故$皿/-/?^0-1=0有唯一解%=5，

故切點為斜率為1,故切線方程為夕-(彳+1)=,即y=x+l；

⑵

因為尸(x)=a+cosx,xe(0㈤為減函數(shù)，故若函數(shù)〃x)存在極值，

則/網(wǎng)、)=0在區(qū)間x?(0,71)上有唯一零點設為％,

貝！Ja+cosx0=0,即a=-cosxQ,

故極值/(/)=a/+sin/=cosx0+sinx0,

設〃(x)=-xcosx+sinx,X€(0,H),貝Ijh\x)=xsinx>0,

故〃(X)為增函數(shù),故〃(0)<力(%)<力(")，故0<〃(x)<(，即f(Xo)e(O,T),

故極值的取值范圍(0，公

【點睛】

本題主要考查了過點的切線問題，同時也考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題，需要根據(jù)題意設極值點,

得到極值點滿足的關系，再代入極值構造函數(shù)分析，屬于難題

【例6】(2022?天津?耀華中學二模)已知函數(shù)/(x)=0《+lnx-x(a>O).

X

⑴若4=1,求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(X)存在兩個極小值點看用,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴遞減區(qū)間為(0,1),遞增區(qū)間為0,+8),(2)(0,-)

e

【解析】

【分析】

(1)當。=1時，求得/(x)=(xTX：*x),令Mx)=e'-x,利用導數(shù)求得加(x)>0,進而求得函數(shù)的單

X

調(diào)區(qū)間；

(2)求得&、e，(x-l)(4--),令“3=三，結合單調(diào)性得到“(x)wL進而得到0<三八,分a/

JW=-------2------eeeee

x

和o<“<1,兩種情況分類討論，結合單調(diào)性與極值點的概念，即可求解.

e

(1)

解：當。=1時，函數(shù)/(x)=±+lnx-x,

x

可得八X)=1午1)+1_1=(X7)CT),

XXX

令〃?(x)=e*-x,xe(0,+oo),可得M(x)=e*-1>0,所以函數(shù)機(x)單調(diào)遞增，

因為zn(x)>〃?(0)=l,所以m(x)>0,

當xe(0,l)時，f^(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當xe(l,m)時，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

即函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

(2)

解：由函數(shù)f(x)="-+lnx-x,xw(0,+8),

X

X

可得/-1)=上華工R0，

XX

令"X)=W，可得

ee

所以函數(shù)"(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以“(x)vL

e

當x>0時，可得e，>l,所以0</4(,

①當時，。一三20,此時當xe(O』)時，/^(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

ee

當xe(l,+oo)時，嚴(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)“X)的極小值為/6=ae-l,無極大值;

②當0<°<1時，?((?)=—<-^-=a,w(l)=->a,

eeee

又由〃(x)在(a,1)上單調(diào)遞增，所以"(x)在(a,1)上有唯一的零點為，且含=〃，

因為當1>e時，令g(x)=21nx-x,可得g，(x)=*-l=土三<0,

XX

又因為g(e)=2-e<0,所以g(x)<0,即21nx<x,所以21n1<L

aa

一

IIn-y221n1—]

所以〃(ln-)=—7=a-g-<a,u(\)=->a,

ain-y1e

ea"~

因為u(x)在(l,+8)上單調(diào)遞減，所以/'C(x)在(O/nJ)上有唯一的零點巧，且竟=a，

所以當xe(0,xJ時，*(x)<0,〃x)單調(diào)遞減：

當xe(x”l)時，#(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

當》€(wěn)(1戶2)時，"(x)<0,“X)單調(diào)遞減；

當工€區(qū),+8)時，/^(x)>0,“X)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(X)有兩個極小值點，故實數(shù)a的取值范圍為(0一).

e

【題型專練】

1.(2022貴州遵義?高三)若函數(shù)/(x)=；d-?2+x-5無極值點則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1,1)B.[-1,1]

C.(-<x>,-l)U(l,+?)D.(-00,-1]U[!,+?)

【答案】B

【解析】

/(x)=3'-ax2+x-5,

：.f\x)=x2-2ax+1,

1a，

由函數(shù)/(x)=]/-or+x-5無極值點知，

/'(x)=0至多1個實數(shù)根，

.?.A=(-2a)2-4<0,

解得一iWaW1,

實數(shù)。的取值范圍是[-1,1],

故選：B

2.(2022湖南湘潭?高三月考(理))已知函數(shù)=+有兩個極值點，則.的取值范圍是()

A.(e,+oo)B.C.(e2,+<x>)D.~,+^

)I2J

【答案】D

【解析】

因為f(x)=ex-ax2+2ax有兩個極值點，所以/'(x)=0有兩個不同實數(shù)根，所以靖一2ax+2a=0有

兩個不同實數(shù)根，

所以e、=2a(x—1)有兩個不同實數(shù)根，顯然

]y__1y_17—Y

所以元=二7~有兩個不同實數(shù)根，記g(X)=—7~，g'(x)=17-，

當xe(-oo,2)時g'(x)〉0,當xe(2,+oo)時g'(x)<0,

所以g(x)在(—8,2)上單調(diào)遞增，在(2,+co)上單調(diào)遞減，所以g(x)max=g(2)=5，

又因為xe(-oo,l]時，g(x)<0；當xe(O,2)時，；當xe[2,+a>)時，g(x)e[o，i,

所以當]=二有兩個不同實數(shù)根時,

2ae2a\)

所以2a>e2,所以。>幺，

2

故選：D.

3.若函數(shù)〃x)=x2-2x+alnx有兩個不同的極值點，則實數(shù)。的取值范圍是()

1111

A.a>—B.——<a<0C.a<—D.0<a<-

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，由導函數(shù)有兩個零點可得實數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】

；/(x)=x2-2x+“l(fā)nx有兩個不同的極值點，

2xx+a

，f'(x)=2x-2+-=~~~=0在(0,+8)有2個不同的零點，

2x

：.2--2x+a=0在(0,+8)有2個不同的零點,

[A=4—8tz>0i

???\，解得°<。<彳.

[a>0n2

故選：D.

4.(2020?遼寧高三月考)已知函數(shù)/(x)=a%2-2x+lnx有兩個不同的極值點芭，％，則。的取值范圍

；且不等式/(網(wǎng))+/伍)〈玉恒成立，則實數(shù)/的取值范圍.

【答案】fo,~j[-5,+oo)

【解析】

2ax~-2x+l

/'a)=(x>0),

x

因為函數(shù)/、(力=62-2x+lnx有兩個不同的極值點看,》2,

所以方程2a?-2x+1=0有兩個不相等的正實數(shù)根，

A=4—8(2>0

于是有：“$+工2=4>0，解得

a2

Xy=-->0

「22a

x-x

/(%】)+/(2)i-々-2xl4-lnXj-2x2+Inx2-x}-x2

2

="(X[+x2)-2X1X2J-3(X1+x2)+ln(x1x2)

21c

=-------11-InZ6f,

a

設〃(a)=-2-1-In2a,(0<Q<；),

2—i

“(0=一■>(),故人伍)在0<。<：上單調(diào)遞增，

a2

故〃(a)<U=-5,所以4-5.

因此/的取值范圍是[-5,+8)

故答案為：^0,—[-5,+oo)

5.(2022?江蘇南通?高二期末)若x=a是函數(shù)/(x)=(x-a)2(x-l)的極大值點，則。的取值范圍是()

A.a<\B.a<\C.a>\D.a>1

【答案】A

【解析】

【分析】

求導后，得導函數(shù)的零點。，手，比較兩數(shù)的大小，分別判斷在x="兩側的導數(shù)符號，確定函數(shù)單調(diào)性，

從而確定是否在x=a處取到極大值，即可求得。的范圍.

【詳解】

W：/(x)=(x-a)2(x-l),XGR

?*-f'(x)=(x-Q)(3X-a-2)

4'/"W=(^-a)(3x-a-2)=0,得：x=a,x=^^

當"誓，即a<l

此時〃x)在區(qū)間(-叫。)單調(diào)遞增，(a,等)上單調(diào)遞減，(誓，的)上單調(diào)遞增，符合x=a是函數(shù)/(x)的極

大值點，

反之，當。>審，即a>1，此時/(x)在區(qū)間(-雙營)單調(diào)遞增，(等⑷上單調(diào)遞減，(a,”)上單調(diào)遞增，

x=a是函數(shù)/(x)的極小值點，不符合題意;

當。=小，即。=1,/'（幻20恒成立，函數(shù)“X）在xeR上單調(diào)遞增，無極值點.

綜上得：a<\.

故選：A.

6.（2020?江蘇鹽城?高三期中）若函數(shù)/（x）=；/+6ing在（1,2）上存在兩個極值點，則b（3a+b+9）

的取值范圍是.

【答案】P，fl）

【解析】

因為/(x)=+Mnx+ax(x>0),

x2+ax+b

所以f'^x^=x+—+a=

X

設g（x）=工2+QX+6,

因為函數(shù)/（X）在（1,2）上存在兩個極值點，

所以/'（X）在（1,2）上存在兩個零點，

所以g（x）在（1,2）上存在兩個零點，設為外多且X尸吃，

所以根據(jù)韋達定理有：\,，

|%產(chǎn)2=6

故b(3a+b+9)=b2+3ab+9b

2

=(xt-x2)-3X1?x2(X]+x2)+9x,?x2

2

=(xj-3XJ(X2-3X2),

因為$e(l,2),

由于X]，

2

所以(X；-3X,)(X2-3》21(4號).

故答案為：(4,意].

7.(2018年北京高考題)設函數(shù)/(x)=[or2-(3a+l)x+3a+2]e*。

(1)若曲線V=/(x)在點(2,/(2))處的切線斜率為0,求

(2)討論/(x)的單調(diào)性，若/(x)在x=l處取得極小值，求“的取值范圍。

【解析】：(1)/(x)=ex[ax2-(a+l)x+1],v/(2)=0,得a=；；

(2)/(x)=ex[ax2-(a+l)x+1]=ex(ax--1).

①當a=0時，導數(shù)為一次函數(shù)型，當xe(-oo,l)時，/(x)單調(diào)遞增，當xe(l,+8)時，/(x)單調(diào)遞減。

/(I)是極大值；

②當。>0時，開口向上，兩根分別為,，1；兩根大小不確定，

a

i.當a>l時，1>),當8,；|，(L+⑹時，/(x)單調(diào)遞增，當xe/,1卜寸，/(x)單調(diào)遞減，/⑴

是極小值；

ii.當a=l時，/(x)單調(diào)遞增，無極值；

iii.當0<a<l時，1<,，當xe(-8,1),時，/(x)單調(diào)遞增，當時，/(x)單調(diào)遞

減，/⑴是極大值；

③當a<0時，開口向下，1>工，當：，(1,+8)時?，/(x)單調(diào)遞減，當時?，/(x)單

a\a)\a)

調(diào)遞增，/(I)是極大值；綜上可知。>1。

題型四：利用導數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)

【方法總結】

導數(shù)求函數(shù)的極值與閉區(qū)間上的最值，設函數(shù)/（X）在［見句上連續(xù)，在（。,6）內(nèi)可導，求/（X）在

［a,b］上的最大值和最小值的步驟如下：

①求函數(shù)歹=/（X）在（a,6）內(nèi)的極值；

②將函數(shù)y=/（x））的各極值與端點處的函數(shù)值/（a）,/伍）比較，其中最大的一個為最大值，最小

的一個為最小值.

X

【例1】（2022江蘇單元測試）函數(shù)夕=三在［0,2］上的最大值是（）

e

121

A.—B.—rC.0D.--7=

ee22je

【答案】A

y1-y-

【解析】由f（x）=三,得/（x）=「一,

ee

當04x<l時，f'（x）>0,當1<XW2時，/（x）<0,

所以f（x）在［0,1）上遞增,在以2］上遞減,

所以“X）2=/（1）=L故選：A

e

Inx

【例2】（2022全國課時練習）函數(shù)y=一乙的最大值為（）

x

A.e~lB.eC.e2D.10

【答案】A

【解析】令1=lTnx.=0=x=e.當x>e時，/<0

；當0cx<e時，/>0

x~

1

所以函數(shù)得極大值為e-，因為在定義域內(nèi)只有一個極值，所以乂1m故選：A.

【例3】函數(shù)y=x+sinx在［0,4］上的最大值為（）

A.—I-1B.itC.n-\D.萬+1

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用導數(shù)研究V=x+sinx的單調(diào)性，進而求其最大值.

【詳解】

由題意，在［0,句上y'=l+cosx20,即，=x+sinx單調(diào)遞增，

?,?”詠="+sin萬=萬?

故選：B

【例4】(2020?北京高三期中)已知函數(shù)/(x)=e*(2x2—3x)

(1)求不等式/(x)〉0的解集：

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值和最小值.

【答案】(1){x［x<0或(2)最小值-e,最大值2e?.

【解析】

(1)因為e">0，

由/")=d(2——3x)>0,得2工2_3%>0.

_、3

所以x<0或x>—.

2

所以不等式/(X)>0的解集為{x|X<0或X>*；

x2x

(2)由〃力=0*(2/一3x)得:f\x)=e(2x+x-3)=e(2x+3)(x-1).

3

令/'(x)=0，得x=l,或光=一5(舍).

/(x)與/'(x)在區(qū)間［0,2］上的情況如下：

X0(0,1)1(1,2)2

/'(X)——0+

/(x)0減-e增2e2

所以當x=l時，/(x)取得最小值/、(l)=-e；

當x=2時，/(x)取得最大值/(2)=2e2.

【例5】(2022?全國?高三專題練習)函數(shù)/(x)=的最小值為.

【答案】1

【解析】

【分析】

先證明出e'2/+1成立，對原函數(shù)進行同構構造后直接求解.

【詳解】

記》=e'-t-\.

因為y'=e'-l.令y'>0,解得：r>0；令y'<0,解得：/<0；

所以歹=占一￡一1在(-%0)上單減，在(0,+。)上單增，所以幾而=5-0-1=0.

所以y=e'-f-lN0,即e'2/+l.

所以/(x)=xe'Tnx=e''"'-InXzX+lnx+In、,當且僅當x+lnx=0時等號成立.

x+1x+lX+1

記g(x)=x+lnx,(x〉o).

因為N=%在(0,+。)上單增，V=lnx在(0,+8)上單增，所以g(x)=x+lnx在(0,+功上單增.

Xg|—|=-+ln-=--1<0,g(l)=14-lnl=l>0,

Ve)eee

所以g(x)=x+lnx有且只有一個實根.

而存在唯---個/￡(0,1)使得8(%)=%+仙%0=0.

即存在唯一一個/?0,1)使得/(x0)=l.

所以函數(shù)/(x)=xe：：：x的最小值為1

故答案為：1

【題型專練】

1.(2022?河南鄭州?三模(文))〃x)=e，-x在區(qū)間［-1,1］上的最小值是()

A.1H—B.1C.e+1D.e-1

【答案】B

【解析】

【分析】

求導函數(shù)，分析其導函數(shù)的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性，從而可求得最小值.

【詳解】

因為"x)=e、-x,所以=令/&)=0,解得x=0,

所以當x<0時，/(%)<0,函數(shù)/(x)=e'-x單調(diào)遞減，當>0時，/(%)>0,函數(shù)/(x)=/-x單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/(x)=e*-x在［-1』上的最小值為/(0)=e0-0=l,

故選：B.

2.(2022?全國?高三專題練習)函數(shù)y=(x+l)eTxe［-3,4］的最大值為()

A.2e~2B.5esC.4e5D.-e''

【答案】B

【解析】

【分析】

先對函數(shù)求導，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可求出函數(shù)的最大值

【詳解】

解：由y=