余弦理定

溫顧知新相同起點(diǎn)，尾尾相連，指向被減向量。1、2、BAO創(chuàng)設(shè)情境

某公司打算參與高鐵隧道建設(shè)招投標(biāo)，需計(jì)算隧道實(shí)際長(zhǎng)度BC后給出合理的報(bào)價(jià)，已知AB=4km，AC=5km，利用經(jīng)緯儀（測(cè)角儀）測(cè)出A點(diǎn)對(duì)山腳BC的張角,求隧道BC的長(zhǎng)度。6ABCacb

在△ABC中，已知AB=c

,AC=b，AC與AB

的夾角為∠A，求邊a.深入剖析—探究新知（上述問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成模型）深入剖析—探究新知即同理可證如圖所示，根據(jù)向量的數(shù)量積，可以得到深入剖析—探究新知ABCacb

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。余弦定理:9證明：如圖所示，以△ABC的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，這時(shí)頂點(diǎn)B可作角A終邊上的一個(gè)點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離r＝c，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，由三角函數(shù)的定義可得：x＝ccosA，y＝csinA，即點(diǎn)B為(ccosA，csinA)，又點(diǎn)C的坐標(biāo)是(b,0)．坐標(biāo)法證明余弦定理

前面用向量法給出余弦定理的證明，下面我們給出坐標(biāo)法證明．10△ABC的頂點(diǎn)B或頂點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，同樣可以證明

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察余弦定理的公式，你能發(fā)現(xiàn)它有什么結(jié)構(gòu)特征嗎？結(jié)構(gòu)：（1）三邊長(zhǎng)的平方在余弦定理中同時(shí)出現(xiàn)(x

)2=(y)2+(z)2-2(y)(z)cos(X)x是角X的對(duì)邊深入剖析—探究新知（2）等式左邊的邊與等式右邊的角相對(duì)應(yīng)

問(wèn)題2：如果已知三角形的三邊，根據(jù)余弦定理如何求三角形的角？

深入剖析—探究新知余弦定理的推論：

深入剖析—探究新知勾股定理：

余弦定理發(fā)展史從勾股定理→余弦定理的推廣公元三世紀(jì)前歐幾里得的幾何原本，將三角形分為鈍角和銳角來(lái)解釋，這同時(shí)對(duì)應(yīng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)中余弦值的正負(fù)。1953年，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)首次將歐幾里得的幾何命題寫(xiě)成三角形式。直到二十世紀(jì)，經(jīng)過(guò)眾多數(shù)學(xué)家的努力，余弦定理普遍使用。例1.回到引例.如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.解：由余弦定理，得因此題型一：已知兩邊及夾角，求其他邊角(SAS)

變式訓(xùn)練一：ACOBDPQ80°ABDPQ80°解：經(jīng)過(guò)3h，甲到達(dá)點(diǎn)P,乙到達(dá)點(diǎn)Q,在△OPQ中，依余弦定理，得因此，3h后兩人相距約16.4km已知在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形。題型二：已知三邊，求其他角(SSS)

解：例2：在△ABC中，已知a=1，b=2，c=，求最大角的度數(shù)。由大邊對(duì)大角知最大內(nèi)角為∠C，變式訓(xùn)練二：解：由余弦定理題型三：已知兩邊和一邊對(duì)角(SSA)CBAabc由余弦定理得

即

解得解：三角形中的邊角關(guān)系余弦定理定理內(nèi)容定理證明定理應(yīng)用向量法、坐標(biāo)法２.已知三邊，求三個(gè)角(SSS)１.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊（SAS)推論重點(diǎn)難點(diǎn)