§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)一些常用的連續(xù)型隨機(jī)變量1可編輯ppt一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)定義如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量記為：X~f(x)，其圖象稱為密度曲線。說明：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為連續(xù)函數(shù)。2可編輯ppt概率密度f(x)具有以下性質(zhì)：f(x)0x1f(x)x0前兩個(gè)條件是概率密度的充分必要條件X落在(x1,x2]上概率是概率密度在(x1,x2]上的定積分值。連續(xù)型隨機(jī)變量3可編輯ppt事實(shí)上，既有5.設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,有連續(xù)型隨機(jī)變量注意:連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)與離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)非常相似，但是密度函數(shù)不是概率！4可編輯ppt說明：由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．此公式非常重要！若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),則X在任意區(qū)間G(G可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間;可以是有限區(qū)間,也可以是無窮區(qū)間)上取值的概率為連續(xù)型隨機(jī)變量5可編輯ppt例1

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為解⑴由密度函數(shù)的性質(zhì),有連續(xù)型隨機(jī)變量6可編輯ppt例2某電子元件的壽命X（小時(shí)）是以為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量．求5個(gè)同類型的元件在使用的前150小時(shí)內(nèi)恰有2個(gè)需要更換的概率.解設(shè)A={某元件在使用的前150小時(shí)內(nèi)需要更換}設(shè)Y表示5個(gè)元件中使用壽命不超過150小時(shí)的元件數(shù)，則

故所求概率為檢驗(yàn)5個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)5重Bernoulli試驗(yàn)連續(xù)型隨機(jī)變量7可編輯ppt例3設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量8可編輯ppt例3（續(xù)）連續(xù)型隨機(jī)變量9可編輯ppt例4

設(shè)有隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為求1)A值.解2）X的分布函數(shù).3）P{1.5<X<2.5}連續(xù)型隨機(jī)變量1)由密度函數(shù)的性質(zhì),有2)

X的分布函數(shù)或3)10可編輯ppt二、一些常用的連續(xù)型隨機(jī)變量1.均勻分布定義若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為記作X~U[a,b]abxF(x)01X的分布函數(shù)為：連續(xù)型隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布.11可編輯ppt顯然，分布函數(shù)隨機(jī)變量12可編輯ppt均勻分布的概率背景XXabllx0連續(xù)型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布,則隨機(jī)變量X在區(qū)間[a,b]上任意一個(gè)子區(qū)間上取值的概率與該區(qū)間的長度成正比,與該區(qū)間的位置無關(guān).此時(shí)可認(rèn)為隨機(jī)變量X在區(qū)間[a,b]上取值是等可能的.13可編輯ppt例5

設(shè)公共汽車站從上午7時(shí)起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量．試求該乘客候車時(shí)間不超過5分鐘的概率．解：令：B={候車時(shí)間不超過5分鐘},則連續(xù)型隨機(jī)變量乘客到達(dá)此站的時(shí)間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量設(shè)該乘客于7時(shí)X分到達(dá)此站,X服從區(qū)間[0,30]上的均勻分布．14可編輯ppt例6解隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)為：連續(xù)型隨機(jī)變量15可編輯ppt2.指數(shù)分布定義若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為記為：其分布函數(shù)為說明指數(shù)分布常用于近似表示“壽命”分布，如：服務(wù)時(shí)間，某消耗品的壽命，放射性元素的衰變期等，指數(shù)分布在排隊(duì)論與可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用。連續(xù)型隨機(jī)變量16可編輯ppt例7令：B={等待時(shí)間為10~20分鐘},則連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)打一次電話所用的時(shí)間X(分鐘)是服從參數(shù)為λ=1/10的指數(shù)分布.如果某人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間,求你需要等待10~20分鐘的概率.X的密度函數(shù)為X(分鐘)是服從參數(shù)為λ=1/10的指數(shù)分布17可編輯ppt3.正態(tài)分布0xf(x)(1)概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為(其中(-∞<μ<+∞,σ>0),則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布,由稱高斯分布.記為:X~N(μ,σ2)18可編輯ppt特別是,當(dāng)μ=0,σ2=1時(shí)稱正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分0xf(x)其圖形如右連續(xù)型隨機(jī)變量布.記為:N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為:19可編輯ppt密度函數(shù)的驗(yàn)證只驗(yàn)證見高等數(shù)學(xué)（下）二重積分連續(xù)型隨機(jī)變量20可編輯ppt由正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形知：xf(x)0連續(xù)型隨機(jī)變量(1)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,這表明：對(duì)任意的h>0,有(2)當(dāng)x=μ時(shí),f(x)取到最大值21可編輯ppt連續(xù)型隨機(jī)變量(3)曲線y=f(x)在x=μ+σ,x=μ-σ時(shí)處有拐點(diǎn);曲線以x軸為漸近線.(4)若σ固定,改變?chǔ)痰闹?則y=f(x)的圖形沿x軸平行移動(dòng),但圖形的形狀不改變.(5)若μ固定,改變?chǔ)业闹?當(dāng)σ越小,則y=f(x)的圖形越陡,即X落在μ值附近的概率越大;反之,當(dāng)σ越大,則y=f(x)的圖形越平緩,表明X取值越分散.xf(x)022可編輯ppt（2）分布函數(shù)且有連續(xù)型隨機(jī)變量23可編輯pptx0x-x證明：由公式有，分布函數(shù)隨機(jī)變量作變換t=-μ，dt=-dμ得24可編輯ppt說明(2)對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，有當(dāng)0≤x≤4時(shí)，從附表直接只查Φ(x).連續(xù)型隨機(jī)變量當(dāng)x>4時(shí)，Φ(x)=1;當(dāng)-4<x時(shí)，Φ(x)=0.當(dāng)-4≤x≤0時(shí)，Φ(x)=1-Φ(-x).25可編輯ppt(3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與正態(tài)分布的關(guān)系連續(xù)型隨機(jī)變量26可編輯ppt該公式給出了一般正態(tài)分布分布函數(shù)值的求法連續(xù)型隨機(jī)變量27可編輯ppt該公式給出了一般正態(tài)分布概率函數(shù)值的求法連續(xù)型隨機(jī)變量28可編輯ppt例8

設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),試求:(1)P{1≤X<2};連續(xù)型隨機(jī)變量29可編輯ppt例9

設(shè)隨機(jī)變量X~N(2,9)試求:(1)P{1≤X<5};連續(xù)型隨機(jī)變量30可編輯ppt連續(xù)型隨機(jī)變量X~N(2,9)31可編輯ppt0連續(xù)型隨機(jī)變量32可編輯ppt

規(guī)則（3標(biāo)準(zhǔn)差規(guī)則）連續(xù)型隨機(jī)變量33可編輯ppt4*.Γ-分布.連續(xù)型隨機(jī)變量34可編輯pptΓ-函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量35可編輯ppt說明：我們稱此分布為排隊(duì)論中的n階Erlang(愛爾朗）分布，連續(xù)型隨機(jī)變量36可編輯ppt我們稱此分布為自由度為n的--分布，它為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常見的統(tǒng)計(jì)量之一，連續(xù)型隨機(jī)變量37可編輯ppt4正態(tài)分布的密度函數(shù)及幾何性質(zhì)