4.5.3

函數(shù)模型的應(yīng)用自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、常見的函數(shù)模型1.在現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中,有許多問題蘊(yùn)含著量與量之間的關(guān)系,可通過建立變量之間的函數(shù)關(guān)系并對所得函數(shù)進(jìn)行研究的方式,使問題得到解決.到目前為止,我們已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)模型有哪些?提示:一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、冪函數(shù)模型、反比例函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型.2.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型:y=kax+b(k≠0,a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型:y=klogax+b(k≠0,a>0,且a≠1).二、解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的基本步驟解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟(1)設(shè)恰當(dāng)?shù)淖兞?研究實(shí)際問題中的變量之間的關(guān)系,并用x,y表示問題中的變量.(2)建立函數(shù)模型:將y表示為x的函數(shù),寫出y關(guān)于x的解析式,并注意標(biāo)明函數(shù)的定義域.(3)求解函數(shù)模型:根據(jù)函數(shù)模型及其定義域,利用相應(yīng)的函數(shù)知識求解函數(shù)模型.(4)給出實(shí)際問題的解:將數(shù)學(xué)模型的解還原為實(shí)際問題的解,得出實(shí)際問題的解.解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟(1)設(shè)恰當(dāng)?shù)淖兞?研究實(shí)際問題中的變量之間的關(guān)系,并用x,y表示問題中的變量.(2)建立函數(shù)模型:將y表示為x的函數(shù),寫出y關(guān)于x的解析式,并注意標(biāo)明函數(shù)的定義域.(3)求解函數(shù)模型:根據(jù)函數(shù)模型及其定義域,利用相應(yīng)的函數(shù)知識求解函數(shù)模型.(4)給出實(shí)際問題的解:將數(shù)學(xué)模型的解還原為實(shí)際問題的解,得出實(shí)際問題的解.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題可以用指數(shù)型函數(shù)模型來表述.(√)(2)在函數(shù)建模中,散點(diǎn)圖可以幫助我們選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.(√)(3)當(dāng)自變量在不同的范圍下,對應(yīng)關(guān)系不同時(shí),可以選擇分段函數(shù)模型.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】

某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥,假設(shè)成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測:服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位:微克)與時(shí)間t(單位:小時(shí))之間近似滿足曲線如圖所示.(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(t);(2)據(jù)進(jìn)一步測定:每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí),治療有效.求服藥一次后治療有效的時(shí)間.若將本例中(2)改為:據(jù)進(jìn)一步測定,每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí),治療有效.如果第一次服藥在上午7:00,那么第二次服藥應(yīng)該在什么時(shí)間?反思感悟應(yīng)用與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型需注意的問題(1)在利用模型解決實(shí)際問題時(shí),要注意自變量x的取值范圍;(2)對于函數(shù)y=kax,不僅要注意底數(shù)a的取值范圍,還要注意k的符號對函數(shù)性質(zhì)的影響;(3)若原有量為N,每次的減少率為p,經(jīng)過x次減少,原有量減少到y(tǒng),則y=N(1-p)x.探究二

與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】

候鳥每年都要隨季節(jié)的變化進(jìn)行大規(guī)模遷徙,研究某種候鳥的專家發(fā)現(xiàn),該種候鳥的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為

(其中a,b是常數(shù)).據(jù)統(tǒng)計(jì),該種候鳥在靜止時(shí)的耗氧量為30個(gè)單位,而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí),飛行速度為1m/s.(1)求a,b的值;(2)若這種候鳥為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個(gè)單位?反思感悟求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型的技巧:先根據(jù)已知條件求出解析式中的參數(shù)值,或結(jié)合具體問題從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求解,再根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.【變式訓(xùn)練1】

某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖,引入了一種以該昆蟲為食的動(dòng)物.已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(單位:只)與引入時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為y=alog2(x+1),若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只,則第7年它們發(fā)展到(

)A.300只 B.400只

C.600只

D.700只解析:將x=1,y=100代入y=alog2(x+1),得100=alog2(1+1),解得a=100.所以當(dāng)x=7時(shí),y=100log2(7+1)=300.答案:A探究三

函數(shù)模型的選擇【例3】

某汽車制造商在2023年初公告:公司計(jì)劃2023年生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬輛.分別將2020年,2021年,2022年定義為第1,2,3年,已知該公司近三年汽車生產(chǎn)量如下表所示:第x年123產(chǎn)量/萬81830現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)模型:y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0),y=g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1),哪個(gè)模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與x的關(guān)系?解:建立年產(chǎn)量y與年份x的函數(shù),可知函數(shù)圖象必過點(diǎn)(1,8),(2,18),(3,30).①構(gòu)造模型y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0),將以上三點(diǎn)坐標(biāo)代入,則y=f(x)=x2+7x.故f(4)=44,與計(jì)劃誤差為1.反思感悟函數(shù)模型選取的依據(jù)(1)對于增長速度不變的實(shí)際問題,可建立線性函數(shù)增長模型;(2)對于增長速度急劇變化的實(shí)際問題,可建立指數(shù)函數(shù)增長模型;(3)對于增長速度平緩的實(shí)際問題,可建立對數(shù)函數(shù)增長模型.在解決具體問題時(shí),需要提取問題中的關(guān)鍵信息,恰當(dāng)準(zhǔn)確地建立相應(yīng)的函數(shù)模型.【變式訓(xùn)練2】

為了積極響應(yīng)黨的二十大精神,推動(dòng)綠色發(fā)展,促進(jìn)人與自然和諧共生,某地區(qū)加大植樹造林力度,測得最近三年造林面積增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃,則造林面積增加值y萬公頃關(guān)于年份序號x的函數(shù)解析式大致可以是(

)解析:對于選項(xiàng)A,當(dāng)x=1,2時(shí),符合題意,當(dāng)x=3時(shí),y=0.6,與0.76相差0.16;對于選項(xiàng)B,當(dāng)x=1時(shí),y=0.3;當(dāng)x=2時(shí),y=0.8;當(dāng)x=3時(shí),y=1.5,相差較大,不符合題意;對于選項(xiàng)C,當(dāng)x=1,2時(shí),符合題意;當(dāng)x=3時(shí),y=0.8,與0.76相差0.04,與選項(xiàng)A比較,更符合題意;對于選項(xiàng)D,當(dāng)x=1時(shí),y=0.2;當(dāng)x=2時(shí),y=0.45;當(dāng)x=3時(shí),y≈0.6<0.7,相差較大,不符合題意.答案:C易

錯(cuò)

辨

析審題不清致錯(cuò)【典例】

某工廠連續(xù)數(shù)年的產(chǎn)值月平均增長率為p,則它的年平均增長率為

.

錯(cuò)解:設(shè)第一年的產(chǎn)值為1,則經(jīng)過12個(gè)月后,即第二年的產(chǎn)值為(1+p)12,即它的年平均增長率為(1+p)12.答案:(1+p)12以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述錯(cuò)解是由于對年平均增長率的含義理解不清導(dǎo)致的.正解:依題意可設(shè),連續(xù)兩年中每月的產(chǎn)值分別為:第一年:a,a(1+p),a(1+p)2,…,a(1+p)11,第二年:a(1+p)12,a(1+p)13,a(1+p)14,…,a(1+p)23,因此年平均增長率為答案:(1+p)12-1防范措施在增長率公式y(tǒng)=N(1+p)x中,指數(shù)x是指基數(shù)所在時(shí)間后所跨過的時(shí)間間隔數(shù).【變式訓(xùn)練】

若某工廠連續(xù)兩年的產(chǎn)