3.：拋物線的簡單幾何性質【考點梳理】考點一：拋物線的簡單幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點坐標Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點坐標O(0,0)離心率e＝1通徑長2p考點二：直線與拋物線的位置關系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數(shù)．當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若Δ＝0，直線與拋物線有一個公共點；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點．當k＝0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有1個公共點．考點三：直線和拋物線1．拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為2p.2．拋物線的焦點弦過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重難點技巧：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.【題型歸納】題型一：拋物線的簡單性質（頂點、焦點、范圍）1．（2023·全國·高二專題）對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為【答案】A【解析】將拋物線方程改寫為標準方程形式，則可根據(jù)該方程判斷開口方向，以及焦點坐標.【詳解】由題知，該拋物線的標準方程為，則該拋物線開口向上，焦點坐標為.故選：A.2．（2022·高二課時練習）若拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點到焦點的距離恒大于1，則p的取值范圍是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2【答案】D【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質當P為拋物線的頂點時，P到準線的距離取得最小值，列不等式求解.【詳解】∵設P為拋物線的任意一點，則P到焦點的距離等于到準線：x的距離，顯然當P為拋物線的頂點時，P到準線的距離取得最小值．∴，即p＞2．故選：D．【點睛】此題考查拋物線的幾何性質，根據(jù)幾何性質解決拋物線上的點到焦點距離的取值范圍問題.3．（2017秋·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谥校┮阎獟佄锞€：，點為拋物線上任意一點，過點向圓作切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圓圓心，半徑，設，故選B.【點睛】解答本題的關鍵步驟是：1.確定圓的標準方程；；；4..根據(jù)四邊形面積公式求出.4．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）為拋物線的焦點，直線與拋物線交于兩點，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在拋物線中可借助直角三角形的正切值的求解.再由對稱性求.【詳解】，拋物線中時可得，且則，?。ㄈ鐖D），,又對稱性可知.故選；C.題型二：拋物線的對稱性5．（2023·全國·高二專題練習）已知為坐標原點，垂直拋物線的軸的直線與拋物線交于兩點，，則，則（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由題知為等腰直角三角形，進而得，再代入方程求解即可.【詳解】解：∵，∴，∴，∵，且軸，∴由拋物線的對稱性為等腰直角三角形，設與軸的交點為，∴，即，∴將代入得，解得．故選：D．6．（2023秋·高二課前預習）是拋物線上的兩點，為坐標原，且的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可設，，利用的面積算出，再結合圖形求出.【詳解】如圖，∵，知兩點關于軸對稱，設，∴，解得，∴，∴，∴，∴.故選：C題型三：拋物線的弦長問題7．（2023春·云南楚雄·高二?？茧A段練習）過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如圖所示，由題得，利用拋物線焦半徑公式即得解.【詳解】如圖所示，由題得，拋物線的準線方程為.過點A作AM垂直于準線于點M，過點B作BN垂直于準線于點N，由拋物線定義可知，，∴.故選：C8．（2023·全國·高二專題練習）設拋物線焦點為，準線與對稱軸交于點，過的直線交拋物線于，兩點，對稱軸上一點滿足，若的面積為，則到拋物線準線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】假設焦點在軸上，不妨設拋物線方程為，設過點的直線方程為，，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，結合得到，解得，根據(jù)相似得到，從而列出方程，求出，再考慮焦點在軸上，同理可得到，求出答案.【詳解】假設焦點在軸上，不妨設拋物線方程為，由題意得，，若過點的直線斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，舍去，設過點的直線方程為，，與拋物線聯(lián)立得，設，則，因為，設，則，即，將代入中得，，如圖所示，可知，，因為∽，所以，故，即，解得，則到拋物線準線的距離為，假設焦點在軸上，不妨設拋物線方程為同理可得，故到拋物線準線的距離為，綜上，到拋物線準線的距離為.故選：B9．（2023·全國·高二專題練習）已知A，B，M，N為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點F，O為坐標原點，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的面積求出，則可求出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，由拋物線的定義可求出，同理求出，即可求出四邊形AMBN的面積.【詳解】不妨設，且．因為的面積為，所以，代入拋物線的方程可得，則．又因為直線過點，所以直線的方程為：，化簡可得：．由，得，所以，則．直線的方程，同理可得．因為，所以四邊形的面積為．故選：D.題型四：拋物線的焦點弦性質問題10．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線：的焦點為，是拋物線在第一象限的一點，過作的準線的垂線，垂足為，的中點為，若直線經過點，則直線的斜率為（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】設，進而可得，再根據(jù)拋物線定義可得，結合列式可得，進而求得.【詳解】由題意，設，則，又的中點為，故.由拋物線定義可得，故.則，因為直線經過點，即，故，又是拋物線在第一象限的一點，故，解得.故，直線的斜率為.故選：C11．（2023春·江西吉安·高二江西省萬安中學校考期中）過拋物線C：的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若，則l的斜率為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】設拋物線的準線為m，分別過點A，N，B作垂足分別為，計算得到，得到，得到直線MN的傾斜角是150°，從而得到直線l的傾斜角是60°，即可求得直線l的斜率.【詳解】設拋物線的準線為m，分別過點A，N，B作垂足分別為，因為直線l過拋物線的焦點，所以，又N是線段AB的中點，|MN|＝|AB|，所以，所以，則直線MN的傾斜角是150°.又MN⊥l，所以直線l的傾斜角是60°，斜率是.故選：D12．（2023春·全國·高二期中）已知拋物線的焦點為F，準線為l，過F且斜率為的直線與C交于A，B兩點，D為AB的中點，且于點M，AB的垂直平分線交x軸于點N，四邊形DMFN的面積為，則（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】設出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程，表達出點坐標，作出輔助線，求出，得到四邊形DMFN為平行四邊形，利用面積列出方程，求出.【詳解】由題意知，直線AB的方程為．設，由，得，所以，所以，由，得．如圖所示，作軸于點E，則．因為，故，，又，故，又，得四邊形DMFN為平行四邊形．所以其面積為，解得．故選：A題型五：拋物線中的參數(shù)范圍13．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線上三點A，B，C，且當點B移動時，點C的橫坐標的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，根據(jù)題意分析可得，換元，結合基本不等式運算求解.【詳解】由題意可設：，因為，因為，則，且，則，可得，整理得，令，則，當時，，當且僅當，即時，等號成立，則；當時，，當且僅當，即時，等號成立，則；綜上所述：點C的橫坐標m的取值范圍是.故選：A.14．（2022春·北京·高二北京二中?？计谀?，是拋物線上的兩個動點，為坐標原點，當時，的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．64【答案】C【分析】聯(lián)立直線，的方程和拋物線方程，求出點，的坐標，再求出，，根據(jù)基本不等式即可求出最小值．【詳解】解：設直線的方程為，，，直線的方程為，由，解得，即，，則，由，解得，即，則，，當且僅當時取等號，的最小值為8．故選：C．15．（2022·全國·高二專題練習）設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】設出，P點坐標，根據(jù)及拋物線方程，得到，從而表達出直線OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.【詳解】因為，設，顯然當時，，當時，，則要想求解直線OM的斜率的最大值，此時，設，因為，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，則，當且僅當，即時，等號成立，故直線OM的斜率的最大值為.故選：C題型六：拋物線的定值、定點問題16．（2023秋·全國·高二期中）如圖，設直線與拋物線(為常數(shù))交于不同的兩點，且當時，拋物線的焦點到直線的距離為.過點的直線交拋物線于另一點，且直線過點，則直線過點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后聯(lián)立方程組并寫出根與系數(shù)關系，求得直線、直線，進而確定正確答案.【詳解】直線，即，依題意，到直線的距離為，所以拋物線方程為，直線，由消去并化簡得，，且，設，則.由，直線的方程為，所以，即，則，故，所以，所以，直線的方程為，即，則，故，所以，也即直線過定點.故選：A.【點睛】方法點睛：求拋物線的標準方程的方法有：根據(jù)焦點或準線來求、根據(jù)拋物線的定義來求、利用待定系數(shù)法來求、通過已知條件列等量關系式，化簡后得到拋物線的標準方程.求解直線和拋物線的交點，可通過聯(lián)立方程組來求解.17．（2023秋·高二單元測試）已知O為坐標原點，拋物線，點，設直線l與C交于不同的兩點P，Q.(1)若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線l不垂直于x軸，且，證明：直線l過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當點在第一象限時，設，，由基本不等式求得的范圍，同理可求當點在第四象限時的范圍.（2）設直線的方程為，由得，可證得直線l過定點．【詳解】（1）

當點在第一象限時，設，則，（當時取等號），∴，同理，當點在第四象限時，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程得，設，則，∵，即，即，即，即，∴，滿足，∴，∴直線過定點.18．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的左、右焦點分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點為焦點.(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點為拋物線的準線上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，連接并延長交拋物線于點，求證：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設，令，代入的方程得，結合三角形的面積求出，即可得出，從而得解；（2）由（1）知，可得的坐標，直線的方程為，代入拋物線的方程可得的坐標，進而得的方程，求解即可.【詳解】（1）

設，則，令，代入的方程，得.所以，所以，故，即.所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，則.直線的方程為，代入拋物線的方程有.當時，，所以直線的方程為，即.所以此時直線過定點.當時，直線的方程為，此時仍過點，綜上，直線過定點.【雙基達標】單選題19．（2023·全國·高二專題練習）直線與拋物線交于、兩點，若，其中為坐標原點，則的準線方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出點、的坐標，根據(jù)求出的值，即可得出拋物線的準線方程.【詳解】不妨設點在第一象限，則點在第四象限，聯(lián)立可得，則點、，所以，，解得，因此，的準線方程為.故選：B.20．（2023秋·高二課時練習）已知圓與拋物線的準線相切，則（

）A． B． C．8 D．2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質，直線與圓的位置關系即可求解.【詳解】拋物線的準線為，又圓與該拋物線的準線相切,圓心到準線的距離：.故選：D.21．（2023秋·高二課時練習）直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點．若，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【分析】首先根據(jù)焦半徑公式并結合條件，得到點的坐標，即可求得弦長.【詳解】拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設，，，，因為，所以，得，①因為，所以，即，②由方程①②可得，，所以.故選：C22．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學?？茧A段練習）已知雙曲線E：，若拋物線的焦點到雙曲線E的漸近線的距離為，過焦點傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點，則的值為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】分別求出拋物線標準方程和直線方程，聯(lián)立消求的值，利用弦長公式，即可求得本題答案.【詳解】因為拋物線的焦點為，雙曲線E：其中一條漸近線方程為，所以焦點到漸近線的距離，解得，所以拋物線的標準方程為，因為直線過焦點且傾斜角為，所以直線方程為，所以拋物線標準方程與直線方程聯(lián)立消，得，由韋達定理得，，所以弦長.故選：A23．（2023秋·高二課時練習）過拋物線：上一點作兩條直線分別與拋物線相交于，兩點，若直線的斜率為2，直線，的斜率倒數(shù)之和為3，則（

）A． B．5 C． D．15【答案】C【分析】設，，表示出，，的斜率，然后利用直線，的斜率倒數(shù)之和為3，列方程可求得結果.【詳解】設，，故，則因為在拋物線上，所以，所以，所以，解之，得，故選：C.24．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，圓，過圓心的直線與拋物線和圓相交于四點，從左往右依次為，若成等差數(shù)列，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓的圓心，的長，設出直線的解析式，令直線和拋物線聯(lián)立即可求出直線的斜率.【詳解】由題意，在圓中,，圓心,半徑為1,在拋物線中，焦點為，∴圓的圓心為拋物線的焦點，∵圓心的直線與拋物線和圓相交于四點，從左往右依次為，∴為圓的直徑，即，∵成等差數(shù)列，則，解得：，∵直線過，兩點是過圓心點的直線與拋物線交點，設的方程為,，聯(lián)立和，并化簡得：，∴，∴，∴，解得：，故選：D.25．（2023秋·高二課時練習）已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于，兩點.求證：(1)，；(2)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設出過拋物線的焦點F的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，由根與系數(shù)的關系即可證明結論；（2）求出弦AB的中點M的坐標，求得弦長，證明M到準線的距離等于的一半，即可證明結論.【詳解】（1）由拋物線可知焦點，準線方程為,又過拋物線的焦點F的直線交拋物線于，兩點.，故該直線斜率不為0，可設其方程為，聯(lián)立，得，，故，所以；（2）設AB的中點為，結合（1）得，，所以以AB為直徑的圓的半徑為，圓心為M，點M到準線的距離為，即圓心到準線的距離等于圓的半徑，即以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.26．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，是拋物線對稱軸上一點，過點M作拋物線的弦AB，交拋物線于A，B.(1)若，求弦AB中點的軌跡方程；(2)過點M作拋物線的另一條弦CD，若AD與y軸交于點E，連接ME，BC，求證：.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由,設其方程為,聯(lián)立方程后,結合韋達定理及中點公式,可得弦中點的軌跡方程;（2）用兩點式求得的方程為:，的方程為:,由,都經過點,故,進而求得,根據(jù)直線平行的充要條件得到.【詳解】（1）設方程為,聯(lián)立得，則,設中點,則,因此弦AB中點的軌跡方程為.（2）證明:設，，其中均為正數(shù)，用兩點式求得的方程為:,的方程為:,因為,都經過點,故,的方程為:,與軸交點為，，而，【高分突破】一、單選題27．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線C：的焦點為F，A是C上一點，O為坐標原點，若，則的面積為（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】利用題目所給的條件，計算出A點的坐標可得答案.【詳解】依題意作下圖：設，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故選：A.28．（2023春·河北石家莊·高二正定中學?？茧A段練習）已知點為雙曲線的漸近線和拋物線的一個公共點，若到拋物線焦點的距離為5，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】利用拋物線的定義可求得點的坐標，從而求得的值，由此求得雙曲線的離心率.【詳解】結合雙曲線與拋物線的對稱性，不妨設點為第一象限內的點，則，因為拋物線為，由拋物線的定義可得，解得，所以，可得，即點，因為雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，則，所以，則所求雙曲線的離心率為.故選：A.29．（2023·全國·高二專題練習）過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如圖所示，由題得，利用拋物線的定義化簡即得解.【詳解】如圖所示，由題得，拋物線的準線方程為.所以.故選：C30．（2023春·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習）已知點M，N是拋物線：和動圓C：的兩個公共點，點F是的焦點，當MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，則當變化時，的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到，結合是MN的中點，可得，由拋物線的定義可將轉化為，當三點在一條直線時，可求得的最小值.【詳解】圓C：的圓心，當MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，設直線的方程為，化簡為：，，消去可得：，設，，所以，因為是MN的中點，所以，解得：，故，，由拋物線的定義可知，過點作交于點，過點作交于點，所以，所以，當三點在一條直線時取等.故選：B.31．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）設F為拋物線的焦點，點P在拋物線上，點Q在準線l上，滿足軸．若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意和拋物線的性質可得到為等邊三角形，進而即可求得的值．【詳解】依題意有，則為等邊三角形，又軸，所以．故選：A．32．（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且位于第一象限，于點，過點作QF的平行線交軸于點，若，且四邊形PQKR的面積為，則直線QR的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何關系可判斷出PQFR為菱形，其可判斷與均為正三角形，由此得到p與菱形邊長關系，再根據(jù)面積得到p值，最終根據(jù)點斜式得到方程.【詳解】如圖，因為，，所以四邊形PQFR為平行四邊形．又因為，所以四邊形PQFR為菱形，所以．由拋物線的定義知，則，即與均為正三角形，設，則在中，，即，即．因為四邊形PQKR的面積為，所以，解得，則，又直線QR的斜率，所以直線QR的方程為，即.故選D．二、多選題33．（2023春·全國·高二校聯(lián)考階段練習）已知拋物線的焦點為F，，是C上相異兩點，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，且，則C．若，則 D．若，則的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)相等向量得F為的中點，利用焦半徑公式求解弦長判斷A，根據(jù)焦半徑公式及點在拋物線上建立方程求解判斷B，根據(jù)焦半徑公式求解弦長判斷C，根據(jù)拋物線的定義，把轉化為，利用當三點共線時，取得最小值，從而判斷D.【詳解】對于A，因為，所以F為的中點，根據(jù)拋物線的對稱性知，直線與軸垂直，所以，正確；對于B，因為，所以，即，又，所以，所以，解得或，錯誤；對于C，若，則，正確；對于D，拋物線的焦點為，準線方程為，過點作準線的垂線，垂足為點，由拋物線的定義得，則，當點N、A、M三點共線時，取得最小值，且最小值為.正確.故選：ACD.34．（2023秋·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學校考期末）已知拋物線的焦點為F，過F且傾斜角為的直線l交拋物線于A，B兩點，以下結論中正確的有（

）A．直線l的方程為B．原點到直線l的距離為C．D．以AB為直徑的圓過原點【答案】ABC【分析】對選項A，利用點斜式求出直線方程即可判斷A正確，對選項B，利用點到直線的距離公式即可判斷B正確，對選項C，首先聯(lián)立直線和拋物線，再利用焦點弦公式即可判斷C正確，對選項D，根據(jù)即可判斷D錯誤.【詳解】如圖所示：對選項A，拋物線的焦點為，所以直線l的方程為，故A正確；對選項B，，故B正確.對選項C，聯(lián)立，設，，則，，所以，故C正確.對選項D，，故D錯誤.故選：ABC35．（2023秋·高二單元測試）如圖，過拋物線的焦點F，斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，與拋物線準線交于C點，若B是AC的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設在準線上的射影分別為,連接,設,直線的傾斜角為,則,由求得及；將直線方程與拋物線方程聯(lián)立求得，由過焦點的弦長公式求得.【詳解】

如圖,設在準線上的射影分別為,連接，設,直線的傾斜角為,則，所以,解得，所以,故，故B正確.由得,不妨設直線方程為.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得，設,進而可解得，于是.故C正確.故選：BC36．（2023秋·高二課時練習）已知O為拋物線的頂點，直線l交拋物線于M，N兩點，過點M，N分別向準線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說法正確的是（

）A．若直線l過焦點F，則N，O，P三點不共線B．若直線l過焦點F，則C．若直線l過焦點F，則拋物線C在M，N處的兩條切線的交點在某定直線上D．若，則直線l恒過點【答案】BCD【分析】設直線，設，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由可判斷A；由拋物線的定義和平行線的性質可判斷B；求出拋物線C在點M，N處的切線聯(lián)立可得可判斷C；由結合韋達定理可得可判斷D.【詳解】設直線，聯(lián)立方程，得設，，則選項A，若直線l過焦點F，則，，又，，，三點共線，A錯；選項B，由拋物線的定義和平行線的性質知：，又，，所以B對；選項C，設與拋物線相切的切線方程為，則化簡得．由，可得，即，所以與拋物線相切的切線方程為，將點坐標代入方程可得，則，所以過的切線方程為．同理，過的切線方程為，聯(lián)立，得：拋物線在點M，N處的切線的交點在定直線上，所以C對；選項D，因為，，將韋達定理代入得：.所以直線l恒過點，所以D對.故選：BCD.三、填空題37．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線與直線交于兩點（點在第一象限），的焦點為，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線方程即可求得點的坐標，再由兩點間距離公式即可得到結果.【詳解】因為拋物線，則其焦點，設，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去可得，解得或，當時，，當時，，且點在第一象限，所以，則，即，則.故答案為：38．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線C的方程為，若傾斜角為銳角的直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，且，則直線l的傾斜角為．【答案】【分析】結合拋物線的定義，結合幾何性質，即可求直線的傾斜角.【詳解】如圖，直線為拋物線的準線，過點分別作垂直于，作，因為，，且，所以,則，，所以，則，即直線的傾斜角為.故答案為：39．（2023秋·四川眉山·高二仁壽一中?？计谀┻^的直線l與拋物線E：交于，兩點，且與E的準線交于點C，點F是E的焦點，若的面積是的面積的3倍，則【答案】/【分析】由題意設直線的方程為，代入拋物線方程化簡利用根與系數(shù)的關系可得，再由的面積是的面積的3倍，可得到準線的距離是到準線有距離的3倍，則，從而可求出，進而可求得答案.【詳解】由，得，由題意可知直線的斜率存在，所以設直線的方程為，由，得，易得，所以，因為的面積是的面積的3倍，所以，所以到準線的距離是到準線的距離的3倍，所以，即，因為，所以，化簡得，解得或（舍去），所以，所以，故答案為：40．（2023秋·河北唐山·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，直線與拋物線交于兩點，連接并延長，交拋物線于點，若中點的縱坐標為，則當最大時，．【答案】16【分析】由中點的縱坐標為，可知，又由余弦定理結合不等式可得最大時，為等邊三角形，后將直線AF方程與拋物線聯(lián)立，由拋物線定義結合韋達定理可得答案.【詳解】由題可得拋物線焦點為，準線為.設，則由拋物線定義可得，又由題可得中點的縱坐標為，則.則.則，當且僅當取等號，則為等邊三角形，即直線AD斜率為或.如圖，設此時AD方程為，將其與拋物線聯(lián)立有.設D，則由韋達定理有.再由拋物線定義有.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題關鍵為將