1/12022北京大興初二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.飛沫一般認(rèn)為是直徑大于5微米（5微米＝0.000005米）的含水顆粒．飛沫傳播是新型冠狀病毒的主要傳播途徑之一，日常面對(duì)面說(shuō)話(huà)、咳嗽、打噴嚏都可能造成飛沫傳播．因此有效的預(yù)防措施是戴口罩并盡量與他人保持1米以上社交距離．將0.000005用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）．A. B. C. D.2.下列倡導(dǎo)節(jié)約的圖案中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.3.在代數(shù)式，，，，中，分式的個(gè)數(shù)為（）．A.2 B.3 C.4 D.54.下列運(yùn)算正確的是（）．A. B.C. D.5.下列因式分解正確是（）．A. B.C D.6.若一個(gè)多邊形外角和與它的內(nèi)角和相等，則這個(gè)多邊形是（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形7.下列三個(gè)說(shuō)法：①有一個(gè)內(nèi)角是30°，腰長(zhǎng)是6兩個(gè)等腰三角形全等；②有一個(gè)內(nèi)角是120°，底邊長(zhǎng)是3的兩個(gè)等腰三角形全等；③有兩條邊長(zhǎng)分別為5，12的兩個(gè)直角三角形全等．其中正確的個(gè)數(shù)有（）．A.3 B.2 C.1 D.08.將一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為的長(zhǎng)方形紙片，用剪刀沿圖1中虛線(xiàn)剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形紙片，然后按圖2的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，則圖2中空白部分的小正方形面積是（）．

A. B. C. D.二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.若分式有意義，則x的取值范圍是______．10.分解因式：__________．11.若是完全平方式，則k的值等于______．12.若，且，則分式中的值為_(kāi)_____．13.如圖，在中，，，，EF是AC的垂直平分線(xiàn)，P是直線(xiàn)EF上的任意一點(diǎn)，則的最小值是______．14.甲做360個(gè)零件與乙做480個(gè)零件所用的時(shí)間相同，已知兩人每天共做140個(gè)零件，若設(shè)甲每天做x個(gè)零件，則可列方程______．15.如圖，在中，，，交BC于點(diǎn)D．若，則______．

16.如圖，在中，，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，若，點(diǎn)C是BE中點(diǎn)，則______°．

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27-28題，每小題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17.計(jì)算：．18.計(jì)算：．19.已知，求代數(shù)式的值．20.計(jì)算：．21.解方程：．22.如圖，≌，AC和AE，AB和AD是對(duì)應(yīng)邊，點(diǎn)E在邊BC上，AB與DE交于點(diǎn)F．

（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．23.下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“已知底邊及底邊上的中線(xiàn)作等腰三角形”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，線(xiàn)段a和線(xiàn)段b．求作：，使得，，BC邊上的中線(xiàn)為b．作法：如圖2，①作射線(xiàn)BM，并在射線(xiàn)BM上截?。虎谧骶€(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)PQ，PQ交BC于點(diǎn)D；③以點(diǎn)D為圓心，b為半徑作弧，交PQ于點(diǎn)A；④連接AB和AC．則為所求作的等腰三角形．（1）用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖2中的圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：由作圖可知，．∵PQ為線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn)A在PQ上，∴（______）（填推理的依據(jù)）．又∵線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)PQ交BC于點(diǎn)D，∴．∴AD為BC邊上的中線(xiàn)．24.如圖，在中，AD平分，于點(diǎn)E．求證：．25.如圖，為等邊三角形，D是BC中點(diǎn)，，CE是的外角的平分線(xiàn)．求證：．26.觀察下列各式：；；．（1）請(qǐng)你按照以上各式的運(yùn)算規(guī)律，填空．①______；②（______）；③（______）．（2）應(yīng)用規(guī)律計(jì)算：．27.在中，，，點(diǎn)D是直線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A和點(diǎn)C重合）時(shí)，此時(shí)DF與DC的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：．（3）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，直接用等式表示線(xiàn)段AD，AF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是______．

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：點(diǎn)P到圖形上各點(diǎn)的最短距離為，點(diǎn)P到圖形上各點(diǎn)的最短距離為，若，就稱(chēng)點(diǎn)P是圖形和圖形的一個(gè)“等距點(diǎn)”．已知點(diǎn)，．（1）在點(diǎn)，，中，______是點(diǎn)A和點(diǎn)O的“等距點(diǎn)”；（2）在點(diǎn)，，中，______是線(xiàn)段OA和OB的“等距點(diǎn)”；（3）點(diǎn)為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P既是點(diǎn)A和點(diǎn)C的“等距點(diǎn)”，又是線(xiàn)段OA和OB的“等距點(diǎn)”．①當(dāng)時(shí)，是否存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，如果存在請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)P在內(nèi)，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的m的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.飛沫一般認(rèn)為是直徑大于5微米（5微米＝0.000005米）的含水顆粒．飛沫傳播是新型冠狀病毒的主要傳播途徑之一，日常面對(duì)面說(shuō)話(huà)、咳嗽、打噴嚏都可能造成飛沫傳播．因此有效的預(yù)防措施是戴口罩并盡量與他人保持1米以上社交距離．將0.000005用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將0.000005寫(xiě)成a×10n（1＜|a|＜10，n為整數(shù)）的形式即可．【詳解】解：0.000005=5×10-6．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將原數(shù)寫(xiě)成a×10n（1＜|a|＜10，n為整數(shù)）的形式，確定a、n的值成為解答本題的關(guān)鍵．2.下列倡導(dǎo)節(jié)約的圖案中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；

D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．3.在代數(shù)式，，，，中，分式的個(gè)數(shù)為（）．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分式的定義解答即可．【詳解】解：、的分母中含字母，是分式，、、的分母中不含字母，不是分式，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的定義，判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式，注意π不是字母，是常數(shù)，所以分母中含π的代數(shù)式不是分式，是整式．4.下列運(yùn)算正確的是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪相除逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪相除，熟練掌握同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪相除法則是解題的關(guān)鍵．5.下列因式分解正確的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式以及提公因式法分解因式對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、，故本選項(xiàng)正確；

D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法分解因式，提公因式法分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，分解因式要徹底．6.若一個(gè)多邊形的外角和與它的內(nèi)角和相等，則這個(gè)多邊形是（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【答案】B【解析】【分析】任意多邊形的外角和為360°，然后利用多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n．

根據(jù)題意得：（n?2）×180°＝360°，

解得：n＝4．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和和外角和，掌握任意多邊形的外角和為360°和多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．7.下列三個(gè)說(shuō)法：①有一個(gè)內(nèi)角是30°，腰長(zhǎng)是6的兩個(gè)等腰三角形全等；②有一個(gè)內(nèi)角是120°，底邊長(zhǎng)是3的兩個(gè)等腰三角形全等；③有兩條邊長(zhǎng)分別為5，12的兩個(gè)直角三角形全等．其中正確的個(gè)數(shù)有（）．A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法，等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：①當(dāng)一個(gè)是底角是30°，一個(gè)是頂角是30°時(shí)，兩三角形就不全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②有一個(gè)內(nèi)角是120°，底邊長(zhǎng)是3的兩個(gè)等腰三角形全等，本選項(xiàng)正確；

③當(dāng)一條直角邊為12，一條斜邊為12時(shí)，兩個(gè)直角三角形不全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；正確的只有1個(gè)，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8.將一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為的長(zhǎng)方形紙片，用剪刀沿圖1中虛線(xiàn)剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形紙片，然后按圖2的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，則圖2中空白部分的小正方形面積是（）．

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得圖2中空白部分的小正方形面積等于大正方形的面積減去圖1中長(zhǎng)方形的面積，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：圖2中空白部分的小正方形面積是．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式與幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.若分式有意義，則x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用分式有意義的條件：分母不能為0，即可求出答案．【詳解】解：分式有意義，故有，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件，是解決該題的關(guān)鍵．10.分解因式：__________．【答案】【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【詳解】解：．

故答案為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．11.若是完全平方式，則k的值等于______．【答案】【解析】【分析】這里首末兩項(xiàng)是和這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去和積的2倍．【詳解】解：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式，注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．12.若，且，則分式中的值為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】直接利用已知代入分式化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】解：∵a?3b＝0，且a≠0，∴a＝3b，則分式＝＝＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，正確對(duì)式子進(jìn)行變形，化簡(jiǎn)求值是解決本題的關(guān)鍵．在解題過(guò)程中要注意思考已知條件的作用．13.如圖，在中，，，，EF是AC的垂直平分線(xiàn)，P是直線(xiàn)EF上的任意一點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】4【解析】【分析】先根據(jù)∠A=90°，∠C=30°，AB=2，求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得AF=FC，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可求解．【詳解】解：如圖，連接AF，∵EF是AC的垂直平分線(xiàn)，∴AF=FC，∵∠A=90°，∠C=30°，AB=2，∴BC=4，∵根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，∴PA+PB=PB+PC=BC，最小，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，∴PA+PB的最小值是BC的長(zhǎng)，即為4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了在直角三角形中，30°的角所對(duì)的邊是斜邊的一半和軸對(duì)稱(chēng)—最短路線(xiàn)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．14.甲做360個(gè)零件與乙做480個(gè)零件所用的時(shí)間相同，已知兩人每天共做140個(gè)零件，若設(shè)甲每天做x個(gè)零件，則可列方程______．【答案】【解析】【分析】設(shè)甲每天做x個(gè)零件，則乙每天做個(gè)零件，根據(jù)“甲做360個(gè)零件與乙做480個(gè)零件所用的時(shí)間相同，”列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)甲每天做x個(gè)零件，則乙每天做個(gè)零件，根據(jù)題意得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，，，交BC于點(diǎn)D．若，則______．

【答案】9【解析】【分析】根據(jù)，，可得∠BAD=30°，從而得到AD=BD=3，∠ADC=∠B+∠BAD=60°，進(jìn)而得到∠C=30°，從而得到CD=2AD=6，即可求解．【詳解】解：∵，∴∠CAD=90°，∵，∴∠BAD=30°，∵，∴AD=BD=3，∠ADC=∠B+∠BAD=60°，∴∠C=90°-∠ADC=30°，∴CD=2AD=6，∴BC=BD+CD=9．故答案為：9【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在中，，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，若，點(diǎn)C是BE中點(diǎn)，則______°．

【答案】67.5°##67.5度【解析】【分析】連接AE，先得出∠BAC=∠BAE，再根據(jù)，得出∠BAC=22.5°，最后得出結(jié)果．【詳解】解：連接AE，∵點(diǎn)C是BE中點(diǎn)，∴BC=CE，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BE，∴AB=AE，∴∠BAC=∠BAE，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵，∴∠AED=∠DAE=45°，∴∠BAC=∠BAE=22.5°，∴∠B=90°-∠BAC=67.5°．故答案為：67.5°．

【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27-28題，每小題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17.計(jì)算：．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)乘方，零指數(shù)冪，二次根式及負(fù)指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可，【詳解】解：原式=9-1+2+2=12．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方，零指數(shù)冪，二次根式化簡(jiǎn)及負(fù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．18.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、同底數(shù)冪的除法法則依次計(jì)算后將結(jié)果相加即可．【詳解】解：a3?a+(?3a3)2÷a2=a4+9a6÷a2=a4+9a4=10a4【點(diǎn)睛】此題考查整式的計(jì)算，正確掌握整式乘法中的同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則，以及整式的同底數(shù)冪的除法法則、合并同類(lèi)項(xiàng)法則是解題的關(guān)鍵．19.已知，求代數(shù)式的值．【答案】代數(shù)式值為9．【解析】【分析】先把變形為，然后利用完全平方公式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，將式子去括號(hào)展開(kāi)，并合并同類(lèi)項(xiàng)，然后將整體代入化簡(jiǎn)的式子中求值即可．【詳解】解：由可得：，原式，故該代數(shù)式的值為9．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了完全平方公式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、整體代入法求解代數(shù)式值，熟練利用完全平方公式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，把整式進(jìn)行化簡(jiǎn)，這是解決該題的關(guān)鍵．20.計(jì)算：．【答案】a+1【解析】【分析】根據(jù)分式的除法法則和減法，先計(jì)算除法、后計(jì)算減法即可.【詳解】解：====a+1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，把分式因式分解化為最簡(jiǎn)再計(jì)算是解題關(guān)鍵．21.解方程：．【答案】【解析】【分析】去分母化為整式方程，然后求解方程并檢驗(yàn)即可．【詳解】解：分式兩邊同乘得：，整理化簡(jiǎn)得：，解得：，檢驗(yàn)，當(dāng)，．是原分式方程的解．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了解分式方程，正確地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解的關(guān)鍵．22.如圖，≌，AC和AE，AB和AD是對(duì)應(yīng)邊，點(diǎn)E在邊BC上，AB與DE交于點(diǎn)F．

（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）35°【解析】【分析】（1）根據(jù)≌，可得∠BAC=∠DAE，即可求證；（2）由（1）可得∠CAE=35°，再由≌，可得∠C=∠AED，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠BED=∠CAE，即可求解．【詳解】（1）證明：∵≌，∴∠BAC=∠DAE，即∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，∴；（2）∵，，∴∠CAE=35°，∵≌，∴∠C=∠AED，∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠AEB=∠AED+∠BED，∴∠BED=∠CAE=35°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．23.下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“已知底邊及底邊上的中線(xiàn)作等腰三角形”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖1，線(xiàn)段a和線(xiàn)段b．求作：，使得，，BC邊上的中線(xiàn)為b．作法：如圖2，①作射線(xiàn)BM，并在射線(xiàn)BM上截??；②作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)PQ，PQ交BC于點(diǎn)D；③以點(diǎn)D圓心，b為半徑作弧，交PQ于點(diǎn)A；④連接AB和AC．則為所求作的等腰三角形．（1）用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖2中的圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：由作圖可知，．∵PQ為線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn)A在PQ上，∴（______）（填推理的依據(jù)）．又∵線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)PQ交BC于點(diǎn)D，∴．∴AD為BC邊上的中線(xiàn)．【答案】(1)見(jiàn)詳解；（2）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．【解析】【分析】（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形即可；

（2）根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)即可證明．【詳解】解：（1）△ABC即為所求作的圖形，如圖所示：

（2）證明：由作圖可知BC=a，AD=b．

∵PQ為線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn)A在PQ上，

∴AB=AC（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）．

又∵線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)PQ交BC于D，

∴BD=CD．（中點(diǎn)定義）．

∴AD為BC邊上的中線(xiàn)，且AD=b．

故答案為：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫(huà)圖．24.如圖，在中，AD平分，于點(diǎn)E．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】分析】延長(zhǎng)CE交AB于F，求出∠AEC＝∠AEF，∠FAE＝∠CAE，根據(jù)ASA證△FAE≌△CAE，推出∠ACE＝∠AFC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠AFC＝∠B＋∠ECD，代入即可．【詳解】證明：延長(zhǎng)CE交AB于F，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠AEF，∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE，△FAE和△CAE中，∵，∴△FAE≌△CAE（ASA），∴∠ACE＝∠AFC，∵∠AFC＝∠B＋∠ECD，∴∠ACE＝∠B＋∠ECD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)后求出∠AFC＝∠ACE．25.如圖，為等邊三角形，D是BC中點(diǎn)，，CE是的外角的平分線(xiàn)．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】過(guò)D作DG∥AC交AB于G，由等邊三角形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠BDG＝∠BGD＝60°，于是得到△BDG是等邊三角形，再證明△AGD≌△DCE即可得到結(jié)論.【詳解】證明：過(guò)D作DG∥AC交AB于G，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，又∵DG∥AC，∴∠BDG＝∠BGD＝60°，∴△BDG是等邊三角形，∠AGD＝180°?∠BGD＝120°，∴DG＝BD，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴DG＝CD，∵EC是△ABC外角的平分線(xiàn)，∴∠ACE＝（180°?∠ACB）＝60°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，∴∠ADG＝∠EDC＝30°，在△AGD和△ECD中，，∴△AGD≌△ECD（ASA）．∴AD＝DE．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26.觀察下列各式：；；．（1）請(qǐng)你按照以上各式的運(yùn)算規(guī)律，填空．①______；②（______）；③（______）．（2）應(yīng)用規(guī)律計(jì)算：．【答案】（1）①②③（2）【解析】【分析】（1）利用題目中所給式子的運(yùn)算規(guī)律，即可得出正確答案．（2）先將因式分解，分別和后面兩項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，最后利用平方差公式求出答案即可．【詳解】（1）解：由題目所給式子的規(guī)律可得：①；②（）；③（）．（2）解：原式【點(diǎn)睛】本題主要是考查了利用規(guī)律進(jìn)行整式的乘法運(yùn)算以及平方差公式，通過(guò)題目所給式子，找到規(guī)律，并利用規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，這是解決該題的關(guān)鍵．27.在中，，，點(diǎn)D是直線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A和點(diǎn)C重合）時(shí)，此時(shí)DF與DC的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：．（3）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，直接用等式表示線(xiàn)段AD，AF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是______．

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用邊相等和角相等，直接證明，即可得到結(jié)論．（2）利用邊相等和角相等，直接證明，得到和，最后通過(guò)邊與邊之間的關(guān)系，即可證明結(jié)論成立．（3）要證明，先利用邊相等和角相等，直接證明，得到和，最后通過(guò)邊與邊之間的關(guān)系，即可證明結(jié)論成立．【詳解】（1）解：，，，在和中，，．（2）解：當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如下圖所示：，，，在和中，，，，．（3）解：，如下圖所示：，，，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練利用條件證明三角形全等，然后利用邊相等以及邊與邊之間關(guān)系，即可證明結(jié)論成立，這是解決該題的關(guān)鍵．28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：點(diǎn)P到圖形上各點(diǎn)的最短距離為，點(diǎn)P到圖形上各點(diǎn)的最短距離為，若，就稱(chēng)點(diǎn)P是圖形和圖形的一個(gè)“等距點(diǎn)”．已知點(diǎn)，．（1）在點(diǎn)，，中，______是點(diǎn)A和點(diǎn)O的“等距點(diǎn)”；（2）在點(diǎn)，，中，____