2020-2021學(xué)年合肥市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）

1.已知a是銳角，cosa=*,貝必等于（）

A.30°B,45°C.60°D,90°

2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與％部分對(duì)應(yīng)值如下表:

X-1013

y-3131

則下列判斷中正確的是（）

A.拋物線開口向上B.拋物線與y軸交于負(fù)半軸

C.拋物線的對(duì)稱軸為％=1D.當(dāng)久=4時(shí)，y<0

3.若雙曲線丫=子的圖象在第一、三象限，則k的取值范圍為（）

A.A:>0B.fc<0C.fc>1D.fc<1

4.若工ABCfDEF,△ABC與△DEF的相似比為1：3,則S—w：5“所為（）

A.1：3B.1：9C.1：V3D.3：1

5.如圖，雙曲線%=§與直線y2=a%相交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（2,zn）,

若yi〈y2，則》的取值范圍是（）

A.%>2或—1V%<0

B.-2<%<0或0<%V2

C.x>2或—2V%<0

D.%<—2或0<x<2

拋物線y=ax2+b%+c（a。0）對(duì)稱軸為直線％=1,與％軸的一個(gè)交點(diǎn)坐

標(biāo)為（-1,0）,與y軸交點(diǎn)為（0,3）,其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤

的是（）

A.a—b+c=0

B.關(guān)于％的方程a/+b、+c-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.abc>0

D.當(dāng)y>0時(shí)，—1V%<3

7.已知點(diǎn)P（4,a+1）與點(diǎn)Q（5,7—a）的連線平行于％軸，則a的值是（）

A.2B.3C.4D.5

8.勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉.生活中到處

可見黃金分割的美.在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的下部（腰以下）與全部（全身）的高

度比值接近0.618,可以增加視覺美感.如果雕像的高為2m,那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)

為（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（）

A.1.23m

B.1.24m

C.1.25m

D.1.236m

9.如果一直角三角形的三邊為a,b,c,ZJ5=90°,那么關(guān)于％的方程a（/—1）—2ex+b（x2+1）=

0的根的情況為（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定根的情況

10.如圖，拋物線y=a/+b%+c（a。0）與X軸一個(gè)交點(diǎn)為（一2,0）,對(duì)稱軸

為直線％=1,貝如>0時(shí)久的范圍是（）

A.%>4或％V-2

B.-2<x<4

C.—2<%<3

D.0<%<3

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

1L若瀉，則中=

12.如圖，在菱形4BCD中，0、E分別是4C、4。的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)。瓦如

果4B=3,AC=4,那么co"OE=

C

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形4BCD的三個(gè)頂點(diǎn)4、B、。均在拋A

物線y=a/-4ax+3(a<0)上.若點(diǎn)4是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物

線與y軸的交點(diǎn)，貝SC長(zhǎng)為

14.如圖，正方形4BCC的面積是16,E,F,G,"分別為邊ZB,BC,CD,

的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為.

三、計(jì)算題(本大題共1小題，共10.0分)

15.如圖，海島4的周圍15海里內(nèi)有暗礁，一漁船跟蹤魚群由西向東航行,

在點(diǎn)B處測(cè)得海島2位于北偏東60。，航行12海里后到達(dá)點(diǎn)C處，又測(cè)

得海島4位于北人偏東30。。如果漁船不改變航向繼續(xù)向東航行，那么

它有沒有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說明你的理由。

四、解答題(本大題共8小題，共80.0分)

16.計(jì)算：|2-V3|+(V2+1)°-3tan300+(-1)2020-(COS600)-1

17.如圖，直線y=+n交坐標(biāo)軸分別于2,B(0,l)兩點(diǎn)，交雙曲線、=:于點(diǎn)C(2,2),點(diǎn)D在直線

AB上，AC=2CD.過點(diǎn)。作DE軸于點(diǎn)E,交雙曲線y于點(diǎn)F,連接CF.

(1)求反比例函數(shù)y=g和直線y=mx+ri的表達(dá)式;

⑵求△CDF的面積.

18.如圖，在RtAABC中，ZXCB=90°,AC=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)4出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)

度的速度沿4B向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿B4向點(diǎn)

4勻速運(yùn)動(dòng)，過線段MN的中點(diǎn)G作邊4B的垂線，垂足為點(diǎn)G,交AABC的另一邊于點(diǎn)P,連接PM,

PN,當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4時(shí)，M,N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t=秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M,N相遇；

(2)設(shè)APMN的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)取線段PM的中點(diǎn)K,連接K4KC,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，AKaC的面積是否變化？若變化，直接

寫出它的最大值和最小值；若不變化，請(qǐng)說明理由.

19.如圖，圖①、圖②、圖③均為4x2的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

(1)圖①中〃BC的正弦值=；

(2)按要求在圖②、圖③中各畫一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形.要求：所畫的兩個(gè)三角形都與AABC相

似但都不與△ABC全等，圖②和圖③中新畫的三角形不全等.

20.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)丫=七％+b的圖象與反比例函數(shù)y=當(dāng)。＞0)的圖象交

于4(1,4),兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求AAOB的面積；

(3)如圖寫出反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值的自變量x的取值范圍.

21.我市出租車車費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3碗以內(nèi)(含3/OTI)收費(fèi)9元，超過3k僅的部分每千米收費(fèi)1.5元.

(1)寫出應(yīng)收費(fèi)y(元)出租車行駛路線(其中無>3)之間的關(guān)系式；

(2)小明乘出租車行駛6km,應(yīng)付多少元？

(3)小波付車費(fèi)16.5元，那么出租車行駛了多少千米？

22.某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種單價(jià)為40元的籃球，如果以單價(jià)50元出售，那么每月可售出500個(gè)，根據(jù)銷售

經(jīng)驗(yàn)，售價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少10個(gè)；

(1)假設(shè)銷售單價(jià)提高x元，那么銷售每個(gè)籃球所獲得的利潤(rùn)是一元；這種籃球每月的銷售量

是個(gè)；(用含X的代數(shù)式表示)

(2)每月銷售這種籃球的利潤(rùn)是否能達(dá)到8000元？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)籃球的售價(jià)應(yīng)定為多少

元？

23.如圖，△28C中，DE//BC,G是4E上一點(diǎn)，連接BG交DE于尸，作GH〃AB交DE于點(diǎn)H.

(1)如圖1,與AGHE相似三角形是(直接寫出答案)；

(2)如圖1,若4。=38。，BF=FG,求器的值；

(3)如圖2,連接并延長(zhǎng)交48于P點(diǎn)，交BG于Q,連接PF,則一定有PF//CE,請(qǐng)說明理由.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：試題分析：直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出結(jié)論.

e??a是銳角，cosa=—,

2

???a=45°.

故選8.

2.答案：D

解析：解：4、?.?》=1.時(shí)，y=3；%=3時(shí)，y=1；，拋物線開口向下，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

5、???％=()時(shí)，y=1,?,?拋物線與y軸交于正半軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、由(0,1),(3,1)可知］故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)％=4時(shí)與x=-1時(shí)的函數(shù)值相同，y=-3<0,故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及二次函數(shù)的增減性對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除

法求解.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了增減性，對(duì)稱性，以及二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解,

熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.答案：D

解析：解：?函數(shù)y=V的圖象在第一、三象限內(nèi)，

1-k>0,

解得k<L

故選：D.

若反比例函數(shù)y=?的圖象經(jīng)過第一、三象限，即反比例系數(shù)1-k>0,從而求得k的范圍.

本題考查了反比例函數(shù)y=§(k豐0)的性質(zhì)：①當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，

圖象分別位于第二、四象限.②當(dāng)k>0時(shí)，在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨工的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，在

同一個(gè)象限，y隨％的增大而增大.

4.答案:B

解析：解：,:bABCMDEF,△ABC與△DEF的相似比為1：3,

S^ABC-S^DEF=1：9?

故選：B.

由△ABCsADEF,△ABC與△DEF的相似比為1：3,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，

即可求得答案.

此題考查了相似三角形的性質(zhì).注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵.

5.答案：C

解析：解：雙曲線為=E與直線丫2=ax相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,m),

???B(-2,-m),

又<72-

久的取值范圍是一2<x<0或%>2.

故選：C.

根據(jù)反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的對(duì)稱性求得B(-2,-加)，然后根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得出不等式為<、2的解集.

本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.

6.答案：C

解析：解：4選項(xiàng)正確.因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c,根據(jù)圖象可知，a-匕+c-0.不符合題意；

B選項(xiàng)正確.因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，△>(),

所以關(guān)于x的方程a/+.+c-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.不符合題意；

C選項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)楦鶕?jù)圖象可知：

a<0,b>0,c>0,所以abc<0,符合題意；

D選項(xiàng)正確.因?yàn)楦鶕?jù)圖象可知：

當(dāng)y>0時(shí)，一1<x<3.不符合題意.

故選：C.

A根據(jù)當(dāng)久=-1時(shí)對(duì)應(yīng)的y的值即可判斷；

區(qū)根據(jù)判別式的取值范圍即可判斷；

C.根據(jù)拋物線開口方向和對(duì)稱軸的位置即可判斷；

。根據(jù)拋物線與左軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷.

本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、拋物線與x軸的交點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上

知識(shí).

7.答案：B

解析：解：,；PQ//x軸，

二點(diǎn)P和點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相同，

即a+l=7—a,

ci—3.

故選：B.

根據(jù)平行于X軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到a+1=7-a,然后解一元一次方程即可.

本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系.解

決本題的關(guān)鍵是掌握平行于％軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

8.答案：B

解析：解：???雕像的下部（腰以下）與全部（全身）的高度比值接近0.618,

???雕像的下部（腰以下）的長(zhǎng)=0.618X2?1.24（E）.

故選：B.

把雕像的高2nl乘以0.618,然后進(jìn)行近似計(jì)算.

本題考查了黃金分割的定義：把線段4B分成兩條線段4C和BC（4C>BC）,且使4c是4B和BC的比例

中項(xiàng)（即4B：AC=AC：BC）,叫做把線段4B黃金分割，點(diǎn)C叫做線段4B的黃金分割點(diǎn).其中4C=

在二ABx0,618AB,并且線段4B的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).

2

9.答案：A

解析：解:?"=90。

a2+c2=b2

化簡(jiǎn)原方程為：（a+b）x2—2ex+b—a=0

；.△=4c2—4（/?2—a2）=4c2—4c2=0

??.方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根

故選：A.

根據(jù)勾股定理，確立a2+c2=b2,化簡(jiǎn)根的判別式，判斷根的情況就是判斷△與0的大小關(guān)系.

總結(jié)：

1、勾股定理：在直角三角形中，ZC=90°,有a2+》2=c2

2、一元二次方程根的情況與判別式A的關(guān)系：（1）△>00方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）A=0Q

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）A<00方程沒有實(shí)數(shù)根

10.答案:A

解析：解：,.，拋物線y=ax2+bx+c（a。0）與X軸一個(gè)交點(diǎn)為（一2,0）,對(duì)稱軸為直線1=1,

???拋物線y=ax2+bx+c（aW0）與%軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（4,0）,

???當(dāng)％<—2或1>4時(shí)，y>0.

故選：A.

利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線y="+bx+c（a豐0）與l軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（4,0）,然后寫出拋物

線在久軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可.

本題考查了拋物線與刀軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=a/+.+c（a/,c是常數(shù)，。。0）與無軸的交點(diǎn)

坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于久的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

11.答案：I

解析：解：???；=1，

???x=-8y,

...口=222=S；

yy3’

故答案為：|.

根據(jù)比例的性質(zhì)得出X=ly,再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可.

本題考查了比例的基本性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，用y表示出x是解題關(guān)鍵.

12.答案：平

解析：

本題考查的是三角形中位線定理、銳角三角函數(shù)的定義，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等

于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.連接。。，根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理求出。。，根據(jù)三角形中位線

定理得到=根據(jù)余切的定義計(jì)算，得到答案.

解：連接0。，

???四邊形4BCD為菱形，

OD1AC,OA=OC=-AC=2,

2

由勾股定理得，OD=y/AD2-OA2=732—22=V5,

???。、E分別是4C、4。的中點(diǎn),

OE//CD,

???Z-AOE=Z-ACD,

：.cot^AOE=cotzXCZ)=—=4=—>

ODV55

故答案為：爭(zhēng).

13.答案：4

解析：解：拋物線的對(duì)稱軸％=-需=2,點(diǎn)B坐標(biāo)(0,3),

???四邊形4BCD是正方形，點(diǎn)4是拋物線頂點(diǎn)，

:.B、D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，AC=BD,

.??點(diǎn)。坐標(biāo)(4,3)

???AC=BD=4.

故答案為4.

先求出對(duì)稱軸，再根據(jù)B、。關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)4C=BD即可解決

問題.

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的對(duì)稱軸，記住拋物線的對(duì)稱

軸公式x=-5，屬于中考?？碱}型.

2a

14.答案：8

解析：解：連接“尸、EG,

?.?正方形4BCD的面積為16,

BC//AD,BC=AD,

???尸、H分別為邊BC、的中點(diǎn)，

???四邊形BF/M是平行四邊形，

???AB=HF,AB//HF,

同理BC=EG,BC//EG,

AB1BC,

HF1EG,

四邊形EFGH的面積1是x//F=j1x4x4=8.

故答案為：8.

根據(jù)正方形的性質(zhì)推出BE=4F,8E〃4F得至lj平行四邊形凡4,推出AB=HF,同理

得到BC=EG,BC//EG,推出HF1EG,根據(jù)三角形的面積公式求出即可.

本題主要考查中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,

能求出HF、EG的長(zhǎng)和HF1EG是解此題的關(guān)鍵.

15.答案：過4點(diǎn)作4D1BC,交的處長(zhǎng)線于點(diǎn)D.由題意可知：乙4BC=90。-60。=30。，^ACD=

90°—30°=60°.

???ABAC="CD-AABC=60°-30°=30°,

??.Z.BAC=Z.ABC.

???AC—DC=12.

,nAD

sinZ.ACD=—

AC

：.AD=AC-sinzXCD=12xsin60°=&也崗］02<15?

因此，漁船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險(xiǎn).

解析：本題主要考查利用解直角三角形來解決航海問題.

16.答案：解：原式=2—V3+1—3x-y+l-2>

=2—+1—+1—2,

=2-25

解析：本題涉及零指數(shù)累、負(fù)指數(shù)幕、乘方、絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值5個(gè)考點(diǎn).在計(jì)算時(shí)，需

要針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果.

本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟

練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算.

17.答案:解：⑴?.?直線y=mx+ri經(jīng)過B(0,l),C(2,2)兩點(diǎn)，

北])，解得上二

127n+n=2(九=]

???直線的表達(dá)式為丫=稱久+1;

???點(diǎn)C(2,2)在雙曲線y=5上，

2=p解得k—4,

.,?反比例函數(shù)的解析式為y=%

(2)作CH1%軸于H,

??.CH=2,

??,DE1%軸于點(diǎn)E,

??.CH//DE,

.AC_CH_AH

??AD~DE~AE'

-1

由直線y=-%+1可知4(一2,0),

??.0A=2,AH=4,

-AC=2CD,

,,AC=_一,2

AD3

?2_2_4

??3-DE-AE9

??.DE=3,AE=6,

???D(4,3),

把％=4代入y=：得，y=1,

尸(4,1),

??.OF=3—1=2,

???EH=AE-AH=2,

??.ACDF的面積=-x2x(4-2)=2.

解析：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的解析式，平行線的性質(zhì)以及反比

例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作出輔助線構(gòu)建平行線是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

(2)作CH，x軸于H,根據(jù)平行線分線段成比例求得DE,進(jìn)一步求得。的坐標(biāo)，把。的橫坐標(biāo)代入反

比例函數(shù)y=：中，求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得DF,然后根據(jù)三角形面積公式即可求得.

18.答案:(1)2.5；

(2)過點(diǎn)C作CHLAB于H,

-11

由=/C?=#5?C”

???AH=y/AC2-CH2=3.6,BH=10-3.6=6.4.

???當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4時(shí)，M,N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

0<t<

3

當(dāng)0<￡<2.5時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，如圖1、圖2,

MN=AB-AM-BN=10-t-3t=10-4t.

???點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，MG=5"N=5—2t,

AG=AM+MG=t+5—2t=5—t,

BG=10—(5—t+5.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)c重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)”重合，

則有5-t=3.6,解得t=1.4.

■■MN=AM-AN=AM-(AB-BN)=t-(10-3t)=4t-10,

NG=-MN=2t-5,

2

??.AG=AN+NG=10—3t+2t—5=5—t.

綜上所述：①當(dāng)0〈t41.4時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，點(diǎn)P在BC上，如圖1,

此時(shí)MN=10-43BG=t+5,

PG=BG,tanB=—(t+5)=—t+—,

11315

S=-MN-PG=-(10-4t)-(t+—)

22474

_3.邙75

-......L------Ld-----；

244

②當(dāng)1,4<t<2.5時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，點(diǎn)P在AC上，如圖2,

此時(shí)MN=10—432G=5—t,

PG=AG?tanA=—(5—t)=-------1,

633

11204

???S='MN-PG=](10—4t)-(——-t)

=-t2-20t+—；

33

③當(dāng)2.5<tW?時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊，點(diǎn)P在AC上，如圖3,

此時(shí)MN=4t-10,AG=5-t,

p204

PG=AG,tcLnA=—(5—t)-.............1,

6V733

11204

??.S=-MN?PG=](4t-lO)-(y--t)

=-5t2+20t--；

33

??.s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為

f--t2t+—,0<t<1,4

244'

S=1-七2-20tH-----,1.4<t<2.5；

I33，，

--t2+20t--,2.5<t<-

l333

(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，AK4C的面積變化，最大值為4,最小值為

提示：過點(diǎn)K作KD12C于D,過點(diǎn)M作ME1AC于E.

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在BC上，如圖4,

此時(shí)ZM=t,BG=t+5,

84

??.EM=AM-sin乙EAM=—t=-t,

105

BP=-=^-=-t+-

COSB_44'

io

CP=CB-BP=8-(^t+-)=--t+-.

v44744

vEM1i4C,KDLAC,PCLAC,

??.EM//DK//CP.

???K為PM的中點(diǎn)，為EC中點(diǎn)，

1117497

???DK=-(CP+EM}+-+-t)=-—t+-，

2、72v4457408

11Q72721

S2KAC=—AC,DK=-X6X(-----1H—)=------1H—,

△八AL22v4087408

隨著的增大而減小，

4U<o,SAWt

.?.當(dāng)t=0時(shí)，SAKAC取到最大值，最大值為勺，

當(dāng)t=1.4時(shí)，SAKAC取到最小值，最小值為蓑；

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在AC上，如圖5、圖6,

12

??.OK=#M=J，

1126

S4K4c==AC,DK——x6x—1=—t.

△K2“2255

I>o,SAKAC隨著t的增大而增大，

.?.當(dāng)t=1.4時(shí)，4c取到最小值，最小值為蓑；

當(dāng)1=?時(shí)，SAKAC取到最大值，最大值為9x^=4

綜上所述：△K4C的面積的最大值為4,最小值為蓑.

解析：解：(1)???^ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,

???t+3t=10,解得t=2.5(s),

即當(dāng)t=2.5秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M,N相遇；

故答案為2.5；

(2)見答案;

(3)見答案.

(1)根據(jù)勾股定理可得=10,若動(dòng)點(diǎn)M、N相遇，則有t+3t=10,即可求出t的值；

(2)由于“點(diǎn)P在BC上”與“點(diǎn)P在點(diǎn)4C上”及“點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊”與“點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊”對(duì)應(yīng)

的MN、PG的表達(dá)式不同，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式也就不同，因此需分情況討論.只需先考慮臨界

位置(點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合、點(diǎn)N與點(diǎn)4重合)所對(duì)應(yīng)的t的值，然后分三種情況(①0<t<

1.4,②1.4<t<2,5,③2.5<tW?)討論，用t的代數(shù)式表示出MN和PG,就可解決問題；

(3)過點(diǎn)K作KD于D,過點(diǎn)M作ME12C于E,由于4C已知，要求△K4C的面積的最值，只需用

t的代數(shù)式表示出DK,然后利用一次函數(shù)的增減性就可解決問題.

本題主要考查了平行線分線段成比例、三角函數(shù)的定義、勾股定理、梯形中位線定理、三角形中位

線定理、一次函數(shù)的增減性等知識(shí)，在解決問題的過程中，用到了分類討論、等積法、臨界值法等

重要的數(shù)學(xué)思想方法，找準(zhǔn)臨界點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

19.答案：(1)?；

(2)如圖，△&Bi6和△4B2c2即為所求作三角形.

解析：

解：⑴過點(diǎn)4作4C8C交BC的延長(zhǎng)線于

???AD=1

根據(jù)勾股定理得，AB=V5,

.ZBC的正弦值弋

故答案為：g

(2)見答案.

(1)根據(jù)三角函數(shù)解答即可;

(2)將原三角形的三邊分別擴(kuò)大近和2倍即可得.

本題考查了作圖-相似變換：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得

到.本題從乙4c8=135。，AC,BC=VI：1找到突破口.

20.答案：解：⑴???做1,4)在丫=子上,

4=*

???優(yōu)=1X4=4,

4

--y=-(x>o)

(2)?把B(3,m)代入y=：中，m=1

???B(3分4

"y=k2x+b過點(diǎn)4(1,4)B(3,》,

A=k+b

|=3fc+

\=--

h/，

y=——4x-\,——16

J33

令y=0,

???C(4,0)

S^AOB=S^AOC-S^COB

114

=-x4x4--x4x-

223

=8--

3

_16

-3；

(S&AOB=S梯形AEFB=T),

(3)0<x<1或x>3

解析：(i)將點(diǎn)a的坐標(biāo)(1,4)代入，即可求出反比例函數(shù)的解析式；

(2)可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將28兩點(diǎn)代入y=krx+b,從而得出/q和b,再令y=0,求得直線和x軸

的交點(diǎn)坐標(biāo)，將三角形4BC的面積化為兩個(gè)三角形的面積之差；

(3)反比例