第三章函數(shù)的概念和性質(zhì)第3.2.2講函數(shù)的奇偶性一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．結(jié)合具體函數(shù)，掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像特征，并學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)奇偶性研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，提升直觀想象素養(yǎng)．3．了解一般函數(shù)的對(duì)稱性(對(duì)稱軸、對(duì)稱中心)，提升邏輯推理素養(yǎng)．4．掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)．5．能研究簡單函數(shù)的性質(zhì)，并能作圖像，提升直觀想象素養(yǎng)．二、重點(diǎn)難點(diǎn)1、函數(shù)奇偶性的判斷2、奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像問題3、利用函數(shù)的奇偶性求值或解析式4、奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用三、核心知識(shí)偶函數(shù)1．對(duì)于函數(shù)y＝x2，分析x與－x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值關(guān)系，說明函數(shù)的圖像為何關(guān)于y軸對(duì)稱？提示：任取x∈R，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，而點(diǎn)(x，f(x))與點(diǎn)(－x，f(x))關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)y＝x2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．2．對(duì)于函數(shù)f(x)，若在定義域內(nèi)有f(－1)＝f(1)，能否說明函數(shù)f(x)是偶函數(shù)？提示：不能．必須是在定義域內(nèi)任意的x都有f(－x)＝f(x)成立，才能說明函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．1．一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，則稱y＝f(x)為偶函數(shù)．2．偶函數(shù)的圖像特征：其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．函數(shù)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．eq\a\vs4\al([點(diǎn)睛])1．偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)：由于f(x)和f(－x)須同時(shí)有意義，所以偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．2．偶函數(shù)是相對(duì)定義域而言的整體性質(zhì)，若定義域內(nèi)有個(gè)別x0滿足f(－x0)＝f(x0)，則f(x)未必是偶函數(shù)．3．若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則有f(－x)＝f(|x|)．奇函數(shù)1．一般地，若函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)與f(－x)有什么關(guān)系？反之成立嗎？提示：若函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(－x)＝－f(x)．反之，若f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．2．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－2，2)．且f(－1)＝－f(1)．那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)嗎？提示：不一定，僅f(－1)＝－f(1)不能判定f(x)為奇函數(shù)．1．一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D且f(－x)＝－f(x)，則稱y＝f(x)為奇函數(shù)．2．函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．eq\a\vs4\al([點(diǎn)睛])1．同樣奇函數(shù)的定義域的特點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．2．若奇函數(shù)的定義域?yàn)镈，且0∈D，則f(0)＝0.三、核心例題題型1函數(shù)奇偶性的判斷1．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，，故為奇函數(shù)，對(duì)于B，，故為奇函數(shù)，對(duì)于C,，故為奇函數(shù)，對(duì)于D，，故為偶函數(shù)，故選：D2．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是偶函數(shù)，故A選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)：的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但，所以是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)：的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是偶函數(shù)，故C選項(xiàng)符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)：的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但（當(dāng)時(shí)），所以不是偶函數(shù)，故D選項(xiàng)不符合題意.故選：C.3．函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【答案】A【詳解】令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù).故選：A4．函數(shù)的圖像關(guān)于（

）A．軸對(duì)稱 B．直線對(duì)稱 C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線對(duì)稱【答案】C【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選：C5．函數(shù)的奇偶性是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù).故選：D題型2奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像問題6．已知是偶函數(shù)，其部分圖象如圖所示，則的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】為偶函數(shù)，其圖像應(yīng)該關(guān)于軸對(duì)稱，根據(jù)題目所給的一部分圖像可知，符合題意的只有圖.故選：D7．根據(jù)下列函數(shù)圖象，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對(duì)于A，是奇函數(shù)且遞增，符合題意；對(duì)于B、C、D，均為是非奇非偶函數(shù)，不合題意.故選：A.8．已知是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除D選項(xiàng)；又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故排除BC選項(xiàng)；故選：A.9．下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】選項(xiàng)A中的圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸均不對(duì)稱，故排除；選項(xiàng)C、D中的圖象所示的函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不具有奇偶性，故排除；選項(xiàng)B中的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其表示的函數(shù)是偶函數(shù).故選：B10．下列各圖中，表示以為自變量的奇函數(shù)的圖象是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：作平行于軸的直線，圖象中的取值是唯一的，故排除A，D，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選B.考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的定義.題型3利用函數(shù)的奇偶性求值或解析式11．已知函數(shù)在上為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，由于是偶函數(shù)，所以.故選：C12．若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．5 D．7【答案】C【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C13．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，時(shí)，，故.故選：A14．已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C15．函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是R上的奇函數(shù)，故故選：C題型4奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用16．函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】C【詳解】解：是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)在是減函數(shù)，，，；故選：C．17．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且增函數(shù)，若對(duì)任意，均有，則實(shí)數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，增函數(shù)，且，所以，兩邊平方化簡得在恒成立，令，對(duì)稱軸為，所以在單調(diào)遞增，則，解得，又因?yàn)?，所以，所以的最大值?故選:A.18．已知奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，，.故選：B19．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上遞增，.畫出的大致圖象如下圖所示，由圖可知，不等式的解集為.故選：A20．已知是偶函數(shù)，且在區(qū)間上遞增，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意，函數(shù)為偶函數(shù)，且在軸兩側(cè)左增右減，故，解得.故選：A.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)椋屎瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，故A不符題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故B不符題意；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故C不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D符合題意.故選：D.2．已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．3 B． C． D．5【答案】B【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以.故選：B3．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（

）A．1 B．3C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，解得．故選：D4．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以.故選：B.5．已知，為奇函數(shù)，若，則（

）.A． B．6 C．9 D．4【答案】C【詳解】，，，為奇函數(shù)，故選：C．6．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，有成立，若，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，有成立，可知在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，由可得，故，得，即，得，所以.故選：B.7．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A．2 B．0 C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以有，要想上式恒成立，只需，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以有，要想上式恒成立，只需，綜上所述：，故選：D8．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知在，上單調(diào)遞增，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，綜上，在，上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，.故選：C.二、多選題9．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．定義域?yàn)?B．是偶函數(shù)C．在上遞減 D．圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】CD【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，有，即函數(shù)的定義域?yàn)椋珹錯(cuò)誤；對(duì)于B，的其定義域?yàn)?，有，所以為奇函?shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)和在上遞減，所以函數(shù)在上遞減，C正確；對(duì)于D，由B的結(jié)論，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，D正確.故選：CD．10．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法正確的為（

）A．的圖像關(guān)于對(duì)稱 B．必成立C．必成立 D．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABD【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即D正確；且，即B正確，C錯(cuò)誤；由可知函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，即A正確.故選：ABD.三、填空題11．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】9【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：.12．已知定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由于在上是減函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，若，則，平方可得，解得，故答案為：四、解答題13．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：設(shè)，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，又因函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，所以函數(shù)在上的解析式為.（2）解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由函數(shù)圖象可知，在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以由等價(jià)于，所以，因此，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.15．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋⑶覞M足下列條件：①；②對(duì)任意，都有；③當(dāng)時(shí)，.(1)證明：為奇函數(shù).(2)解不等式.(3)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）由題意函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，