2012年高三五月月考理科數(shù)學(xué)試題第6頁共2頁湖南省安化一中2012年高三五月月考試題—理科數(shù)學(xué)一、選擇題(40分)1．函數(shù)f(x)=lg(x+1)+eq\r(2x)的定義域是A.(－1,0)∪(0,+∞)B.(－1,+∞)C.(0,+∞)D.[－1,+∞)2．復(fù)數(shù)(a+i)(1+i)(a∈R)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于虛軸上，則a=S=1I=1WHILEI<=10S=3*SI=I+1WENDS=1I=1WHILEI<=10S=3*SI=I+1WENDPRINTSEND3．如右圖所示的程序是用來計算A.3×10的值B.39的值C.310的值D.1×2×3×…×10的值4．下列與統(tǒng)計有關(guān)的說法中，正確的是A.相關(guān)系數(shù)r越小，表明兩個變量的相關(guān)性越弱；B.獨立性檢驗結(jié)果顯示“患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)”，這是指“有吸煙習(xí)慣的人必定會患慢性氣管炎”；C.相關(guān)指數(shù)R2的值可以為負(fù)值；D.獨立性檢驗的統(tǒng)計假設(shè)H0等價于兩個事件之間相互獨立5．等比數(shù)列{an}中，a3=6，前三項和S3=eq\i\in(0,3,4xdx)，則公比q的值為A.1B.－eq\f(1,2)C.1或－eq\f(1,2)D.－1或－eq\f(1,2)6．將號碼分別為1，2，…9的九個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同。甲從袋中摸出一個球，其號碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個球，其號碼為b。則使不等式a－2b+10>0成立的事件發(fā)生的概率等于A.eq\f(59,81)B.eq\f(60,81)C.eq\f(61,81)D.eq\f(62,81)7．已知實數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\al\vs3(2x+y－2≥0,x－2y+4≥0,3x－y－3≤0))所表示的平面區(qū)域為M。若函數(shù)y=k(x+1)+1的圖象經(jīng)過區(qū)域M，則實數(shù)k的取值范圍是A.[3,5]B.[－1,1]C.[－1,3]D.[－eq\f(1,2),1]8．已知函數(shù)fM(x)的定義域為實數(shù)集R，滿足fM(x)=eq\b\lc\{(\a\al\vs3\co2(1,，x∈M,0,，xM))(M是R上的非空真子集)。在R上有兩個非空真子集A、B，且A∩B=Φ，則F(x)=eq\f(fA∪B(x)+1,fA(x)+fB(x)+1)的值域為A.(0,eq\f(2,3)]B.{1}C.{eq\f(1,2),eq\f(2,3),1}D.[eq\f(1,3),1]二、填空題(35分)(一)選做題(請考生在9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分)9．如圖，點M為⊙O的弦AB上一點，連接MO，作MN⊥OM交⊙O于N。若MA=2，MB=4，則MN=_____；10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x=1+cost,y=sint))(t為參數(shù)，0≤t<2π)；以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系單位長度相同，則該圓的極坐標(biāo)方程為_________；11．若某原始的因素范圍是[100，1100]，現(xiàn)準(zhǔn)備用黃金分割法進(jìn)行試驗找到最優(yōu)加入量，分別用an表示第n次試驗的加入量(結(jié)果均取整數(shù))。如果若干次試驗后的存優(yōu)范圍在區(qū)間[700，750]內(nèi)，則a3=_________；(二)必做題(12～16題)12．已知集合P={x|x2≤1}，M={a}，若P∪M=P，則a的取值范圍是________；13．已知向量eq\o(\s\up2(→),\s\do0(a))，eq\o(\s\up2(→),\s\do0(b))滿足|eq\o(\s\up2(→),\s\do0(a))|=1，|eq\o(\s\up2(→),\s\do0(b))|=2，eq\o(\s\up2(→),\s\do0(a))與eq\o(\s\up2(→),\s\do0(b))的夾角為60°，則|eq\o(\s\up2(→),\s\do0(a))－eq\o(\s\up2(→),\s\do0(b))|=________；14．已知(2x2－eq\f(1,x3))n(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項，則n的最小值是________；15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________；16．當(dāng)n為正整數(shù)時，定義函數(shù)N(n)表示n的最大奇因數(shù)。如N(3)=3，N(10)=5，…。記S(n)=N(1)+N(2)+N(3)……+N(2n)。則(1)S(4)=________；(2)S(n)=__________。三、解答題(75分)17．已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，且a1+1，a3+1，a7+1成等比數(shù)列。(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn=eq\f(1,eq\l(a\o(\s\up1(2),\s\do1(n)))－1)(n∈N*)，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<eq\f(1,4)。18．某校高三數(shù)學(xué)模擬考試后，隨機抽取80位學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(學(xué)生成績均不低于90分，滿分150分)，將成績按如下方式分成六組，第一組[90,100)、第二組[100,110)、…第六組[140,150]。如圖為頻率分布直方圖。請根據(jù)頻率分布直方圖回答下列問題：(1)現(xiàn)根據(jù)考試成績從第四組和第六組的所有學(xué)生中任選2人，記他們的成績分別為x，y。若|x－y|>10，則稱此二人為“黃金幫扶組”。試求選出的二人為“黃金幫扶組”的概率P；(2)以此樣本的頻率當(dāng)作概率，在該校學(xué)生中隨機選出3名，求成績不低于120分的人數(shù)ξ的分布列與期望。19．已知矩形ABCD內(nèi)接于圓柱下底面的圓O，PA是圓柱的母線。若AB=6，AD=8，此圓柱的體積為300π，E為PB中點。(1)證明：OE∥平面PCD；(2)求異面直線AC與PB所成角的余弦值。20．某海島A上有一座山，山頂設(shè)有一觀察站P，P點與海平面距離為eq\r(3)千米。某日上午11時，測得一輪船在島的南偏東30°、俯角為30°的B處。2分鐘后，又測得該船在島的南偏西60°、俯角為60°的C處。(島的高度不計，該船沿直線航行)(1)該船的航速為多少千米/小時?(2)經(jīng)過一段時間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時船距離A島有多遠(yuǎn)？21．已知以F1(0,－1)，F(xiàn)2(0,1)為焦點的橢圓C過點P(eq\f(\r(2),2)錯誤！未定義書簽。,1)。(1)求橢圓C的方程；(2)過點S(－eq\f(1,3),0)的動直線l交橢圓C于A、B兩點。試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得直線l繞點S運動時，都有以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出T點坐標(biāo)；否則說明理由。22．已知函數(shù)f(x)=ln(eq\f(ax,2)+eq\f(1,2))+x2－ax(a為常數(shù),a>0)。(1)若x=eq\f(1,2)是函數(shù)f(x)的一個極值點，求a的值；(2)求證：當(dāng)a∈(0,2]時，f(x)在[eq\f(1,2),+∞)上是增函數(shù)；(3)若對a∈(1,2)，x0∈[eq\f(1,2),1]，使不等式f(x0)>m(1－a2)成立，求實數(shù)m的取值范圍。2012年高三五月月考數(shù)學(xué)試題答案BDCDCCDB2EQ\R(2)ρ=2cosθ864[－1,1]EQ\R(3)5EQ\F(8π,3)86,EQ\F(4n+2,3)17.(1)an=2n－118.(1)第四組人數(shù)80×(0.015×10)=12第四組人數(shù)80×(0.005×10)=4故p=eq\f(eq\l(C\o(\s\up1(1),\s\do1(12))C\o(\s\up1(1),\s\do1(4))),eq\l(C\o(\s\up1(2),\s\do1(16))))=EQ\F(2,5)(2)成績不低于120分的人數(shù)為80×(0.05+0.10+0.15)=24相應(yīng)頻率為EQ\F(24,80)=EQ\F(3,10)，故從該校學(xué)生中任取一人，成績不低于120分的概率為EQ\F(3,10)ξ0123pEQ\F(343,1000)EQ\F(441,1000)EQ\F(189,1000)EQ\F(27,1000)Eξ=EQ\F(9,10)19.(2)EQ\F(3\r(5),25)20.解:(1)如圖,在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=EQ\R(3),則AB=3;在Rt△PAC中,∠APC=30°,PA=EQ\R(3),則AC=1;………4分在△ABC中,∠CAB=60°+30°=90°則BC=EQ\R(10);EQ\R(10)÷eq\f(2,60)=30EQ\R(10)……6分答:輪船的航速為30EQ\R(10)千米/小時.……7分(2)在△ACD中,AC=1,sin∠ACD=sin∠ACB=eq\f(3,\r(10)),sin∠ADC=sin(∠ACB—∠CAD)=sin(∠ACB—30°)=eq\f(3\r(3)—1,2\r(10))由正弦定理得：eq\f(AD,sin∠ACD)=eq\f(AC,sin∠ADC)于是AD=eq\f(9\r(3)+3,13)…12分答:此時船距離A島eq\f(9\r(3)+3,13)千米.……13分21.(1)x2+EQ\F(y2,2)=1(2)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1；若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+eq\f(1,3))2+y2=eq\f(16,9)；由eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x2+y2=1,(x+eq\f(1,3))2+y2=eq\f(16,9)))得eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x=0,y=1))即兩圓相切于點(1,0)因此所求的T點如果存在，只能是(1,0)。點T(1,0)就是所求的點。證明：若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+eq\f(1,3))2+y2=eq\f(16,9)過點T(1,0)；若直線l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為：y=k(x+eq\f(1,3))代入橢圓方程中得9(k2+2)x2+6k2x+k2－18=0記A(x1,y1)、B(x2,y2)則x1+x2=－eq\f(2k2,3(k2+2))x1x2=eq\f(k2－18,9(k2+2))又eq\o(\s\do0(TA),\s\up7(→))=(x1－1,y1)eq\o(\s\do0(TB),\s\up7(→))=(x2－1,y2)eq\o(\s\do0(TA),\s\up7(→))·eq\o(\s\do0(TB),\s\up7(→))=……=0所以eq\o(\s\do0(TA),\s\up7(→))⊥eq\o(\s\do0(TB),\s\up7(→))，即以AB為直徑的圓恒過定點(1,0)22.(1)f(x)=eq\f(2ax,1+ax)(x－eq\f(a2－2,2a))由f(x)=0得a=2(2)當(dāng)0<a≤2時，∵eq\f(a2－2,2a)－eq\f(1,2)=eq\f((a－2)(a+1),2a)≤0∴eq\f(1,2)≥eq\f(a2－2,2a)∴x≥eq\f(1,2)時，x－eq\f(a2－2,2a)≥0又eq\f(2ax,1+ax)>0∴f(x)≥0，f(x)在[eq\f(1,2),+∞)上是增函數(shù)。(3)當(dāng)x∈[eq\f(1,2),1]時，由(2)知f(x)在[eq\f(1,2),1]上的最大值為f(1)=ln(eq\f(a,2)+eq\f(1,2))+1－a于是問題等價于對a∈(1,2)，不等式ln(eq\f(a,2)+eq\f(1,2))+1－a+m(a2－1)>0恒成立記g(a)=ln(eq\f(a,2)+eq\f(1,2))+1－a+m(a2－1)(1<a<2)則g(a)=eq\f(a,1+a)(2ma+2m－1)當(dāng)m≤0時，2ma+2m－1<0∴g(a)<0g(a)區(qū)間(1,2)h上遞減，此時g(a)<g(1)=0∴m≤0時，不可能有g(shù)(a)>0恒成立，故必有m>0