專題25雙曲線的簡單幾何性質(zhì)9種常見考法歸類1、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（1）雙曲線的幾何性質(zhì)（2）等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y＝±x，離心率為e＝eq\r(2).注：（1）雙曲線的“虛軸”：在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，令y＝0，可得x＝±a，因此雙曲線與x軸有兩個交點(diǎn)；而令x＝0，方程沒有實數(shù)根，說明雙曲線與y軸沒有交點(diǎn)．為了方便畫圖，把點(diǎn)B1(0，－b)，B2(0，b)也畫在y軸上，稱線段B1B2為雙曲線的虛軸．此處應(yīng)注意：雙曲線有兩個頂點(diǎn)，而橢圓有四個頂點(diǎn)．（2）雙曲線的漸近線特點(diǎn)：雙曲線的漸近線是兩條直線．隨著x和y趨向無窮大，雙曲線的各支將與漸近線無限接近，但永遠(yuǎn)沒有交點(diǎn)．由雙曲線的漸近線方程只能確定a與b的比值，無法確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．（3）如何用幾何圖形解釋c2＝a2＋b2？a，b，c在雙曲線中分別表示哪些線段的長？由于c2＝a2＋b2，a，b，c就是右圖中Rt△OAB的三邊長，它們從另一個角度反映了參數(shù)a，b，c的幾何意義．2、直線與雙曲線的位置關(guān)系一般地，設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，①雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)當(dāng)b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)時，直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線C相交于一點(diǎn)．(2)當(dāng)b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)時，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0?直線與雙曲線有兩個公共點(diǎn)，此時稱直線與雙曲線相交；Δ＝0?直線與雙曲線有一個公共點(diǎn)，此時稱直線與雙曲線相切；Δ<0?直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，此時稱直線與雙曲線相離．3、弦長公式斜率為k(k≠0)的直線l與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).4、由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求幾何性質(zhì)已知雙曲線的方程討論其幾何性質(zhì)時，需先看所給方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，若不是，需先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，找準(zhǔn)a和b，才能正確地寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)等.注意與橢圓的相關(guān)幾何性質(zhì)進(jìn)行比較.5、由幾何性質(zhì)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的解題思路（1）由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)不明確時，方程可能有兩種形式，此時應(yīng)注意分類討論，為了避免討論，也可設(shè)雙曲線的方程為mx2－ny2＝1mn>0.（2）常見雙曲線方程的設(shè)法.①漸近線為y＝±eq\f(n,m)x的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,m2)－\f(y2,n2)＝λλ≠0，m>0，n>0；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2－B2y2＝mm≠0，A>0，B>0.②與雙曲線eq\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－\f(x2,b2)＝1a>0，b>0共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)－\f(x2,b2)＝λλ≠0.③與雙曲線eq\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1a>0，b>0離心率相等的雙曲線系方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝λλ>0或eq\f(y2,a2)－\f(x2,b2)＝λλ>0，這是因為由離心率不能確定焦點(diǎn)位置.④與橢圓eq\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1a>b>0共焦點(diǎn)的雙曲線系方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－λ)－\f(y2,λ－b2)＝1b2<λ<a2.6、求雙曲線的離心率或其取值范圍的思路（1）求解雙曲線的離心率一般有兩種方法.①由條件尋找a，c所滿足的等式，常用的公式變形為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(1,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2))，其中a>0，b>0.②依據(jù)條件列出含a，c的齊次方程，利用e＝eq\f(c,a)轉(zhuǎn)化為含e或e2的方程，解方程即可，注意依據(jù)e>1對所得解進(jìn)行取舍.（2）求雙曲線離心率的取值范圍，關(guān)鍵是根據(jù)條件得到不等關(guān)系，并想辦法轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等關(guān)系，結(jié)合c2＝a2＋b2和eq\f(c,a)＝e得到關(guān)于ee時，經(jīng)常用到結(jié)論：雙曲線上一點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)距離的最小值為c－a.雙曲線的離心率常以漸近線為載體進(jìn)行命題，注意二者參數(shù)之間的轉(zhuǎn)化.7、若直線y＝kx＋m(m≠0)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)只有一個公共點(diǎn)，則此時直線與雙曲線不一定相切.(1)當(dāng)k＝±eq\f(b,a)時，直線與雙曲線恰有一個交點(diǎn)，此時直線與雙曲線漸近線平行，并與雙曲線的一支交于一點(diǎn)，此時的位置關(guān)系是相交不是相切．(2)當(dāng)k≠±eq\f(b,a)，且直線與雙曲線方程聯(lián)立后的方程的Δ＝0時，直線與雙曲線恰有一個公共點(diǎn)，此時的位置關(guān)系是相切．8、直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法：(1)方程思想的應(yīng)用判斷已知直線與雙曲線的位置關(guān)系，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)．當(dāng)二次項系數(shù)為0時，直線與雙曲線的漸近線平行(或重合)，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)(或無公共點(diǎn))；當(dāng)二次項系數(shù)不等于0時，若Δ>0，則直線與雙曲線有兩個公共點(diǎn)，若Δ＝0，則直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，若Δ<0，則直線與雙曲線無公共點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用a．直線過定點(diǎn)時，根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系．b．直線斜率一定時，通過平移直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系．（3求直線與雙曲線的相交弦長，一般將兩方程聯(lián)立，通過消元化為一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解．9、中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法eq\x(\a\al(方程,法))→eq\x(\a\al(聯(lián)立方,程組消,去一個,未知數(shù)))→eq\x(\a\al(得到一,元二次,方程，,利用根,與系數(shù),的關(guān)系))→eq\x(\a\al(代入中,點(diǎn)坐標(biāo),公式))→eq\x(\a\al(求出參,數(shù)的值,或求出,直線方,程))→eq\x(\a\al(使問題,解決))eq\x(\a\al(點(diǎn),差,法))→eq\x(\a\al(設(shè)端點(diǎn),（x1，y1），,（x2，y2）,代入雙,曲線方,程))→eq\x(\a\al(兩式作,差后采,用“平,方差”))→eq\x(\a\al(代入中,點(diǎn)坐標(biāo),公式))→eq\x(\a\al(得直線,的斜率，,建立點(diǎn),斜式方,程))→eq\x(\a\al(使問題,解決))10、雙曲線的綜合問題雙曲線的綜合問題最終仍體現(xiàn)在直線與雙曲線軌跡、向量的應(yīng)用及參數(shù)范圍的探求上，直線與雙曲線方程聯(lián)立后，要注意二次項系數(shù)為零的情況.另外，設(shè)而不求、韋達(dá)定理、消參也是常用的方法，在解題時，應(yīng)有意識地運(yùn)用這些方法，達(dá)到熟練掌握的程度.eq\a\vs4\al()考點(diǎn)一由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求幾何性質(zhì)考點(diǎn)二由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)三判斷點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系考點(diǎn)四雙曲線的離心率問題（一）求雙曲線的離心率問題（二）求雙曲線離心率的取值范圍（三）由雙曲線的離心率求參數(shù)考點(diǎn)五雙曲線的漸近線問題考點(diǎn)六直線與雙曲線位置關(guān)系的判定考點(diǎn)七直線與雙曲線的相交弦問題考點(diǎn)八與雙曲線有關(guān)的最值問題考點(diǎn)九與雙曲線有關(guān)的定點(diǎn)、定值問題考點(diǎn)一由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求幾何性質(zhì)1．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程和離心率．(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023春·新疆和田·高二?？计谥校E圓和雙曲線的焦距分別為（

）A．和 B．和 C．和 D．和3．【多選】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線，則（

）A．雙曲線E的實軸長為24 B．雙曲線E的焦距為26C．雙曲線E的漸近線的斜率為 D．雙曲線E的漸近線的斜率為4．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎p曲線，則下列選項正確的是（

）A．漸近線方程 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)C．離心率 D．焦距為35．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線的實軸長是虛軸長的3倍，則m的值為（

）A．9 B．－9 C． D．6．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023秋·陜西咸陽·高二咸陽彩虹學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的長軸端點(diǎn)重合，則的值為（

）A．2 B．4 C． D．考點(diǎn)二由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程8．（2024秋·山東臨沂·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線的一條漸近線斜率為，實軸長為4，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．9．（2023秋·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且漸近線方程為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線方程為．11．【多選】（2023秋·海南省直轄縣級單位·高二校考階段練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的圓錐曲線方程為（

）A． B． C． D．12．（2023·全國·高二課堂例題）求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以直線為漸近線，過點(diǎn)；(2)與橢圓有公共焦點(diǎn)，離心率為.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過點(diǎn)；(2)與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)．14．（2023秋·全國·高二期中）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)與橢圓有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在軸上，焦距為，漸近線斜率為；(3)離心率，且經(jīng)過點(diǎn)；(4)經(jīng)過點(diǎn)，且一條漸近線的方程為．15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過點(diǎn)；(2)與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)；(3)過點(diǎn)P，Q且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．考點(diǎn)三判斷點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知雙曲線方程下列說法中正確的有（

）A．焦點(diǎn)坐標(biāo)B．該雙曲線的圖象過點(diǎn)C．焦距為10D．雙曲線上存在點(diǎn)P，使得且17．（2023秋·高二課時練習(xí)）點(diǎn)，定義，如圖為雙曲線及漸近線，則關(guān)于點(diǎn)、、，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四雙曲線的離心率問題求雙曲線的離心率問題18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）A．5 B．C． D．19．（2023秋·江蘇連云港·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率等于．20．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若在雙曲線右支上存在一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為.21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為22．（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，A，B分別位于第一、二象限，為等邊三角形，則雙曲線的離心率e為.23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（

）A． B．2C． D．25．（2023秋·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)、分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)，與雙曲線右支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．26．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖，，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，A，B分別是，在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形為矩形，求的離心率．27．（2023秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，過雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為.求雙曲線離心率的取值范圍28．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的實軸為，對上任意一點(diǎn)P，在上都存在點(diǎn)Q，使得，則C的離心率的取值范圍為．29．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）設(shè)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的取值范圍是．30．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．31．（2023春·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）雙曲線的左焦點(diǎn)為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，若存在，使得，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：上有不同的三點(diǎn)A，B，P，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線PA，PB的斜率分別為，，且，則離心率e的取值范圍是．33．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．34．（2023春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知過點(diǎn)可作出雙曲線（，）的兩條切線，若兩切點(diǎn)都在雙曲線C的某一支上，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．由雙曲線的離心率求參數(shù)35．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率大于，則m的取值范圍是.36．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為37．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若雙曲線的離心率不大于，則C的虛軸長的取值范圍為.38．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的取值范圍是.39．（2023秋·全國·高二期末）已知雙曲線．(1)若，求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；(2)若雙曲線的離心率為，求實數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)五雙曲線的漸近線問題40．（2023秋·江蘇南京·高二金陵中學(xué)校考階段練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．41．（2024·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的兩條漸近線的夾角為（

）A． B． C． D．42．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，若點(diǎn)與點(diǎn)都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．43．（2023秋·高二課時練習(xí)）求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.44．（2023秋·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線（）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，則該雙曲線的漸近線方程為．45．（2023秋·陜西咸陽·高二咸陽彩虹學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為，那么雙曲線的方程為．46．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線的兩條漸近線為，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，求該雙曲線的方程．47．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線（，）的離心率為，若直線與無公共點(diǎn)，則e的取值范圍是.考點(diǎn)六直線與雙曲線位置關(guān)系的判定48．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，直線，試確定實數(shù)k的取值范圍，使：(1)直線l與雙曲線有兩個公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)．49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線E的兩個焦點(diǎn)分別為，并且E經(jīng)過點(diǎn).過點(diǎn)的直線l與雙曲線E有且僅有一個公共點(diǎn)，則直線l的方程為.50．（2023·全國·高二課堂例題）已知雙曲線，直線，求直線l與雙曲線C的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作雙曲線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程．52．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的交點(diǎn)分別在兩支上，求的范圍．考點(diǎn)七直線與雙曲線的相交弦問題53．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則弦長．54．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.55．（2023春·安徽蕪湖·高三蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線有4條，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．56．【多選】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線經(jīng)過雙曲線（，）的左焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，若存在兩條直線，使得的最小值為4，則下列四個點(diǎn)中，C經(jīng)過的點(diǎn)為（

）A． B．C． D．57．（2023春·新疆和田·高二?？计谥校┮阎p曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，且過點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)求的面積.58．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實軸長的倍.(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，求.59．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，求的值．60．（2023秋·高二課時練習(xí)）設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．61．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知傾斜角為的直線l與雙曲線C：交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線l的方程．考點(diǎn)八與雙曲線有關(guān)的最值問題63．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）雙曲線右焦點(diǎn)為，離心率為，，以為圓心，長為半徑的圓與雙曲線有公共點(diǎn)，則最小值為（

）A． B． C． D．64．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線有條，則實數(shù)的取值范圍是.65．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的實軸長為，離心率為.動點(diǎn)P是雙曲線C上任意一點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)Q的軌跡方程；(3)已知點(diǎn)，求的最小值.66．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)依次為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，，.若雙曲線C上存在點(diǎn)P，使得，則實數(shù)b的取值范圍為.67．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）在平面內(nèi)，動點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)2.(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與動點(diǎn)的軌跡交于P，Q兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值.68．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線()左、右焦點(diǎn)為，其中焦距為，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)(M，N均在雙曲線的右支上)，過原點(diǎn)O作射線，其中，垂足為為射線與雙曲線右支的交點(diǎn)，求的最大值．69．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為雙曲線右支上一動點(diǎn)，過點(diǎn)與雙曲線相切的直線，直線與雙曲線的漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，求的面積的最小值．考點(diǎn)九與雙曲線有關(guān)的定點(diǎn)、定值問題70．（2023秋·江西南昌·高三江西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的實軸長為4，離心率為．過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，若直線QA，QB的斜率均存在，試問其斜率之積是否為定值？請給出判斷與證明．71．（2023秋·福建廈門·高三廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)若為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交的左支于，直線交直線于點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別，求證：為定值.72．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校?？茧A段練