高數(shù)函數(shù)的極限在十八世紀(jì)，著名人口學(xué)家馬爾薩斯提出，如果人口的數(shù)量按照等比級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，最終地球?qū)o(wú)法承受人類(lèi)的生存。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言敘述這個(gè)論斷：(1+α)x

=

+∞，其中α是大于0的常數(shù)。這個(gè)問(wèn)題屬于函數(shù)極限的范疇。例如：整標(biāo)函數(shù)第2頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、函數(shù)極限的定義在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，那么這個(gè)確定的數(shù)叫做自變量在這一變化過(guò)程中函數(shù)的極限。下面，我們將主要研究以下兩種情形：第3頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第4頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.第5頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天第6頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天②幾何解釋:直線(xiàn)y=A為曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)(horizontalasymptote)第7頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.

證明證:取因此注:就有故欲使即第8頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天②另兩種情形:稱(chēng)為單側(cè)極限第9頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天直線(xiàn)y=A仍是曲線(xiàn)y=f(x)

的漸近線(xiàn).幾何意義:都有水平漸近線(xiàn)都有水平漸近線(xiàn)第10頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天=例(1)例(2)定理第11頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2證：(1)第12頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第13頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天第14頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天②幾何解釋:注意：第15頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3證例4證第16頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天聯(lián)系，以便對(duì)于任給的ε，總能找到對(duì)應(yīng)的δ，對(duì)于滿(mǎn)足在用函數(shù)極限的定義證明時(shí)，必須找出δ與ε之間的注意：0<|x-|<δ的一切x，使不等式|f(x)-A|<ε都成立例5證第17頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6.證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要第18頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7證:故取當(dāng)時(shí),必有因此第19頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.左極限和右極限(one-sidedlimit):例如,第20頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天左極限右極限(right-handlimit)(left-handlimit)第21頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天左右極限存在但不相等,例8證定理第22頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如9,第23頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、函數(shù)極限的性質(zhì)定理2（函數(shù)極限的局部有界性）定理1（函數(shù)極限的惟一性）(注:對(duì)于六種極限形式都成立只要做相應(yīng)的修改即可,可類(lèi)似證明)

若存在，那么該極限是唯一的，若那么存在常數(shù)M>0,和使得當(dāng)有22頁(yè)定理422頁(yè)定理5第24頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)注意:若將小于等于改成小于,極限式子也不可以改成小于.例如:第25頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理(局部保號(hào)性)推論第26頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天4夾逼準(zhǔn)則第27頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天上兩式同時(shí)成立,證第28頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理第29頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.第30頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，星期天例10證二者不相等,第31頁(yè),共33頁(yè)，2024年2月25日，