行列式的性質(zhì)對換二、對換與排列的奇偶性的關系定理1

一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).第2頁,共40頁，2024年2月25日，星期天定理2階行列式也可定義為其中為行標排列的逆序數(shù).定理3

階行列式也可定義為其中是兩個級排列，為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和.第3頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例

在六階行列式中，下列該項應帶什么符號.解行標排列341562的逆序數(shù)為列標排列234165的逆序數(shù)為所以前邊應帶正號.第4頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

1.一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．2.行列式的三種表示方法三、小結(jié)其中是兩個級排列，為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和.第5頁,共40頁，2024年2月25日，星期天行列式的性質(zhì)第6頁,共40頁，2024年2月25日，星期天一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記第7頁,共40頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.例如推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有第8頁,共40頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．第9頁,共40頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明第10頁,共40頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如第11頁,共40頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．例如第12頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例１二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．第13頁,共40頁，2024年2月25日，星期天解第14頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第16頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例2

計算階行列式解將第都加到第一列得第19頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立).計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個性質(zhì)第21頁,共40頁，2024年2月25日，星期天思考題第22頁,共40頁，2024年2月25日，星期天思考題解答解第23頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共40頁，2024年2月25日，星期天行列式按行（列）展開第25頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例如一、余子式與代數(shù)余子式第26頁,共40頁，2024年2月25日，星期天在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第27頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共40頁，2024年2月25日，星期天引理一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第29頁,共40頁，2024年2月25日，星期天定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即證二、行列式按行（列）展開法則第30頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例1第32頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共40頁，2024年2月25日，星期天證用數(shù)學歸納法例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式第34頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共40頁，2024年2月25日，星期天n-1階范德蒙德行列式第36頁,共40頁，2024年2月25日，星期天推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證第37頁,共40頁，2024年2月25日，星期天同理